专题02 双角平分线模型讲义-2025年中考数学总复习

线段双中点模型 一、图解模型 【证明1】∵OM平分∠BOP，ON 平分∠AOP， ∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP， ∴∠MON=∠POM+∠PON =∠BOP+ ∠AOP =（∠BOP+ ∠AOP） =∠AOB 【证明2】∵OM 平分∠BOP，ON平分∠AOP， ∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP， ∴∠MON=∠POM-∠PON =∠BOP-∠AOP =（∠BOP-∠AOP） =∠AOB 【例1】如图，平分，平分，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【例2】如图，平分，平分，，． （1）求的度数． （2）求的度数． 【变式1】如图，，射线在外，且，若平分，平分，则　　． 【变式2】如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，以下结论：①；②；③；④．正确的序号是 　 　． 【变式3】如图，在中，，与的平分线交于点，交于点，作于点，连接． （1）求的大小； （2）求证：． 1．如图，，射线是内部任意一条射线，、分别是、的角平分线，下列叙述正确的是　　 A．的度数不能确定 B． C． D． 2．如图，，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，，，分别是和的平分线，则的度数是　　 A． B． C． D． 3．如图，，，平分，平分，则　　． 4．如图，点，点在同一条直线上，射线和射线分别平分和，若角，则　　． 5．如图，平分，平分，，，则的度数为 　　． 6．如图，，平面内有一射线，且，若平分，则 　　．（用含的代数式表示） 7．如图，为直线上的点，，平分，平分，平分．下列四个结论：①与互余；②与互补；③在图中画出射线，使，则平分；④在图中以为顶点且小于平角的角共有20个．其中正确的是 　 　（填写序号） 8．如图所示，，分别平分和，若，，求的度数． 9．如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 10．如图，是平角，，平分，平分． （1）求的度数． （2）若，求的度数． 11．如图，直线，相交于点，平分，平分． （1）证明：； （2）如果，求的度数． 12．如图，、、在一条直线上，已知，平分，． （1）若，求的度数． （2）当 　　时，是的角平分线． 13．如图所示，已知直线上有一点，射线平分，射线平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 14．如图，已知为直线上一点，与互余，，分别为，的角平分线． （1）与相等吗？请说明理由； （2）若，试求的度数． 15．已知，射线，在内部，平分，． （1）求的大小； （2）若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 16．如图，直线与交于点，平分交直线于点，平分交直线于点，且． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若，求的度数． 17．如图，已知，平分，平分． （1）求的度数； （2）如果，那么是多少度？ （3）如果，那么是多少度？（用含的式子表示） 18．如图，为直线上一点，过点向直线的上方引三条射线，，． （1）如图1，若平分，平分，求的度数． （2）如图2，若平分，且，，求的度数． 19．直线，与的角平分线交于点，的延长线交于点，，交直线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在线段上，点在线段上，且，连接．写出一个的度数，使得成立，并证明． 20．（1）【问题提出】如图1，已知，点，分别是直线，上的点，连接，设．当时，求的值； （2）【问题引申】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题拓展】如图3，已知，平分，平分．若，求的度数． 21．若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分． （1）若，求和的度数？ （2）若是任意角，求的度数？ （3）请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？ 22．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得． （1）如图1，过点作射线，使为的角平分线，当时，的度数为 　　； （2）如图2，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； （3）过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 23．如图，点是外角的平分线与的平分线的交点． （1）如图①，若，则　　度； （2）如图②，的平分线与相交于点，若，求的度数？ （3）如图③，在（2）的条件下，过作的垂线分别交、于点、，平分，交于点．请判断与的位置关系，并说明理由． 24．【初步探究】 （1）如图1，已知线段，点和点为线段上的两个动点，且，点，分别是和的中点．求的长是多少？ 【类比探究】 （2）如图2，已知，直角与平角如图摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数为多少度？ 【知识迁移】 （3）当，时，如图3摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数为多少度？和均为小于平角的角） 25．已知、共顶点，平分，平分． （1）如图1，当与重合时，若，，求的度数； （2）将绕点逆时针旋转一个角至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）； （3）在（1）条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒的速度旋转，设运动时间为秒，当时，的值为 　　．（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 线段双中点模型 一、图解模型 【证明1】∵OM平分∠BOP，ON 平分∠AOP， ∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP， ∴∠MON=∠POM+∠PON =∠BOP+ ∠AOP =（∠BOP+ ∠AOP） =∠AOB 【证明2】∵OM 平分∠BOP，ON平分∠AOP， ∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP， ∴∠MON=∠POM-∠PON =∠BOP-∠AOP =（∠BOP-∠AOP） =∠AOB 【例1】如图，平分，平分，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】平分，， ， 平分，， ， ． 故选：． 【例2】如图，平分，平分，，． （1）求的度数． （2）求的度数． 【解析】（1）平分， ， ； （2）平分， ， ． 【变式1】如图，，射线在外，且，若平分，平分，则　　． 【答案】． 【解析】，， ， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 【变式2】如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，以下结论：①；②；③；④．正确的序号是 　 　． 【答案】①③④． 【解析】平分，平分，平分， ，，， ，， ，， ，故①正确 ，不一定等于，故②不正确； ，，， ， 故③正确； ， ．故④正确． 故答案为：①③④． 【变式3】如图，在中，，与的平分线交于点，交于点，作于点，连接． （1）求的大小； （2）求证：． 【解析】（1）解：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ； （2）证明：过作于点，过作于点，如图， 平分，，， ， 平分，，， ， ， 平分， ， ， 由（1）知，， ， ． 1．如图，，射线是内部任意一条射线，、分别是、的角平分线，下列叙述正确的是　　 A．的度数不能确定 B． C． D． 【答案】C 【解析】、分别是、的平分线， ，， 又， ． 故选：． 2．如图，，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，，，分别是和的平分线，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】、分别是和的平分线， ，， ， 同理，， ， ， 故选：． 3．如图，，，平分，平分，则　　． 【答案】 【解析】，平分， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 4．如图，点，点在同一条直线上，射线和射线分别平分和，若角，则　　． 【答案】28． 【解析】射线平分，， ， ， 射线平分， ， 故答案为：28． 5．如图，平分，平分，，，则的度数为 　　． 【答案】18． 【解析】因为，， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 故答案为：18． 6．如图，，平面内有一射线，且，若平分，则　　．（用含的代数式表示） 【答案】或． 【解析】分两种情况讨论： ①当在的内部时，如图所示： ，， ， ， 平分， ， ； ②当在的外部时，如图所示： ，，， ， 平分， ， ， 故答案为：或． 7．如图，为直线上的点，，平分，平分，平分．下列四个结论：①与互余；②与互补；③在图中画出射线，使，则平分；④在图中以为顶点且小于平角的角共有20个．其中正确的是 　 　（填写序号） 【答案】①②④． 【解析】， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当射线在直线的下方时，且，则不平分； 图中以点为端点的射线共有7条， 以为顶点且小于平角的角的个数（个， 所以，上列四个结论，其中正确的是①②④， 故答案为：①②④． 8．如图所示，，分别平分和，若，，求的度数． 【解析】，分别平分和， ， 又， ， 又， ． 的度数是 故答案为． 9．如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 【解析】，平分 又 平分 . 10．如图，是平角，，平分，平分． （1）求的度数． （2）若，求的度数． 【解析】（1）点、、在一条直线上，即， 平分，平分， ，， ； （2），平分， ， 平分， ， ． 11．如图，直线，相交于点，平分，平分． （1）证明：； （2）如果，求的度数． 【解析】（1）证明：平分，平分， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 的度数为． 12．如图，、、在一条直线上，已知，平分，． （1）若，求的度数． （2）当 　　时，是的角平分线． 【解析】（1）、、在一条直线上， ， ， 平分， ， ， ； （2）由（1）可得，， ． ， 是的角平分线时， ， ， 当时，是的角平分线， 故答案为：10． 13．如图所示，已知直线上有一点，射线平分，射线平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【解析】（1）直线上有一点， ， ， ， 平分， ， ； （2）由（1）可知：， 平分， ， ， ， 平分， ， ． 14．如图，已知为直线上一点，与互余，，分别为，的角平分线． （1）与相等吗？请说明理由； （2）若，试求的度数． 【解析】（1）， 理由：与互余， ， ， ，分别为，的角平分线， ，， ， ； （2）设， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得：， ． 15．已知，射线，在内部，平分，． （1）求的大小； （2）若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 【解析】（1），平分， ， 如图1①，当在内部时，， 如图1②，当在内部时，， 的大小为或； （2）如图2①，当在内部时，，， 平分，平分， ，， ； 如图2②，当在内部时，，， 平分，平分， ，， ； 综上所述，的大小为或． 16．如图，直线与交于点，平分交直线于点，平分交直线于点，且． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若，求的度数． 【解析】（1）解：，分别平分和， ，， ， ， 的度数为； （2）证明：由（1）得：， ， ， ， ； （3）解：平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 的度数为． 17．如图，已知，平分，平分． （1）求的度数； （2）如果，那么是多少度？ （3）如果，那么是多少度？（用含的式子表示） 【解析】（1）平分，平分， ，， ， ， 的度数为； （2），， ， ， 平分， ， 是35度； （3），， ， ， 平分， ， 是度． 18．如图，为直线上一点，过点向直线的上方引三条射线，，． （1）如图1，若平分，平分，求的度数． （2）如图2，若平分，且，，求的度数． 【解析】（1）平分，平分， ，， 又， ， 又 （2）设，则， ， 又平分， ， ， ， ， 解得，， 即：． 19．直线，与的角平分线交于点，的延长线交于点，，交直线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在线段上，点在线段上，且，连接．写出一个的度数，使得成立，并证明． 【解析】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 设，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．（1）【问题提出】如图1，已知，点，分别是直线，上的点，连接，设．当时，求的值； （2）【问题引申】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题拓展】如图3，已知，平分，平分．若，求的度数． 【解析】（1）， ， ； （2）如图：过点作， ，，， ， ，， ； （3）如图：过点作， ， ， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ． 21．若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分． （1）若，求和的度数？ （2）若是任意角，求的度数？ （3）请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？ 【解析】（1）平分，平分， ，， ， ， ， ， （2）平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）的度数不变， 平分，平分， ，， ， . 22．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得． （1）如图1，过点作射线，使为的角平分线，当时，的度数为 　　； （2）如图2，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； （3）过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 【解析】（1），， ， 为的角平分线， ， ； （2）， ， 为的角平分线，平分， ，， ； （3）分两种情况： 当在的内部时，如图： ，平分， ， ， ， 平分， ， ； 当在的外部时，如图： ，平分， ， ， ， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或． 23．如图，点是外角的平分线与的平分线的交点． （1）如图①，若，则　　度； （2）如图②，的平分线与相交于点，若，求的度数？ （3）如图③，在（2）的条件下，过作的垂线分别交、于点、，平分，交于点．请判断与的位置关系，并说明理由． 【解析】（1）是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：44． （2）平分，平分， ，， ， ，即：， ， 由（1）得：， ， ，解得：． （3），理由如下： 由题意得：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ． 24．【初步探究】 （1）如图1，已知线段，点和点为线段上的两个动点，且，点，分别是和的中点．求的长是多少？ 【类比探究】 （2）如图2，已知，直角与平角如图摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数为多少度？ 【知识迁移】 （3）当，时，如图3摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数为多少度？和均为小于平角的角） 【解析】（1），， ， 点，分别是和的中点， ，， ， ； （2），， ， 和分别是，的角平分线， ，， ， ； （3）和分别是，的角平分线， ，， ． 25．已知、共顶点，平分，平分． （1）如图1，当与重合时，若，，求的度数； （2）将绕点逆时针旋转一个角至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）； （3）在（1）条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒的速度旋转，设运动时间为秒，当时，的值为 　　．（直接写出答案） 【解析】（1）如图1，平分，平分，与重合， ，， ； （2）如图2，平分，平分， ，， ， 绕点逆时针旋转一个角， ， ， ； （3）①当时，如图3，，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， 解得：； ②当时，如图4，，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ③当时，如图5，，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）； ④当时，如图6，，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， 解得：； ⑤当时，如图7，，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， 解得：； 综上，的值为5或75或95， 故答案为：5或75或95． 学科网（北京）股份有限公司 $$