精品解析：河北省承德市2024-2025学年高三上学期期末数学试题

承德市高中2024—2025学年第一学期高三年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的概念可得集合C中的元素. 【详解】由题意得但 ∴． 故选：A. 2. 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算复数，再根据复数的几何意义，即可判断. 【详解】由题意得，所以在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D 3. 2024年6月至10月全国进出口总值同比增长速度依次为，，则该组数据的极差与中位数之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察数据，算出该组数据的极差与中位数，求和即可. 【详解】将数据按从小到大的顺序排列：， 由题意得该组数据的极差为，中位数为， 则该组数据的极差与中位数之和为． 故选：B 4. 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式，利用平移规律求平移后的函数解析式. 【详解】由题意得 故选：C 5. 已知奇函数的定义域为，且在上的图象如图所示，则函数的零点个数为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，即求函数在上的图象与直线，公共点个数. 【详解】令得或. 如图，画出在上的图象与直线，直线． 由图可知，的图象与直线有5个公共点， 的图象与直线仅有1个公共点， 则的零点个数为． 故选：B. 6. 已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用通径公式结合题意列出关系式，即可求解. 【详解】根据题意，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为， 则，得， 即，所以的离心率为． 故选：C 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数判断出是减函数，然后判断三个数的大小，再结合函数单调性判断对应三个函数值的大小，即可得解. 【详解】由题意得的定义域为，， 因为，所以恒成立，所以是减函数． 又因为， 由单调性可知，． 故选：B 8. 《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（ ） A. 715种 B. 572种 C. 312种 D. 286种 【答案】D 【解析】 【分析】本题以《九章算术》中的粟米为背景，考查排列组合的应用，考查化归与转化的数学思想和应用意识． 【详解】本题可转化为将14个大小相同，质地均匀的小球分给甲，乙，丙，丁4个人，每人至少分1个，利用隔板法在中间13个空隙（两端除外）当中插入3个隔板，可得分配的方案数为，所以不同的分配方法有286种． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的内角的对边分别为为的中点，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，数量积公式，以及余弦定理和三角形面积公式，即可判断选项. 【详解】因为为的中点，所以，则，A正确． 由余弦定理得，则，B正确． 由，得，所以，C错误． 由，得，则，D正确． 故选：ABD 10. 已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线与双曲线的上支交于两点，的长等于实轴长的2倍，且，则（ ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. D. 的周长为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据结合双曲线的定义，再利用大直角三角形的勾股定理，建立关于的方程组，解方程组得，再利用小直角三角形中的勾股定理即可求出，，从可以逐一判断各选项. 【详解】 由题意得，由双曲线定义得 所以． 由，得，即． 即解方程组得 所以． 由，得，得，， 所以的焦距为，渐近线方程为，，故A、B错误，C正确； 又的周长为，故D正确； 故选：CD 11. 已知正三棱锥外接球的表面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 正三棱锥外接球的体积为 B. 当时，点到底面的距离为2 C. 若满足条件的正三棱锥存在两个，则 D. 正三棱锥体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由表面积求得半径即可求解；对于B，设，点到底面的距离为，求得外接圆的半径为，由求解即可；对于C，由B中，方程有两根即可求解；对于D，由体积公式得到，通过求导求最值即可. 【详解】设正三棱锥外接球的球心为，半径为．由，得，所以正三棱锥外接球的体积为，A正确． 设，点到底面的距离为，则外接圆的半径为， 点到球心的距离为，由，得， 当时，，得，B错误． 若满足条件的正三棱锥存在两个，则方程有两个正解， 则解得，C正确． 由，得，则正三棱锥的体积为． 设函数，则，得在上单调递增，在上单调递减， 所以，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______，______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】利用和差角的正切公式得，再根据弦化切求值. 【详解】由，得， 所以． 故答案为：3； 13. 在正方体中，是上靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用线面垂直，构造线面角，再根据几何关系，即可求解. 【详解】如图，连接．平面，所以直线与平面所成的角为． 设，易得， ， 所以． 故答案为： 14. 若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】等式两边同时除以后整理成，构造函数，通过导函数求得函数的单调性，得到函数存在唯一最小值0，由方程得到的值，从而求得的值. 【详解】两边同时除以得， 得． 令函数，则， 令，． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以． 易得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 所以． 因为， 所以，得． 故答案为：3. 【点睛】方法点睛，本题考查了利用函数的性质来解决方程问题，对方程进行合理的整理，构造新的函数，利用导函数求得函数特征来解决对应分方程问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． （1）求顾客中奖的概率； （2）若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 期望为1 【解析】 【分析】（1）分别求出顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”、“安康”和“和顺”的概率即可求解； （2）设小明全家中奖的次数为，根据服从二项分布即可求解. 【小问1详解】 顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”的概率为， 顾客取出的2个小球的字样组成“安康”的概率为， 顾客取出的2个小球的字样组成“和顺”的概率为， 综上，顾客中奖的概率为； 【小问2详解】 设小明全家中奖的次数为， 则，， ， ， ，则的分布列为 0 1 2 3 所以． 16. 如图，在直四棱柱中，，，. （1）证明：四边形是梯形． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先通过证明平面，得到，再结合，得到，又，可得四边形是梯形. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 四棱柱是直四棱柱， 平面平面． 平面， 平面． 平面． ，平面，． 又四边形是梯形. 【小问2详解】 易得两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设为1个单位长度，则，． 设平面的法向量为， 则， 取，则， 得平面的一个法向量为， 易得平面的一个法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若的导函数有最小值，且是增函数，求的取值范围． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，最后根据切线与横轴、纵轴的交点坐标进行求解即可； （2）设，分类讨论函数的单调性，从而求其最值，从而得解. 【小问1详解】 由题意得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，得；令，得． 故所求三角形的面积为． 【小问2详解】 由（1）得， 设，则， 当时，单调递增，没有最小值． 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 则． 因为是增函数，所以，即． 又，所以，得，即的取值范围为． 18. 已知、、是的三个顶点，、分别为的外心、垂心． （1）求点、的坐标（用、表示）； （2）若，求点的轨迹； （3）设第（2）问中点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于、两点，与抛物线交于、两点（从左到右依次为、、、 ），当最小时，求的斜率． 【答案】（1）， （2）点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（挖去、两点） （3） 【解析】 【分析】（1）根据外心的几何性质以及可求出点的坐标，分析可知，点的横坐标为，设点，再根据可求得点的坐标； （2）由化简可得出点的轨迹方程，结合可得出点的轨迹形状； （3）分析可知，直线不与轴垂直，设，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算出为定值，利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件可求出的值，再利用弦长公式可求得的值，由此可得出直线的斜率. 【小问1详解】 因为点在的中垂线上，所以点的横坐标为． 设，则由，得， 得，即． 由垂心的性质可知，，则点的横坐标为， 设点，则，且， 由，得，得，即． 【小问2详解】 由（1）可得． 由，得， 得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（挖去，两点）． 【小问3详解】 若直线的斜率为零，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 设的方程为，设点、． 联立得得， 则恒成立，由韦达定理可得，， 因为 ， 所以（当且仅当时，等号成立）， 则． 因为，所以，得． 此时，直线的斜率为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 19. 若数列满足，且，则称是“摆动数列”．已知是“摆动数列”，且的前项和为． （1）若，列出所有可能的取值； （2）若，求的取值集合； （3）若，等可能地取定的正负号（即与发生的概率相等），求是整数的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得或0进行求解； （2）设，则，当时，取得最大值，当时，取得最小值，进行求解； （3）设是整数的概率为是整数的概率为是整数的概率为，则．所以．又，所以，构造等比数列进行求解． 【小问1详解】 当时，由，得或0． 当时，由，得或2； 当时，由，得或． 综上，所有可能的取值为． 【小问2详解】 由题意得，设． 当时，由， 得， 则 ． 当时，取得最大值，且最大值为． 当时，． 当时，． …… 当时，取得最小值，且最小值为． 综上，取遍－35到55之间（包括）的所有奇数，所以的取值集合为，即的取值集合为． 【小问3详解】 设是整数的概率为是整数的概率为是整数的概率为，则． 要使是整数，则必然不是整数． 当是整数时，只有当时，是整数； 当是整数时，只有当时，是整数． 所以． 又，所以，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列． 故，即． 【点睛】关键点点睛：在第（3）问中，设是整数的概率为是整数的概率为是整数的概率为，则，所以．进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 承德市高中2024—2025学年第一学期高三年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 2024年6月至10月全国进出口总值同比增长速度依次为，，则该组数据的极差与中位数之和为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知奇函数的定义域为，且在上的图象如图所示，则函数的零点个数为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（ ） A. 715种 B. 572种 C. 312种 D. 286种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的内角的对边分别为为的中点，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 10. 已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线与双曲线的上支交于两点，的长等于实轴长的2倍，且，则（ ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. D. 的周长为 11. 已知正三棱锥外接球的表面积为，则下列结论正确的是（ ） A. 正三棱锥外接球的体积为 B. 当时，点到底面的距离为2 C. 若满足条件的正三棱锥存在两个，则 D. 正三棱锥体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______，______． 13. 在正方体中，是上靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为______． 14. 若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． （1）求顾客中奖的概率； （2）若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 16. 如图，在直四棱柱中，，，. （1）证明：四边形是梯形． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若的导函数有最小值，且是增函数，求的取值范围． 18. 已知、、是的三个顶点，、分别为的外心、垂心． （1）求点、的坐标（用、表示）； （2）若，求点的轨迹； （3）设第（2）问中点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于、两点，与抛物线交于、两点（从左到右依次为、、、 ），当最小时，求的斜率． 19. 若数列满足，且，则称是“摆动数列”．已知是“摆动数列”，且的前项和为． （1）若，列出所有可能的取值； （2）若，求的取值集合； （3）若，等可能地取定的正负号（即与发生的概率相等），求是整数的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $