7.2.2平行线的判定 教案 2024-2025学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.2.2平行线的判定   一、教材分析 平行线的判定是“图形与几何”领域的基础知识，是本节课的重点内容，在今后的学习中要经常用到.教材先通过提问“利用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角尺起着什么样的作用”，从而引出平行线的判定方法:同位角相等两直线平行，然后用“同位角相等两直线平行”再去证明”内错角相等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平行“这两个判定定理，引导学生用已经证明的结论证明未知结论的成立性，在本节课中，除了让学生重点掌握以上的基础知识外，还应通过大量的识图和作图训练来培养学生的图形感.平行线的判定教材中介绍了平行线的三种判定方法在解决问题的过程中，要注意学生推理能力的培养.   二、学情分析 学生已学习了上册《几何初步》和本学期《平行线与相交线》内容，认识了线段公理，垂直公理、平行公理，通过以上知识的积累，已经具备一定的逻辑推理能力.平行线的判定方法是学生对图形的判定的第一次系统的研究，对于推理，由于学生还比较陌生，不知道因为什么，根据什么，得出什么，对于推理所用的“三段论”的形式，一下子也很难适应.   三、学习目标 1.掌握平行线的三种判定方法，会运用平行线的判定方法来判断两条直线是否平行；能用符号语言简单的说理； 2.经历探索两条平行线平行的过程，领悟平行线的判定方法，理解两条直线平行的条件； 3.感受数学与生活的紧密联系，体会数学的价值，在自主探索和合作交流的过程中，激发学生学习数学的兴趣.   四、教学重难点 重点：掌握平行线的三种判定方法，会运用平行线的判定方法来判断两条直线是否平行；能用符号语言简单的说理； 难点:经历探索两条平行线平行的过程，领悟判定方法，理解两条直线平行的条件.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：什么是平行线？ 问题2：平行公理及推论是什么？ 师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，再举手回答问题． 答：问题1：在同一平面内，当直线a，b不相交时，直线a与b互相平行，记作：a∥b. 问题2：平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 设计意图：教师以复习的形式回顾上节课的重点内容，为下面的实际问题的出现做好铺垫埋下伏笔. · 探究新知 活动一 探究平行线的判定方法1 问题3：在利用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角尺起着什么样的作用? 追问：∠1和∠2有怎样的位置关系和数量关系？ 师生活动：教师演示:三角尺沿着直尺移动，教师引导:进行观察比较，学生对问题充分讨论与交流，大胆发表观点，再以小组形式汇报展示．最后得出初步结论：在画平行线的过程中实际上是保证了同位角的度数不变. 答：位置关系：∠1和∠2在是同位角. 数量关系：∠1=∠2. 三角尺起着保持同位角相等的作用. 如果同位角∠1=∠2，那么a∥b. 归纳：平行线的判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. 几何语言： ∵ ∠1=∠2 (已知), ∴ l1∥l2 (同位角相等，两直线平行). 此处符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”. 设计意图：以学生画图为主线展开探究,在画图的过程中亲身体验:在运动变化过程中，同位角的度数不变.进而得到猜想:同位角相等，两直线平行. 活动二：探究平行线的判定方法2 问题4：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直线平行呢？ 问题：如图，直线a，b被直线c所截.内错角1与2满足什么条件时，能得出a//b？ 师生活动：教师再次提出问题，学生思考并解答问题.引导学生说出推理的依据正是判定方法1. 解： 当1=2时，a//b.理由如下： 如图，∵ 1=2(已知)， 2=4(对顶角相等)， ∴ 1=4(等量代换). ∴ a//b(同位角相等，两直线平行）. 归纳：平行线的判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 几何语言： ∵ ∠1=∠2 (已知)， ∴ a∥b (内错角相等，两直线平行). 设计意图：抛出问题，引导学生合作交流，运用已学的知识去推导出平行线的判定方法二，让学生说出自己的想法，教师指导学生形成数学语言，培养学生的逻辑推理思维. 活动三：探究平行的判定方法3 问题：如图，直线a，b被直线c所截.同旁内角1与3满足什么条件时，能得出a//b？ 师生活动：学生思考并解答问题.引导学生说出推理的依据正是平行线的判定方法1和判定方法2. 答：解： 当1与3互补时，a//b. 理由如下： ∵ 如图，1与3互补(已知)， 4与3互补(邻补角互补)， ∴ 1=4(同角的补角相等). ∴ a//b(同位角相等，两直线平行). 追问：还有其他证明方法吗？ 答： 当1与3互补时，a//b. 理由如下： ∵ 如图，1与3互补(已知)， 2与3互补(邻补角互补)， ∴ 1=2(同角的补角相等). ∴ a//b(内错角相等，两直线平行). 归纳：平行线的判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 几何语言： ∵ ∠1+∠3=180° (已知)， ∴ a∥b (同旁内角互补，两直线平行). 设计意图：通过一题多证,多种思路分析事物,培养学生思维的多样性.让学生在这个过程中深刻理解运用转化解决问题的思想,进一步培养学生逻辑推理能力. · 应用新知 【教材例题】 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗?为什么? 师生活动:教师引导学生先根据条件和结论画出几何图形，学生踊跃回答结论之后，引导学生运用多种方法解决问题的同时，鼓励学生写出像如下的推理过程. 分析：垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应角的关系来判断两条直线是否平行. 方法一：解:这两条直线平行.理由如下: 如图, ∵b⊥a， ∴∠1=90°. 同理∠2=90°， ∴∠1=∠2. 又 ∠1和∠2是同位角， ∴b∥c(同位角相等，两直线平行). 追问：还有其他证明方法吗？ 方法二： 这两条直线平行.理由如下: 如图,.∵b⊥a， ∴∠1=90°. 同理∠2=90°, ∴∠1+∠2=180°. ∵∠1和∠2是同旁内角, ∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行). 方法三： 这两条直线平行.理由如下: 如图,∵b⊥a， ∴∠1=90°. 同理∠2=90°， ∴∠1=∠2. ∵∠1和∠2是内错角， ∴b∥c(内错角相等，两直线平行). 设计意图：本题相当于文字题目，是以半开放的形式给出,根据条件写出结论.本题意渗透简单逻辑推理的思想，可以有效的巩固学生对平行线三种判定方法的认识,增强三种判定方法的联系，让学生在交流中逐步培养学生的逻辑推理能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.如图，E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC的延长线上一点. (1)如果∠B=∠DCG，那么可以判断哪两条直线平行?为什么? (2)如果∠D=∠DCG，那么可以判断哪两条直线平行?为什么? (3)如果∠D+∠DFE=180°，那么可以判断哪两条直线平行?为什么? 解： (1) AB∥CD，因为同位角相等，两直线平行； (2) AD∥BC，因为内错角相等，两直线平行； (3) AD∥EF，同旁内角互补，两直线平行. 2.如图，木工常用角尺画平行线，你能说出其中的道理吗? 分析：根据同位角相等，两直线平行即可得出结论. 答：解：用角尺画平行线，实际上是画出两个直角，根据“同位角相等，两直线平行”即可得出平行线. 3.在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的.如图，已知∠2是直角，要判断两条钢轨是否平行，只需要再度量图中标出的哪个角?为什么? 分析：根据图形可知:∠2和∠3互为同旁内角，∠2和∠5互为内错角，∠2和∠4互为同位角，然后结合平行线的判定定理即可判断出需要再度量哪个角. 答：解： 再度量∠3或∠4或∠5的度数，就可以判断两条钢轨是否平行.理由： 当∠3是直角时，∵∠2=90°，∴∠2+∠3=180°， ∴两条钢轨平行（同旁内角互补，两直线平行）； 当∠4是直角时，∵∠2=90°，∴∠2=∠4， ∴两条钢轨平行（同位角相等，两直线平行）； 当∠5是直角时，∵∠2=90°，∴∠2=∠5， ∴两条钢轨平行（内错角相等，两直线平行）. 4.如图是两条道路互相垂直的交叉路口.你能画出它的平面示意图(用两条平行线段表示一条道路)吗?你能用类似的方法，画出两条道路成 45°角的交叉路口的平面示意图吗? 分析：用直角三角板画出互相垂直的道路平面示意图；用量角器画出成45°角的交通路口的示意图即可. 答： 解：如图所示： 【限时训练】 1.如图，可以确定AB∥CE的条件是( ) A.∠2=∠B B. ∠1=∠A C. ∠3=∠B D. ∠3=∠A 分析：根据平行线的判定定理可知当∠2=∠A或∠3=∠B或∠B+∠BCE=180°,AB∥CE.故选C. 答：C 2.用两块相同的三角尺按图所示的方式作平行线AB和CD，能解释其中的道理的依据是(　　) A.内错角相等，两直线平行 B.同位角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线平行 分析：利用三角板完全相同得到∠ADC=∠BAD，然后根据平行线的判定方法可对各选项进行判断.故选A. 答：A. 3.如图.(1)从∠1=∠4，可以推出　 ∥ ，理由是__ (2)从∠ABC +∠ =180°，可以推出AB∥CD ，理由是 . (3)从∠ =∠ ，可以推出AD∥BC，理由是 . (4)从∠5=∠ ，可以推出AB∥CD， 理由是 . 答：：(1) AB，CD， 内错角相等，两直线平行 (2) BCD；同旁内角互补，两直线平行 (3)3；2（5 ADC）；内错角相等，两直线平行 (4) ABC; 同位角相等，两直线平行 总结：解答此类要判定两直线平行的题目，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角. 4.如图， 直线AE，CD 相交于点O， 如果∠A=110°，∠1=70°，就可以说明AB∥ CD，这是为什么？ 分析：找出AB，CD 被AE 所截形成的同旁内角，利用两个角之间的数量关系来说明这两条直线平行. 答：解：∵∠ 1= ∠ AOD(对顶角相等)，∠ 1=70°， ∴∠ AOD=70°. 又∵∠ A=110°， ∴∠ A+ ∠ AOD=180°. ∴AB ∥ CD(同旁内角互补，两直线平行). 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.如何判定两条直线是平行线？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 实践作业 找两幅相同的三角尺摆出不同的图案，用笔描出平行的边，并说明理由，看谁摆的样式多.   六、板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $$