精品解析：黑龙江省绥化市第一中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题

海伦一中2024—2025学年度第一学期期末考试 高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：人教A版2019必修第一册全部及解三角形． 5．考试结束后，收取答题卡． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件可得，然后可得答案. 【详解】因为，，所以 所以 故选：A 2. 已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B． 考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 3. （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案. 【详解】. 故选：C 4. 若函数是定义在上的奇函数，，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. e 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求解即得. 【详解】由函数是定义在上的奇函数， 得， 解得. 故选：B 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由得，进而利用基本不等式可得. 【详解】由得， 因，，故， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】由，得 . 故选：B 7. 如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（ ）（提示：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，，则，，且的周长为2，即，利用三角函数的和差角公式计算即可. 【详解】设，，，，则，， 于是， 又的周长为2，即，变形得， 则，又，因此， 所以. 故选：C 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由已知确定函数的奇偶性及单调性，变形给定不等式，再利用单调性，结合正弦函数性质求出解集. 【详解】令，由函数是上的偶函数，得， 则函数是奇函数，由，且，都有成立， 得，且，都有成立，则函数在上单调递减， 于是函数在上单调递减，函数在上单调递减， 不等式， 且，因此，且，则， 且，整理得，即，解得， 则，所以不等式的解集为，A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：抽象的函数不等式求解，探讨函数的奇偶性、单调性是求解的关键. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为； B. 的一个零点是； C. 的图象关于轴对称； D. 在其定义域上是增函数 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正切函数的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，正切函数的图象没有对称轴，而函数的图象可由的图象 向左平移个单位而得，因此的图象无对称轴，C错误； 对于D，函数在定义域上不单调，由选项C知，在其定义域上不单调，D错误. 故选：AB 10. 下列命题正确的是（ ） A. 函数的零点在区间内； B. 已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2； C. 函数是幂函数，且在上是减函数，则实数的值是； D. 已知函数，在上单调递增，则． 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用单调性及零点存在性定理判断A；求出弧长判断B；利用幂函数求出判断C；利用正弦函数单调性求解判断D. 【详解】对于A，函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， ，因此函数的零点不在区间内，A错误； 对于B，记扇形半径为，弧长为，则，，B正确； 对于C，依题意，，则，C正确； 对于D，由，得，依题意，， 则，解得，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数对任意都有，且函数是偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为2 B. 函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线，对称 C. 当时， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用周期函数定义，结合单调性判断A；举例说明判断B；求出解析式判断C；利用周期性求值判断D. 【详解】对于A，由任意都有，得， 即2是的一个周期，而当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，因此函数的最小正周期为2，A正确； 对于B，由当时，，得，由函数是偶函数， 得，即函数的图象关于直线对称， 因此函数的图象关于点不对称，B错误； 对于C，当时，，，C正确； 对于D，由对任意都有，得， 函数的周期为4，，， 因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及较大自变量抽象函数的函数值问题，根据给定的函数性质，求出函数的周期是解题的关键. 第Ⅱ卷 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若，则_____________. 【答案】 【解析】 【详解】平方得 13. 若函数满足，且在区间上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，利用周期性求出函数值. 【详解】由函数满足，得函数的周期为4， ，所以. 故答案为： 14. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的序号是______． ①； ②函数为奇函数； ③函数的最小正周期为； ④函数的图象的对称轴为直线； ⑤函数的单调递增区间为． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】由函数的部分图象求出、和、的值，写出的解析式，利用图象平移得出的解析式，再逐一判断即可. 【详解】由函数的部分图象，得，周期， 则，由，得，， 而，因此，，， 对于①，，①正确； 对于②，，不奇函数，②错误； 对于③，函数的最小正周期为，③正确； 对于④，由，解得，， 所以图象的对称轴为直线，，④错误； 对于⑤，令，解得，， 函数的单调递增区间为，⑤正确， 所以说法正确的序号是①③⑤. 故答案为：①③⑤ 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知． （1）化简，并求的值； （2）若， ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）， （2）； 【解析】 【分析】（1）由诱导公式及特殊角三角函数值即可求解； （2）由同角三角函数商的关系，弦化切即可求解； 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 由（1）知：， ， 16. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且 （1）求的大小； （2）若， 且三角形面积为 ，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】分析：（1）由a=2bsinA，根据正弦定理求得，由此求得锐角B的值； （2）由于△ABC的面积为1，可得ac=4，再由余弦定理求得b的值． 详解：（1）由根据正弦定理得 又所以 由为锐角三角形得 （2）由的面积为，得 又 由余弦定理得 又,， 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及的单调递增区间； （2）将图象向左平移个单位，向下平移1个单位，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，求的解析式及图象的对称中心； （3）若函数在区间上有5个零点，求的取值范围． 【答案】（1），； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）利用图象变换求出，再利用正弦函数的对称性求出对称中心. （3）利用正弦函数性质求出范围. 【小问1详解】 依题意，， 函数的最小正周期，由， 解得，所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，得， 再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变， 得，由，得， 所以的解析式为，图象的对称中心为. 【小问3详解】 由，得，由函数在区间上有5个零点， 得，解得， 所以的取值范围是. 18. 定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． （1）求的值，并证明为奇函数； （2），使成立，求取值范围； （3）解不等式． 【答案】（1），证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求出，再利用奇函数定义推理得证. （2）求出在上的最大值，再由能成立问题建立不等式求解. （3）变换给定不等式，构造新函数，利用单调性、奇函数的性质求解不等式. 【小问1详解】 ，都有成立， 取，得，解得； 对，取，则， 因此，所以为奇函数. 【小问2详解】 函数为上的增函数，则当时，， 由，使成立，得，解得， 所以取值范围是. 【小问3详解】 ，， 不等式， 令，则函数是奇函数，且为上的增函数， 原不等式为，即， 于是，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 19 已知函数 （1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； （2）若为偶函数，设，求在区间上的值域； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值为1，取得最大值的 （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用正弦函数的性质求解. （2）求出函数，并利用和差角的正弦公式化简，再利用正弦函数性质求出值域. （3）将问题转化为，结合正弦函数的性质及二次函数性质分类求解. 【小问1详解】 当时，，则，此时， 解得，所以函数的最大值为1，取得最大值的. 【小问2详解】 由函数为偶函数，且，得，则， ， 当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当，即时，，当，即时，， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 由的图象过点，得，而，则，， 当时，，当，即时，， 由对任意的，，都有成立， 所以，， ，当时，， 令， 当时，在上单调递增，，由，得，则； 当 时，在上单调递减，，由，得，则； 当时，，由，解得，则， 所以实数 a 的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海伦一中2024—2025学年度第一学期期末考试 高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：人教A版2019必修第一册全部及解三角形． 5．考试结束后，收取答题卡． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 3. （ ） A. B. 0 C. D. 4. 若函数是定义在上的奇函数，，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. e 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. 10 C. D. 12 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（ ）（提示：） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为； B. 的一个零点是； C. 的图象关于轴对称； D. 在其定义域上是增函数 10. 下列命题正确是（ ） A. 函数的零点在区间内； B. 已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2； C. 函数是幂函数，且在上是减函数，则实数值是； D. 已知函数，在上单调递增，则． 11. 已知函数对任意都有，且函数是偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为2 B. 函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线，对称 C. 当时， D. 第Ⅱ卷 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若，则_____________. 13. 若函数满足，且在区间上，则______． 14. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的序号是______． ①； ②函数为奇函数； ③函数的最小正周期为； ④函数的图象的对称轴为直线； ⑤函数的单调递增区间为． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知． （1）化简，并求的值； （2）若， ①求的值； ②求的值． 16. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且 （1）求大小； （2）若， 且三角形的面积为 ，求的值． 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及的单调递增区间； （2）将图象向左平移个单位，向下平移1个单位，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，求的解析式及图象的对称中心； （3）若函数在区间上有5个零点，求的取值范围． 18. 定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． （1）求的值，并证明为奇函数； （2），使成立，求取值范围； （3）解不等式． 19. 已知函数 （1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； （2）若为偶函数，设，求在区间上的值域； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$