精品解析：山东省枣庄市枣庄市第八中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024~2025学年度第一学期学科素养诊断试题 高一数学 2025．01 本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象过点，则等于（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 若为第一象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角 5. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图像关于原点对称 C. 在定义域内是增函数 D. 存在最大值 6. 下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 奇函数满足，当时，，当时，，则=（ ） A. -2 B. C. D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为π B. 的对称轴可以是 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间的值域为 11. 已知函数，的零点分别为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的周期为______． 13. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是________． 14. 已知函数，则不等式的解集为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，已知函数的定义域为集合，集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）已知为角终边上一点，求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知，且，求值． 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及单调递减区间； （2）当时，求的最小值及此时x的值； （3）将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位后，得到的函数是偶函数，求α的最小值． 19. 已知函数，． （1）求实数k的值； （2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明； （3）设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期学科素养诊断试题 高一数学 2025．01 本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式求解即可. 【详解】 故选：A. 2. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出指数函数、对数函数值域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】对数函数为增函数，当时，，则， 指数函数为减函数，当时，，则， 所以. 故选：B 3. 已知幂函数的图象过点，则等于（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接将点的坐标代入解析式，即可求出参数的值. 【详解】因为幂函数的图象过点，所以，即， 则，解得. 故选：D 4. 若为第一象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角 【答案】D 【解析】 【分析】 写出第一象限角，得到的范围，再讨论k的取值即可. 【详解】因为为第一象限角， 所以， 所以， 当时，，属于第一象限角，排除B； 当时，，属于第三象限角,排除AC； 所以是第一或第三象限角 故选：D 5. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图像关于原点对称 C. 在定义域内是增函数 D. 存在最大值 【答案】B 【解析】 【分析】借助函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A:因为，可得，故选项A错误； 对于选项B:因为的定义域为，定义域关于原点对称， 且，可得为奇函数，故选项B正确； 对于选项C: 因为的定义域为， 当时，在为单调递增， 所以在为单调递增， 由于关于原点对称，所以在为单调递增， 所以在，单调递增， 不满足在定义域单调递增，（可取特殊值排除），故选项C错误； 对于选项D: 在为单调递增，故无最大值，故选项D错误. 故选：B. 6. 下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析. 【详解】对于选项A：因为二次函数的开口向下，对称轴为轴， 所以在单调递减，故函数在区间上单调递减，故A错误， 对于选项B：因为为奇函数，故选项B错误， 对于选项C：由的定义域为， 且， 所以为奇函数，故C错误， 对于选项D：由的定义域为，且， 所以为偶函数， ，且， 所以， 因为，且，且在上单调递增， 则，，可知， 故， 所以在区间上单调递增， 故选：D. 7. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入解析式得到，得到解析式，代入求出答案. 【详解】将代入中得， ，即， 因为，所以，所以，解得， 故， 当时，. 故选：D 8. 奇函数满足，当时，，当时，，则=（ ） A. -2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知可得，可得是以为周期的周期函数，利用奇函数的性质求得，可求. 【详解】因为，所以，所以， 所以是以为周期的周期函数， 又时，，所以， 又因为为奇函数，所以，所以所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于由已知求得， 得周期，进而求得函数值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用“1”的妙用，即可判断；对于B：利用基本不等式即可判断；对于C：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断；对于D：利用基本不等式即可判断； 【详解】对于选项A：， 当且仅当，即时取等号，故选项A错误； 对于选项B：因为，则， 当且仅当，即时取等号，故选项B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾， 故，故选项C错误. 对于选项D：由选项A可知，所以， 当且仅当，即时取等号，故选项D正确； 故选：BD. 10. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A. 的最小正周期为π B. 的对称轴可以是 C. 在区间上只有一个零点 D. 函数在区间的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的对称性与最值之间的关系可判断B选项；当时，解方程，可判断C选项；利用与余弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，因为，不为最值， 所以不为的对称轴，B错； 对于C选项，当时，， 由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，C对； 对于D选项，当时，，则， 则函数在区间的值域为，D错. 故选：AC. 11. 已知函数，的零点分别为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分析可知，函数的图象关于直线对称，利用图象的对称性可判断A选项；由化简可判断B选项；由基本不等式可判断C选项；利用不等式的基本性质可判断D选项. 【详解】对于函数，可得，可得，则， 所以，函数的图象关于直线对称， 由，得， 由，得， 作出函数、、的图象如下图所示： 由对称性可知，点、关于直线对称， 对于A选项，，，A对； 对于B选项，由，可得，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，由可得，则， 这与即矛盾，所以，， ，C对； 对于D选项，因为，，由不等式的基本性质可得，D错. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键分析出函数的图象关于直线对称，以及同底数的指数函数和对数函数的对称性来得出等量关系，再利用不等式的基本性质求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切型周期公式计算即可. 【详解】因为函数，所以周期. 故答案为：. 13. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式可得结果. 【详解】因为的长度为，所以，， 所以勒洛三角形的面积是. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数解析式可判断该函数为偶函数，且在上单调递增，不等式等价为，可得结果. 【详解】根据可知定义域为， 且该函数为偶函数，在上单调递增， 因此即为； 即可得，解得且， 因此不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，已知函数的定义域为集合，集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据具体函数定义域满足条件求出，再求出和，结合交集概念计算即可； （2）根据，得到，比较集合端点即可. 【小问1详解】 因为有意义， 所以，解得. 当时，； 所以； 所以. 【小问2详解】 ，， 解得：． 16. （1）已知为角终边上一点，求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知，且，求值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义可得，结合齐次式问题运算求解即可； （2）根据同角三角关系可得，利用诱导公式运算求解即可； （3）根据同角三角关系可得，进而可得. 【详解】（1）因为为角终边上一点，则， 所以； （2）因为，，则， 所以； （3）因为，解得或， 又因为，则， 可得，所以. 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3）解集见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出即可； （2）根据一元二次不等式恒成立，即可由判别式求解； （3）分解因式，结合分类讨论，即可由一元二次不等式解的特征求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以方程的两根分别为， 根据韦达定理可知，，解得； 【小问2详解】 不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，所以， 即，解得，所以实数a的取值范围为； 【小问3详解】 即， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及单调递减区间； （2）当时，求的最小值及此时x的值； （3）将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位后，得到的函数是偶函数，求α的最小值． 【答案】（1），的单调递减区间为 （2）时，的最小值为 （3）α的最小值 【解析】 【分析】（1）由题意可求得，进而利用图象过点，可求得，可求解析式，利用，可求单调递减区间； （2）由已知可得，可求值域； （3）利用题意求得，由函数是偶函数，可得，可求α的最小值. 【小问1详解】 由图象可得，所以，所以， 所以，由图象过点，所以， 所以，所以，即， 又，所以，所以； 由，所以， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以，所以的最小值为， 此时，解得， 所以时，的最小值为； 【小问3详解】 将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得的图象， 再将所得图象向左平移个单位后得， 所以，因为函数是偶函数，， 所以，又，所以，所以α的最小值. 19. 已知函数，． （1）求实数k的值； （2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明； （3）设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）在内有且仅有一个零点，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意结合奇函数的定义分析求解； （2）根据单调性的定义分析证明； （3）根据题意结合单调性以及奇偶性的性质判断在区间上的单调性，再结合零点存在性定理分析判断. 【小问1详解】 令，解得，所以函数的定义域为， 因为，即为奇函数， 则， 整理得， 注意到对任意上式均成立，可得，解得. 【小问2详解】 因为，则， 可知函数在区间上单调递减，证明如下： 对任意，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递减； 【小问3详解】 在内有且仅有一个零点，理由如下： 因为，则， 由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减， 又因为为奇函数，则在内单调递减， 且在内单调递减，可知在内单调递减， 结合，， 可知在内有且仅有一个零点. 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法 1.直接求零点：令，则方程解的个数即为零点的个数； 2.零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点； 3.数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $