精品解析：湖南省长沙市长郡双语实验中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

九下第一周综合训练（数学） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、是无理数，故符合题意； B、是有理数，故不符合题意； C、3.14是有理数，故不符合题意； D、是有理数，故不符合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了无理数的定义，解本题的关键在熟练掌握无理数的定义． 2. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小3倍 C. 扩大3倍 D. 扩大9倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用已知条件，代入原式变形化简即可得出答案． 利用分式的基本性质变形化简得出答案． 【详解】如果把分式中的x和y都扩大3倍， 得，． ∴分式的值不变． 故选：A． 3. 某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 等腰直角三角形 D. 矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 5. 《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”译为：“今有几个人合伙购买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数和物品价格分别是多少？”设人数为x，则列出方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的总钱数与物品价格的等量关系列方程即可． 【详解】解：由题意得：设人数为，物品价格不变， ∴ 故选A． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练找到题目中的等量关系并列方程是解决本题的关键． 6. 由下表估算一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由此即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴的一个近似解的范围为． 故选：C． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 7. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质与一次函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故不符合题意； B、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，两函数与轴交于同一点，故符合题意； C、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故不符合题意； D、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故不符合题意； 故选：B． 8. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴；不符合题意； B、， ∴；符合题意； C、，此方程无解；不符合题意； D、， ∴， ∴；不符合题意； 故选B． 9. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余可得答案．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：A． 10. 若，则的值为（ ） A. . B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于sin(α+15°)=，α是锐角，而sin60°=，则可求α+15°=60°，从而可求α，再把α的值代入tan（α-15°）中，即可求值． 【详解】解：∵sin(α+15°)=，α是锐角， ∴α+15°=60° α=45°； ∴=1 故选C. 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记特殊角的三角函数值. 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．直接提取公因式分解因式得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 12. 甲、乙、丙三名运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 9.5 9.3 9.5 0.033 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的运动员是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题重点考查方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取， 由表可知，甲，丙的平均值最大，都是9.5， ∴从甲，丙中选取， ∵甲的方差是，丙的方差是， ∴甲的方差大于丙的方差， ∴发挥最稳定的运动员是丙， ∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丙． 故答案为：丙． 13. 如图，过反比例函数（）的图象上一点作轴于点，连接，若，则反比例函数的表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据可得出：，因此便可求出的值，得到反比例函数的表达式． 【详解】设，则 ∴ 又∵函数图像在第二象限 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形面积为，根据三角形面积的值求出值是解题的关键． 14. 已知抛物线，当时，随的增大而增大，的取值范围是 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得对称轴，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而增大， 当时，随的增大而增大， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 15. 如图，在中，，平分，交的延长线于点F，若，，，则______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质和相似三角形的判定与性质，由可得出，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作于，连接，先求出点的坐标，在计算出，则，再利用切线的性质可得，由勾股定理可得，于是可得当时，即点运动到点时，最小，最小，然后求出此时的的长度，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，连接， ， 在中，当，，则， 当时，，解得：，则， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 为切线， ， ， ， ， 当最小时，最小， 最小时，最小， 当时，即点运动到点时，最小，最小，此时， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 三．解答题（共72分小题） 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 18. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 已知x1、x2是一元二次方程的两个实数根. （1）求a的取值范围 （2）是否存在实数a ，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由? 【答案】（1）a≥0且a≠6；（2）存在，a=24,理由见解析 【解析】 【分析】（1）用一元二次方程的根的判别式直接计算即可；（2）用根与系数的关系，求出，的值代入求解即可 【详解】解：（1）∵x1，x2是一元二次方程的两个实数根， ∴ 即 所以a≥0且a≠6 （2）a使成立，则， ∴根据根与系数的关系得即a=24    ∵a=24满足a≥0且a≠6， ∴存在实数a=24，使成立； 【点睛】熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解决本题的关键 20. 我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率． 【答案】（1）400，见解析 （2）800名 （3）见解析， 【解析】 【分析】（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解； （3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得，（名）， ∴D等级的人数为：（名）， 补全条形统计图如下所示： 故答案为：400； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果， ∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、用树状图或列表法求概率、概率公式，根据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键． 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC． （1）求证：AB＝AP； （2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长． 【答案】（1）详见解析；（2）PC＝． 【解析】 【分析】(1)利用等角对等边证明即可． (2)利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：(1)证明：∵C为的中点， ∴∠BAC＝∠CAP， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ACP＝90°， ∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°， ∴∠ABC＝∠P， ∴AB＝AP． (2)解：如图，连接BD． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠BDP＝90°， ∵AB＝AP＝10，DP＝2， ∴AD＝10﹣2＝8， ∴BD＝， ∴PB＝， ∵AB＝AP，AC⊥BP， ∴BC＝PC＝PB＝， ∴PC＝． 【点睛】主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 22. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论． 【详解】（1）根据题意得，； （2）根据题意得，， 解得：，， ∵每件利润不能超过60元， ∴， 答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元； （3）根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， 答：当为20时最大，最大值是2400元． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)求证：； (3)若BE=8，sinB=，求AD的长， 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；（2）连接DF，证明△ABD∽△ADF，，由相似三角形的性质即可证得结论；（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出AF的长，再根据（2）的结论即可求得AD的长． 【详解】（1）如图，连接OD， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴BC为圆O的切线； （2）连接DF，由（1）知BC为圆O的切线， ∴∠FDC=∠DAF， ∴∠CDA=∠CFD， ∴∠AFD=∠ADB， ∵∠BAD=∠DAF， ∴△ABD∽△ADF， ∴， 即AD2=AB•AF； (3)连接EF，在Rt△BOD中，sinB=， 设圆的半径为r，可得， 解得：r=5， ∴AE=10，AB=18， ∵AE是直径， ∴∠AFE=∠C=90°， ∴EF∥BC， ∴∠AEF=∠B， ∴sin∠AEF=， ∴AF=AE•sin∠AEF=10×=， ∵AD2=AB•AF ∴AD=． 【点睛】本题是圆的综合题，考查的知识点有切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 24. 已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）为定值3，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 ∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； 【小问3详解】 设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为；； （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，延长交轴于，过作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解即可； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于，过作轴于， ∵当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为； 此时； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， ∵， 同理可得：直线为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于， 同理可得：， 设，则， 同理可得：， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九下第一周综合训练（数学） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 2. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小3倍 C. 扩大3倍 D. 扩大9倍 3. 某公司运用技术，下载一个的文件大约需要秒，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 等腰直角三角形 D. 矩形 5. 《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”译为：“今有几个人合伙购买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数和物品价格分别是多少？”设人数为x，则列出方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 由下表估算一元二次方程的一个近似解的范围为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 8. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 若，则的值为（ ） A. . B. C. 1 D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：___________． 12. 甲、乙、丙三名运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 9.5 9.3 9.5 0.033 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的运动员是______． 13. 如图，过反比例函数（）的图象上一点作轴于点，连接，若，则反比例函数的表达式为_________． 14. 已知抛物线，当时，随的增大而增大，的取值范围是 __． 15. 如图，在中，，平分，交的延长线于点F，若，，，则______． 16. 如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为______． 三．解答题（共72分小题） 17. 计算：． 18. 先化简，再代入求值：，其中． 19. 已知x1、x2是一元二次方程的两个实数根. （1）求a的取值范围 （2）是否存在实数a ，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由? 20. 我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率． 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC． （1）求证：AB＝AP； （2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长． 22. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)求证：； (3)若BE=8，sinB=，求AD的长， 24. 已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $