精品解析：贵州省黔南州2022-2023学年七年级下学期期末质量监测数学试卷

黔南州2022-2023学年度第二学期期末质量监测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 第I卷选择题（共24分） 一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂．本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 为了了解某校七年级名学生上学期数学成绩情况，抽查了其中名学生的数学成绩进行统计分析，下列叙述中正确的是（ ） A. 以上属于全面调查 B. 名学生是总体 C. 个体是每名学生 D. 样本容量是 3. 如图所示，小华借助直尺和三角板，根据“一重合、二紧靠、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”，其中依据的数学原理是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 4. 若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 5. 小明对本班31名男生最喜爱的球类运动进行统计，做出统计图如图所示，则最喜欢羽毛球的学生人数是（ ） A. 2人 B. 8人 C. 9人 D. 12人 6. 在平面直角坐标系中，已知点，则点P到y轴的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 7. 若，则下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一杆古秤在称物过程中某一时刻的状态，所有秤绳都平行．已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 下图是小明做的某次课堂作业的内容： 判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）的立方根是．（√） （2）若，则与互为邻补角．（×） （3）的整数部分是3．（√） （4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（√） （5）同位角相等．（√） （6）是的平方根．（√） （7）把“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”．（√） 其中小明做对的题号是（ ） A. （2）（3）（6）（7） B. （1）（3）（4）（7） C. （1）（2）（5）（6） D. （4）（5）（6）（7） 10. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”若设有鸡只，兔只，则可得方程组为（ ） A. B. C D. 11. 若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样运动规律，动点P第2023次运动到点（　　） A. B. C. D. 第II卷非选择题（共76分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，已知直线，，则的度数为_____． 14. 已知，一个非负数的平方根为和，则_____． 15. 如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，所得的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受到启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形，请你仿照上面的探究方法，比较_____．（填“”或“”或“”） 16. 已知关于x，y的方程组以下结论： ①存在实数，使得； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③不论取什么实数，值始终不变； ④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限． 其中正确结论的序号是_____． 三、解答题（本大题共9小题，共64分） 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 18. 请你从下列三个关于的不等式中，选择其中两个组成一个关于的一元一次不等式组，解该不等式组并把解集在数轴上表示出来． （1）（2）（3） 19. 如图，是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置表示为，实验室的位置表示为． （1）请你建立适当的平面直角坐标系并写出食堂、图书馆的坐标； （2）已知办公楼和教学楼，其中轴，且，轴，且，请你求出两点的坐标． 20. 小明在学习平行线的判定和性质后，利用所学知识探究三角形三个内角的数量关系．如图，三角形是直线，被直线所截面得，过点作． （1）若，，求和的度数； （2）通过（1），你得到关于三角形三个内角的数量关系为_____（用图中的角表示出来）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的三角形； （2）三角形的面积为 （3）点为轴上一动点，当三角形的面积是4时，直接写出点的坐标． 22. 阅读是人们认识世界、获取信息的重要方法．脑科学研究表明“10-16岁是阅读能力和阅读质量提升的关键期”．某校为提升学生的阅读能力，培养阅读习惯，向全体学生发出了“让读书成为一种习惯”的活动倡议． 收集数据：小明利用如图1所示的调查问卷随机调查了50名同学，得到他们最近一周课外阅读总时间的数据，如下： A F B B A C B D B C D E D A B D A E A B C B E B C B C A C C A B C B C A B A E B A C B B B C D B A A 整理分析：李老师帮他整理了这组数据，并绘制了频数直方图和扇形统计图，如图2、图3所示： （1）请将频数直方图中空缺的部分补充完整；在扇形统计图中，_____；E所对扇形圆心角度数为_____． （2）试说明这组数据的分布特点：_____（写出一条即可） 问题解决： （3）已知该校共有学生3000人，请根据调查数据估计：该校全体学生中最近一周课外阅读总时长不足3小时的有多少人？ 23. 阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，正整数解为 任务： （1）请你写出方程的正整数解：_____； （2）若为自然数，则满足条件的整数有_____个； （3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 24. 2023年是农历癸卯年（兔年），生肖兔的挂件成了热销品．某商店准备购进A、B两种型号的兔子挂件．已知购进2件A型号兔子挂件和1件B型号兔子挂件共需105元，3件A型号兔子挂件比1件B型号兔子挂件贵95元． （1）该商店购进的A、B两种型号的兔子挂件的单价分别为多少元？ （2）该商店计划购进A型号兔子挂件600件，B型号兔子挂件件，甲、乙两个厂家的优惠方式如下： 甲厂家：每购买10件A型号兔子挂件赠送一件B型号兔子挂件； 乙厂家：A型号兔子挂件不打折，B型号兔子挂件打九折． 若你是商家的采购员，在只能选择一个厂家采购的条件下，如何采购较省钱？ 25. 如图1，直线与直线、分别交于点、F，． （1）证明：； （2）如图2，动点在直线，之间，且在直线左侧，连接，，探究，，之间的数量关系． 小明经过分析，解答的过程如下： 解：过点作， _____（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （平行于同一条直线的两条直线平行）， （_____）． ， （_____）． 请你补全上述的解答过程． （3）小明进一步探究，分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图3．①若，则的度数为_____． ②探究与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黔南州2022-2023学年度第二学期期末质量监测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 第I卷选择题（共24分） 一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂．本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，结合所给数据进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故A符合题意； B、，是整数，属于有理数，故B不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，故C不符合题意； D、是整数，属于有理数，故D不符合题意； 故选：A． 2. 为了了解某校七年级名学生上学期数学成绩情况，抽查了其中名学生的数学成绩进行统计分析，下列叙述中正确的是（ ） A. 以上属于全面调查 B. 名学生是总体 C. 个体是每名学生 D. 样本容量是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量以及判断全面调查与抽样调查，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目；据此解答即可． 【详解】解：以上属于抽样调查，故A错误； 名学生上学期数学成绩是总体，故B错误； 个体是每名学生上学期数学成绩，故C错误； 样本容量是，故D正确； 故选：D 3. 如图所示，小华借助直尺和三角板，根据“一重合、二紧靠、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”，其中依据的数学原理是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图、平行线的判定，根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据，解决本题的关键是掌握平行线的判定． 【详解】解：根据作图过程可知： 画图的依据是：同位角相等，两直线平行． 故选：B． 4. 若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解．将代入二元一次方程即可得出答案． 【详解】解：将代入得：， 解得：， 故选：D． 5. 小明对本班31名男生最喜爱的球类运动进行统计，做出统计图如图所示，则最喜欢羽毛球的学生人数是（ ） A. 2人 B. 8人 C. 9人 D. 12人 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得喜欢羽毛球的人数为：（人）解答即可． 本题考查了条形统计图． 【详解】解：根据题意，得喜欢羽毛球的人数为：（人） 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，已知点，则点P到y轴的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到y轴的距离是，解答即可． 本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解距离的内涵是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点到y轴的距离是， 故选：B． 7. 若，则下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断选择即可． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； 当时，， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴，， 故C符合题意；D不符合题意； 故选：C． 8. 如图是一杆古秤在称物过程中某一时刻的状态，所有秤绳都平行．已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质，邻补角的定义解答即可． 本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 9. 下图是小明做的某次课堂作业的内容： 判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）的立方根是．（√） （2）若，则与互为邻补角．（×） （3）的整数部分是3．（√） （4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（√） （5）同位角相等．（√） （6）是的平方根．（√） （7）把“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”．（√） 其中小明做对的题号是（ ） A. （2）（3）（6）（7） B. （1）（3）（4）（7） C. （1）（2）（5）（6） D. （4）（5）（6）（7） 【答案】A 【解析】 【分析】根据所学知识，逐一判断解答即可． 【详解】解：（1）的立方根是．（×），本题判断错误； （2）若，则与互为补角．（×），本题判断正确； （3），，故整数部分是3．（√）本题判断正确；（4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（×），本题判断错误； （5）两直线平行，同位角相等．（×），本题判断错误； （6）是的平方根．（√），本题判断正确； （7）把“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”．（√），本题判断正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了立方根，补角定义，平方根，同位角，垂直的性质，无理数的整数部分，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”若设有鸡只，兔只，则可得方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． 根据题意，鸡头数与兔头数的和为，鸡足数与兔足数的和为，由此列式即可求解． 【详解】解：设有鸡只，兔只， ∴， 故选：B ． 11. 若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质分别求解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，由此即可求解． 【详解】解：， 解①得，， ∴， ∵不等式组恰有三个整数解，即， ∴， 故选：C ． 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的运动规律，动点P第2023次运动到点（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形可知：每4次运动为一个循环，并且每一个循环向右运动4个单位，用可判断出第2023次运动时，点P在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标． 【详解】解：动点P的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，每个循环向右运动4个单位， ∵， ∴第2023次运动时，点P在第506次循环的第3次运动上， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴此时． 故选：A． 【点睛】本题考查规律型：点坐标，解答时注意探究点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号． 第II卷非选择题（共76分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，已知直线，，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了对顶角的性质和平行线的性质．先求出，再利用平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案： 14. 已知，一个非负数的平方根为和，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性值．根据一个非负数的平方根互为相反数，得出，根据绝对值及平方根的性质计算出的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵一个非负数的平方根为和， ∴， ∴， ， 故答案为：． 15. 如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，所得的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受到启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形，请你仿照上面的探究方法，比较_____．（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，估算无理数的大小，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出的整数部分是3，即可解答求解． 【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， ∴（负值舍去）， ∵，即， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知关于x，y的方程组以下结论： ①存在实数，使得； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③不论取什么实数，的值始终不变； ④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限． 其中正确结论的序号是_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组在的应用，注意计算的准确性即可．，得：；则，即可判断①；当时，方程组为相加得，即可判断②；解方程组得，即可判断③；将方程组的每一组解都写成有序数对，则有序数对为，若这些点落在第三象限．则，即可判断④； 【详解】解：， 得：； 若，则； 解得：； ∴存在实数，使得；故①正确； 当时，方程组为 相加得，即方程组的解也是方程的解；故②错误； 解方程组得， ∴，即不论取什么实数，的值始终不变；故③正确； 由③得：若将方程组的每一组解都写成有序数对，则有序数对为； 若这些点落在第三象限．则， 该不等式组无解，即这些点不可能落在第三象限．故④正确； 故答案为：①③④ 三、解答题（本大题共9小题，共64分） 17. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）2（2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根，二次根式的混合运算，绝对值，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别运算立方根，化简绝对值，运用二次根式化简，再运算加减，即可作答． （2）运用加减消元法进行解二元一次方程组，即可作答． 【详解】解：（1） ， ； （2） ，得， ， 将代入，得， ， 该方程组的解为． 18. 请你从下列三个关于的不等式中，选择其中两个组成一个关于的一元一次不等式组，解该不等式组并把解集在数轴上表示出来． （1）（2）（3） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及在数轴上表示解集，解题的关键是分别解出不等式，结合同大取大，同小取小，相交取中间即可得到答案．分别组合不等式组，解出不等式在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：组成的不等式组为 由①，解得， 由②，解得， 该不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 或组成的不等式组为 由①，解得， 由②，解得， 该不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 或组成的不等式组为 由①，解得， 由②，解得， 该不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： 19. 如图，是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置表示为，实验室的位置表示为． （1）请你建立适当的平面直角坐标系并写出食堂、图书馆的坐标； （2）已知办公楼和教学楼，其中轴，且，轴，且，请你求出两点的坐标． 【答案】（1）见解析，食堂；图书馆 （2）点的坐标为或，点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，地理位置与坐标的确定，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据题意，建立平面直角坐标系，再根据地理位置标坐标； （2）根据平面直角坐标系的特点，数形结合分析即可． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系如图所示： 食堂；图书馆； 【小问2详解】 解： 轴，且， 点的坐标为或， 轴，且， 点的坐标为或． 20. 小明在学习平行线的判定和性质后，利用所学知识探究三角形三个内角的数量关系．如图，三角形是直线，被直线所截面得，过点作． （1）若，，求和的度数； （2）通过（1），你得到关于三角形三个内角的数量关系为_____（用图中的角表示出来）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据邻补角的定义，计算，根据角的和，得，利用平行线的性质解答即可． （2）根据三角形的三个内角计算解答即可． 【小问1详解】 解：∵和互为邻补角，， ∴． 又∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了邻补角，平行线的判定和性质，三角形的内角和证明，角的和差计算，熟练掌握邻补角定义，平行线的判定和性质是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．若三角形中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的三角形； （2）三角形的面积为 （3）点为轴上一动点，当三角形的面积是4时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）7 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据三角形的面积公式，坐标特征，计算面积即可． （3）设，根据的面积为4，坐标特征，解答即可． 本题考查了坐标的平移，坐标特征，三角形面积公式，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得，，． 三角形中任意一点，平移后对应点为即向上平移2个单位，向左平移1个单后，得到新坐标为，画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 故的面积为：． 小问3详解】 解：设， ∵的面积为4，，， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故点的坐标为或． 22. 阅读是人们认识世界、获取信息的重要方法．脑科学研究表明“10-16岁是阅读能力和阅读质量提升的关键期”．某校为提升学生的阅读能力，培养阅读习惯，向全体学生发出了“让读书成为一种习惯”的活动倡议． 收集数据：小明利用如图1所示的调查问卷随机调查了50名同学，得到他们最近一周课外阅读总时间的数据，如下： A F B B A C B D B C D E D A B D A E A B C B E B C B C A C C A B C B C A B A E B A C B B B C D B A A 整理分析：李老师帮他整理了这组数据，并绘制了频数直方图和扇形统计图，如图2、图3所示： （1）请将频数直方图中空缺的部分补充完整；在扇形统计图中，_____；E所对扇形圆心角度数为_____． （2）试说明这组数据的分布特点：_____（写出一条即可） 问题解决： （3）已知该校共有学生3000人，请根据调查数据估计：该校全体学生中最近一周课外阅读总时长不足3小时的有多少人？ 【答案】（1）见解析，10， （2）超过一半的学生最近一周课外阅读的总时长在2小时以内.（答案不唯一，合理即可） （3）2400人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，理解条形图、扇形图的信息，掌握样本百分比的计算，圆心角的计算，样本百分比估算总体数量的方法是解题的关键． （1）根据题目得到D、E的人数可补全条形图，根据某项百分比的计算得到m的值及E所对的百分比，再根据圆心角的计算方法得到E所对的圆心角的度数； （2）根据条形图和扇形图的信息进行分析即可； （3）根据样本百分比估算总体数的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，D组的人数有5人，E组的人数有4人， ∴补全频数直方图如图所示： ∴，即， E所对应的百分比为， ∴E所对的圆心角的度数为， 故答案为：10，； 【小问2详解】 解：超过一半的学生最近一周课外阅读的总时长在2小时以内.（答案不唯一，合理即可） 【小问3详解】 解：（人）， 故估计该校全体学生中最近一周课外阅读总时长不足3小时的有2400人． 23. 阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： （1）请你写出方程的正整数解：_____； （2）若为自然数，则满足条件整数有_____个； （3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【答案】（1） （2）4 （3）有两种购买方案：方案一：购买8本笔记本和5支钢笔；方案二：购买1本笔记本和10支钢笔 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解材料提示的计算方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意，是的倍数，则可以取的值有，由此代入计算即可； （3）设购买本笔记本，支钢笔，由此列二元一次方程组，结合材料提示方法计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得，， ∵是正整数， ∴是的倍数， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴方程的正整数解为； 【小问2详解】 解：∵为自然数，且，是的倍数， ∴， 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； ∴满足条件的整数有4个， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：设购买本笔记本，支钢笔， ∴， ， 又均为正整数， 为5的正整数倍数， 或， 故有如下两种购买方案： 方案一：购买8本笔记本和5支钢笔； 方案二：购买1本笔记本和10支钢笔． 24. 2023年是农历癸卯年（兔年），生肖兔的挂件成了热销品．某商店准备购进A、B两种型号的兔子挂件．已知购进2件A型号兔子挂件和1件B型号兔子挂件共需105元，3件A型号兔子挂件比1件B型号兔子挂件贵95元． （1）该商店购进的A、B两种型号的兔子挂件的单价分别为多少元？ （2）该商店计划购进A型号兔子挂件600件，B型号兔子挂件件，甲、乙两个厂家的优惠方式如下： 甲厂家：每购买10件A型号兔子挂件赠送一件B型号兔子挂件； 乙厂家：A型号兔子挂件不打折，B型号兔子挂件打九折． 若你是商家的采购员，在只能选择一个厂家采购的条件下，如何采购较省钱？ 【答案】（1）A型号兔子挂件的单价为40元，B型号兔子挂件的单价为25元 （2）当时，在甲厂家购买较省钱； 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样； 当时，在乙厂家购买较省钱 【解析】 【分析】（1）设A型号兔子挂件的单价为元，B型号兔子挂件的单价为元. 由题意，得，解方程组即可． （2）根据题意，得在甲厂家购买需：（元）； 在乙厂家购买需：，分类计算解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，正确理解题意，建立不等式模型，方程组模型是解题的关键． 小问1详解】 设A型号兔子挂件的单价为元，B型号兔子挂件的单价为元. 由题意，得， 解得， 答：A型号兔子挂件的单价为40元，B型号兔子挂件的单价为25元.． 【小问2详解】 解：在甲厂家购买需：（元）； 在乙厂家购买需：（元）. 当在甲厂家购买较省钱时： ，解得， 当时，在甲厂家购买较省钱. 当在甲、乙两个厂家购买花费一样时： ，解得， 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样. 当在乙厂家购买较省钱时： ，解得， 当时，在乙厂家购买较省钱. 综上所述：当时，在甲厂家购买较省钱； 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样； 当时，在乙厂家购买较省钱. 25. 如图1，直线与直线、分别交于点、F，． （1）证明：； （2）如图2，动点在直线，之间，且在直线左侧，连接，，探究，，之间的数量关系． 小明经过分析，解答的过程如下： 解：过点作， _____（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （平行于同一条直线的两条直线平行）， （_____）． ， （_____）． 请你补全上述的解答过程． （3）小明进一步探究，分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图3．①若，则的度数为_____． ②探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）；两直线平行，内错角相等；等量代换 （3）①②（或）理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质求角度，探究角度之间的关系，角平分线的计算，邻补角的意义： （1）根据邻补角的意义结合同位角相等，两直线平行证明； （2）过点作，则，继而，，再由角的和差计算结合等量代换即可求证； （3）②由（2）中结论有，.又，，则，而，，故，即，那么，再化简即可求得与之间的数量关系； ①将代入与之间的数量关系即可求解． 【小问1详解】 证明：，， ， ； 【小问2详解】 解：过点作， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （平行于同一条直线的两条直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换； 【小问3详解】 解：②（或） 理由：由（2）中结论有，. 又，， ， 即 又和分别是和的平分线， ，， ，即， ， ， （或）． ①当时，由②得： ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$