湖南省邵阳县第二高级中学2024-2025学年高二下学期入学考试数学试卷

高二入学考试数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C B B C A D C ACD BCD BCD 12 . an＝ 13 . 14．(－∞，－4)∪(0，＋∞) 　 14.因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 15．解　(1)设抽样比为x，则由分层随机抽样可知，街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为48x，42x，30x.由题意得48x－42x＝1，解得x＝. 故街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为48×＝8，42×＝7，30×＝5. (2)由(1)知，从围棋社团抽取的同学有7人，其中2名女生记为A，B，5名男生记为C，D，E，F，G.从中随机选出2人担任该社团活动监督职务，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种不同的结果， 至少有1名女同学担任监督职务，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，共11种不同的结果， 所以至少有1名女同学担任监督职务的概率为P＝ . 16．解　(1)根据正弦定理，由c sin ＝a sin C可得sin C sin ＝sin A sin C， 即sin C sin ＝sin A sin C，即sin C cos ＝2sin cos sin C.因为0<C<π，0<A<π， 所以sin C>0，0<<，cos >0.所以sin ＝，即＝，A＝. (2) 由正弦定理＝，可得＝，解得a＝， 根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即7＝4＋c2－2c，c2－2c－3＝0， 解得c＝3或c＝－1(舍去)，故c＝3.因为b<a，所以B<A＝， 所以cos B＝＝，所以sin2B＝2sin B cos B＝2××＝， cos 2B＝1－2sin2B＝1－2×()2＝， 所以sin (2B＋A)＝sin 2B cos A＋cos 2B·sin A＝×＋×＝. 17．解　(1)连接BD.因为AB＝AD，且AB⊥AD，所以BD＝AD. 因为PD＝AD，所以PD＝BD.因为E为PB的中点，所以DE⊥PB. 因为DE⊥PC，PC，PB平面PBC，且PC∩PB＝P，所以DE⊥平面PBC. 因为BC平面PBC，所以DE⊥BC. 由题意得BC＝BD＝AB，则BC2＋BD2＝CD2，所以BC⊥BD. 因为BD，DE平面PBD，且BD∩DE＝D，所以BC⊥平面PBD. 因为PD平面PBD，所以BC⊥PD. 因为PD＝BD＝AB，PB＝2AB，所以PB2＝PD2＋BD2，所以PD⊥BD. 因为BD，BC平面ABCD，且BD∩BC＝B，所以PD⊥平面ABCD. (2)以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，P，E，F(2，1，0)， 从而＝，＝(－2，2，0)，＝. 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)， 则即令x＝1，得m＝. 设直线EF与平面PBC所成角为α， 则sin α＝＝＝＝， 所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为. 18. (1)当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋2，解得a1＝2； 当n≥3时，2Sn＝n(an＋2)，2Sn－1＝(n－1)(an－1＋2)， 两式相减可得(n－2)an－(n－1)an－1＝－2， 则－＝－2，－＝－2，…，－＝－2， 叠加可得－＝，则an＝n＋1，而n＝1，2时也符合题意， 所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1. (2)由(1)知an＝n＋1，可得＝＝－， 故＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝. 方法一：由＋＋…＋≥λan＋1，可得≥λ(n＋2)， 即λ≤，则λ≤，又由＝≤， 当且仅当n＝2时取等号，故实数λ的取值范围为. 方法二：由＋＋…＋＝－≥λ(n＋2)， 可得λ≤－＝－＋， 当n＋2＝4，即n＝2时，＝， 则λ≤，故实数λ的取值范围为. 19．解　(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由得y2－4py＋2p＝0，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以|AB|＝|yA－yB|＝×＝4， 即2p2－p－6＝0，因为p>0，解得p＝2. (2)因为F(1，0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0m2＋n>0. 因为·＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 亦即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入，得4m2＝n2－6n＋1，4(m2＋n)＝(n－1)2>0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝， |MN|＝×|y1－y2|＝ ＝×＝2|n－1|， 所以△MFN的面积S＝×|MN|×d＝××2|n－1|＝(n－1)2， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MFN的面积Smin＝＝12－8. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二入学考试试卷 一、单选题（每小题5分） 1．已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B等于(　　) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 2．若＝1＋i，则z等于(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 3．若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 4．已知向量a，b满足＝1，＝2，且(b－2a)⊥b，则等于(　　) A． B． C． D．1 5．已知a>0，b>0，直线l1：(a－1)x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝0，且l1⊥l2，则＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．9 6．设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在(0，1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． 7．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　). A．120 B．85 C．－120 D．－85 8．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分） 9．已知函数f(x)＝cos 2x，g(x)＝sin (2x＋)，则(　　) A．将函数y＝f(x)的图象右移个单位可得到函数y＝g(x)的图象 B．将函数y＝f(x)的图象右移个单位可得到函数y＝g(x)的图象 C．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于点(，0)对称 10．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P为空间中一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则(　　) A． 当λ＝1时，点P在棱BB1上 B．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 C．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 D．当λ＝μ时，点P在线段BC1上 11．已知⊙E：(x－2)2＋(y－1)2＝4，过点P(5，5)作圆E的切线，切点分别为M，N，则下列命题中真命题是(　　) A．|PM|＝ B．直线MN的方程为3x＋4y－14＝0 C.圆x2＋y2＝1与⊙E共有4条公切线 D．若过点P的直线与⊙E交于G，H两点，则当△EHG面积最大时，|GH|＝2 三、填空题（每小题5分） 12．已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________． 13．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则∠F1PF2的大小为________． 14．若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 四、解答题（15题13分、16题与17题各15分、18题与19题各17分） 15．某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团，三个社团参加的人数如表所示： 社团 街舞 围棋 武术 人数 48 42 30 为调查社团活动开展情况，学校社团管理部采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本，已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人． (1)求三个社团分别抽取了多少同学； (2)已知从围棋社团抽取的同学中有2名女生，若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务，求至少有1名女同学担任监督职务的概率． 16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c sin ＝a sin C. (1)求角A的大小； (2)若b＝2，sin B＝，求边c及sin (2B＋A)的值 17．如图，四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝2，PB＝CD＝4，PD＝AD，E为PB的中点，DE⊥PC. (1)求证：PD⊥平面ABCD (2)已知F为线段AB的中点，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值． 18. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，2Sn＝n(an＋2). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若存在n∈N，使得＋＋…＋≥λan＋1成立，求实数λ的取值范围． 19．已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，·＝0，求△MFN面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$