浙江省杭州市西湖区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区七年级（上）期末数学试卷 一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）中国是历史上最早认识和使用负数的国家．若水库的水位升高3m记作+3m，则水位下降2m记作（　　） A．+2m B．﹣2m C．+1m D．﹣1m 2．（3分）2023年，在成功举办亚运会之年，杭州经济总量完成从“1万亿”到“2万亿”的大跨越，实现生产总值20059亿元，比上年增长5.6%，成为全国第8个经济总量突破2万亿的城市．其中，数据“20059亿”用科学记数法表示为（　　） A．2.0059×104 B．20059×108 C．2.0059×1012 D．200.59×1010 3．（3分）一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知∠1＝53°，则∠2的度数为（　　） A．37° B．47° C．117° D．127° 4．（3分）下列各组中的两项能合并的是（　　） A．3x与﹣2y B．3bc3与b3c C．4与4a D．﹣2xy与5yx 5．（3分）下列对等式的变形正确的是（　　） A．由a﹣b﹣1＝0，得a＝b﹣1 B．由2x﹣2＝x，得3x＝2 C．由，得4m＝3n D．由2x＝5y，得 6．（3分）无论m取何值，代数式m﹣1的值总是（　　） A．比﹣1大 B．比﹣1小 C．比m大 D．比m小 7．（3分）有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是（　　） A．﹣b＞0 B．|a|＜|b| C．a﹣b＞0 D．a＜﹣b 8．（3分）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了这样一个问题：今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．大致意思为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（　　） A．240x＝150×12 B．240×12＝150x C．240x＝150（12+x） D．240（12+x）＝150x 9．（3分）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼成以下一串图形．图①用1个正方形，图②用3个正方形，图③用6个正方形……按照此规律，若图n中用的正方形个数比图n﹣2（n≥3）多17个，则n的值为（　　） A．7 B．9 C．10 D．12 10．（3分）已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，有以下三个结论：①∠3＝90°+∠2；②∠3＝2∠1+∠2；③∠3﹣∠1＞∠2．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．① C．③ D．①②③ 二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）|﹣4|＝　 　． 12．（3分）﹣2a+5a＝　 　． 13．（3分）如图，点C，D在线段AB上，点D为AB的中点，AD＝3CD，若CD＝2，则线段BC的长为　 　． 14．（3分）已知x＝3是关于x的方程3x+2a＝13的解，则a＝ 　 　． 15．（3分）已知a，n均为正整数，若，，则a的最大值为　 　． 16．（3分）一张矩形纸片ABCD，若如图（1）翻折，点A的对应点A′恰好落在PB'上，折痕分别为PE，PG，则∠EPG的度数为　 　.若如图（2）翻折，点A的对应点A落在∠B'PG的内部（不含角的两边），已知∠APE＝48°，∠A'PG＝∠EPB'，则∠A'PB'的度数为　 　． 三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： （1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）； （2）． 18．（8分）解方程： （1）2x+2＝8﹣x； （2）． 19．（8分）已知A＝2x2+y2﹣xy，B＝x2﹣y2． （1）求A﹣2B． （2）当x＝5，y＝﹣2时，求A﹣2B的值． 20．（8分）如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°． （1）若∠BOC＝20°，求∠AOB的度数． （2）∠COD与∠AOB互补吗？请说明理由． 21．（8分）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：m）． （1）求该住宅的面积（用含x，y的代数式表示）． （2）该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为4.5m2.如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 22．（10分）观察下列三个等式：2+2＝2×2，，，我们将使等式a+b＝ab成立的一对实数a，b称为“美好数对”，记为（a，b），例如数对（2，2），，都是“美好数对”，请回答下列问题： （1）数对是“美好数对”吗？请说明理由． （2）若是“美好数对”，求a的值． （3）若（﹣3，m2﹣2m）是“美好数对”，求代数式m2﹣2m的值． 23．（10分）综合与实践 【提出问题】 我们知道，数轴上表示数a的点与原点的距离可以用|a|来表示．那么，数轴上任意两点间的距离又该如何表示呢？ 【观察比较】 （1）如图，点A，B，C，D在数轴上对应的数分别为﹣4，﹣1，3，10，通过观察，请写出以下两点间的距离（即线段的长度）：AB＝　 　；AC＝　 　；BD＝　 　． 【分析归纳】 （2）请你再举些例子，分析两点间的距离与表示这两个点的数之间的关系，类比绝对值的表示，可归纳出：数轴上表示数a与数b的两点间的距离可用　 　来示．（请填写序号） ①a﹣b；②a+b；③|a﹣b|；④|a+b|． 【迁移应用】 （3）在（1）的前提下，点A，点D同时向右运动，点A的速度为每秒4个单位长度，点D的速度为每秒a个单位长度．设运动时间为t秒，同时停止时点A，点D分别记为点A′，点D′． ①当a＝2，t＝6时，求点A′与点D′的距离． ②当a＞4时，若经过t秒后点A′与点D′相距32个单位长度，求经过4t秒后点A′与点D′的距离． 24．（12分）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克．两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： （1）求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ （2）若销售这两种茶叶共m盒，销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含m的代数式表示） （3）若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 2024-2025学年浙江省杭州市西湖区七年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C． A D C D D C B A 一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）中国是历史上最早认识和使用负数的国家．若水库的水位升高3m记作+3m，则水位下降2m记作（　　） A．+2m B．﹣2m C．+1m D．﹣1m 【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：若水库的水位升高3m记作+3m，则水位下降2m记作﹣2m， 故选：B． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 2．（3分）2023年，在成功举办亚运会之年，杭州经济总量完成从“1万亿”到“2万亿”的大跨越，实现生产总值20059亿元，比上年增长5.6%，成为全国第8个经济总量突破2万亿的城市．其中，数据“20059亿”用科学记数法表示为（　　） A．2.0059×104 B．20059×108 C．2.0059×1012 D．200.59×1010 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：20059亿＝2005900000000＝2.0059×1012． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知∠1＝53°，则∠2的度数为（　　） A．37° B．47° C．117° D．127° 【分析】通过平角，直角的应用，即可计算出∠2的度数． 【解答】解：如图，∠CAB＝90°， ∵∠1＝53°， ∴∠2＝180﹣∠CAB﹣∠1＝180°﹣90°﹣53°＝37°． 故选：A． 【点评】本题考查了角度的计算，认识图形，并能熟练计算是解题的关键． 4．（3分）下列各组中的两项能合并的是（　　） A．3x与﹣2y B．3bc3与b3c C．4与4a D．﹣2xy与5yx 【分析】根据同类项的定义判断每个选项中的两项是否是同类项，如果是，就可以合并． 【解答】解：A、3x与﹣2y不是同类项，不能合并； B、3bc3与b3c不是同类项，不能合并； C、4与4a不是同类项，不能合并； D、﹣2xy与5yx是同类项，可以合并； 故选：D． 【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 5．（3分）下列对等式的变形正确的是（　　） A．由a﹣b﹣1＝0，得a＝b﹣1 B．由2x﹣2＝x，得3x＝2 C．由，得4m＝3n D．由2x＝5y，得 【分析】利用等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：由a﹣b﹣1＝0，得a＝b+1，则A不符合题意； 由2x﹣2＝x，得x＝2，则B不符合题意； 由，得4m＝3n，则C符合题意； 由2x＝5y，得x＝y，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 6．（3分）无论m取何值，代数式m﹣1的值总是（　　） A．比﹣1大 B．比﹣1小 C．比m大 D．比m小 【分析】根据题意列式计算，然后将结果与0比较大小即可． 【解答】解：m﹣1﹣（﹣1）＝m，无法判断其与0的大小关系，则A，B不符合题意， m﹣1﹣m＝﹣1＜0，则代数式m﹣1的值总是比m小，则C不符合题意，D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 7．（3分）有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是（　　） A．﹣b＞0 B．|a|＜|b| C．a﹣b＞0 D．a＜﹣b 【分析】根据数轴的知识点以及绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：由数轴可知， a＜﹣1＜0＜b＜1， A、﹣b＜0，故该项不正确，不符合题意； B、|a|＞|b|，故该项不正确，不符合题意； C、a﹣b＜0，故该项不正确，不符合题意； D、a＜﹣b，故该项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查数轴，绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 8．（3分）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了这样一个问题：今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．大致意思为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可列方程为（　　） A．240x＝150×12 B．240×12＝150x C．240x＝150（12+x） D．240（12+x）＝150x 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：240x＝150（12+x）． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．（3分）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼成以下一串图形．图①用1个正方形，图②用3个正方形，图③用6个正方形……按照此规律，若图n中用的正方形个数比图n﹣2（n≥3）多17个，则n的值为（　　） A．7 B．9 C．10 D．12 【分析】根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 图①中正方形的个数为：1； 图②中正方形的个数为：3＝1+2； 图③中正方形的个数为：6＝1+2+3； …， 所以图n中正方形的个数为：1+2+3+…+n＝． 因为图n中用的正方形个数比图n﹣2（n≥3）多17个， 所以， 解得n＝9． 故选：B． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现第n个图形中正方形的个数为是解题的关键． 10．（3分）已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，有以下三个结论：①∠3＝90°+∠2；②∠3＝2∠1+∠2；③∠3﹣∠1＞∠2．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．① C．③ D．①②③ 【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，即可求出有关的结论． 【解答】解：由：∠1+∠2＝90°（1），∠1+∠3＝180°（2）， 得，∠3＝180°﹣∠1＝2∠1+2∠2﹣∠1＝∠1+2∠2， ∴∠3＞∠1+∠2， ∴②错误，③正确． ∵∠1+∠2＝90°（1），∠1+∠3＝180°（2）， ∴（2）﹣（1）得，∠3＝∠2+90°， ∴①正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了余角和补角的知识，掌握余角的和等于90°，互补的两角之和为180°是关键． 二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）|﹣4|＝　4　． 【分析】因为﹣4＜0，由绝对值的性质，可得|﹣4|的值． 【解答】解：|﹣4|＝4． 【点评】本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 12．（3分）﹣2a+5a＝　3a　． 【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【解答】解：﹣2a+5a＝（﹣2+5）a＝3a． 故答案为：3a． 【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．（3分）如图，点C，D在线段AB上，点D为AB的中点，AD＝3CD，若CD＝2，则线段BC的长为　8　． 【分析】根据题意，点D为AB的中点，可得AD＝BD，由AD＝3CD，CD＝2，求出AD＝6，则BD＝6，最后由BC＝BD+CD即可得出答案． 【解答】解：∵点D为AB的中点， ∴AD＝BD， ∵AD＝3CD，CD＝2， ∴AD＝3×2＝6， ∴BD＝6， ∴BC＝BD+CD＝6+2＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差，两点间的距离是解题的关键． 14．（3分）已知x＝3是关于x的方程3x+2a＝13的解，则a＝ 　2　． 【分析】根据一元一次方程的解的定义把x＝3代入方程3x+2a＝13中即可求出a的值． 【解答】解：把x＝3代入方程3x+2a＝13中，得3×3+2a＝13， 解得a＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟知方程的解的定义是解题的关键． 15．（3分）已知a，n均为正整数，若，，则a的最大值为　8　． 【分析】先求出n的值，再根据的取值范围即可找出a的最大值． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴n＝3， ∵， ∴， ∴a的最大值为8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的取值范围是解题的关键． 16．（3分）一张矩形纸片ABCD，若如图（1）翻折，点A的对应点A′恰好落在PB'上，折痕分别为PE，PG，则∠EPG的度数为　90°　.若如图（2）翻折，点A的对应点A落在∠B'PG的内部（不含角的两边），已知∠APE＝48°，∠A'PG＝∠EPB'，则∠A'PB'的度数为　12°　． 【分析】直接根据折叠的性质和平角的定义可得出∠EPG的度数；先根据图形折叠的性质得出∠APE＝∠A′PE，∠BPG＝∠B′PG，再由∠APE＝48°，故可得出∠A′PE＝48°，即∠EPB′+A′PB′＝48°，再由∠A'PG＝∠EPB'，可知∠A'PG+∠A′PB′＝∠EPB'+∠A′PB′，即∠A′PE＝∠B′PG，故∠A′PE＝∠B′PG＝∠BPG＝48°，再由平角的定义得出∠EPB'的度数，进而可得出结论． 【解答】解：如图（1）， ∵点A的对应点A′恰好落在PB'上，折痕分别为PE，PG， ∴∠A′PE＝∠APE，∠B′PG＝∠BPG， ∵∠A′PE+∠APE+∠B′PG+∠BPG＝180°， ∴∠EPG＝∠A′PE+∠B′PG＝×180°＝90°； 如图（2）， 由折叠的性质得出∠APE＝∠A′PE，∠BPG＝∠B′PG， ∵∠APE＝48°， ∴∠A′PE＝48°，即∠EPB′+A′PB′＝48°， ∵∠A'PG＝∠EPB'， ∴∠A'PG+∠A′PB′＝∠EPB'+∠A′PB′，即∠A′PE＝∠B′PG， ∴∠APE＝∠A′PE＝∠B′PG＝∠BPG＝48°， ∵∠APE+∠EPB'+∠B′PG+∠BPG＝180°，即48°+∠EPB'+48°+48°＝180°， ∴∠EPB'＝36°， ∴∠A'PB'＝∠A′PE﹣∠EPB′＝48°﹣36°＝12°． 故答案为：90°，12°． 【点评】本题考查的是翻折变换，平行线的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解题的关键． 三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： （1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2）； （2）． 【分析】（1）先算乘法，再算加减即可； （2）先算括号里面的，再算乘方、开方，再算乘法，最后算减法即可． 【解答】解：（1）5﹣（﹣5）+6×（﹣2） ＝5+5+（﹣12） ＝10+（﹣12） ＝﹣2； （2） ＝36×﹣2 ＝6﹣2 ＝4． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．（8分）解方程： （1）2x+2＝8﹣x； （2）． 【分析】（1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【解答】解：（1）2x+2＝8﹣x， 移项，得2x+x＝8﹣2， 合并同类项，得3x＝6， 将系数化为1，得x＝2； （2）， 去分母，得2（1﹣2x）＝3（3x+1）﹣6， 去括号，得2﹣4x＝9x+3﹣6， 移项、合并同类项，得﹣13x＝﹣5， 将系数化为1，得． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 19．（8分）已知A＝2x2+y2﹣xy，B＝x2﹣y2． （1）求A﹣2B． （2）当x＝5，y＝﹣2时，求A﹣2B的值． 【分析】（1）把A＝2x2+y2﹣xy，B＝x2﹣y2代入A﹣2B，再根据去括号法则和合并同类项法则进行化简即可； （2）把x＝5，y＝﹣2代入（1）中化简的式子，然后进行计算即可． 【解答】解：（1）∵A＝2x2+y2﹣xy，B＝x2﹣y2， ∴A﹣2B ＝2x2+y2﹣xy﹣2（x2﹣y2） ＝2x2+y2﹣xy﹣2x2+2y2 ＝2x2﹣2x2+2y2+y2﹣xy ＝3y2﹣xy； （2）当x＝5，y＝﹣2时， A﹣2B ＝3×（﹣2）2﹣5×（﹣2） ＝3×4+5×2 ＝12+10 ＝22． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 20．（8分）如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°． （1）若∠BOC＝20°，求∠AOB的度数． （2）∠COD与∠AOB互补吗？请说明理由． 【分析】（1）由∠BOC＝20°，∠AOC＝90°，从而得到∠AOB的角度； （2）由题意，设∠COD＝x，表示出∠AOB＝180°﹣x，即可得到结果． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝20°，∠AOC＝90°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝110°； （2）∠COD与∠AOB互补，理由如下：∠COD与∠AOB互补，理由如下： 设∠COD＝x， ∠BOD＝90°， ∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣x， ∵∠AOC＝90°， ∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝90°﹣x+90°＝180°﹣x， ∴∠COD+∠AOB＝x+180°﹣x＝180°， ∴∠COD与∠AOB互补． 【点评】本题考查了余角、补角的定义，正确认识图形是解题的关键． 21．（8分）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：m）． （1）求该住宅的面积（用含x，y的代数式表示）． （2）该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为4.5m2.如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 【分析】（1）将图形补充为长为6y，宽为5x的长方形，再根据长方形的面积公式计算即可； （2）根据卫生间的地面面积求出xy的值，从而求出卧室以外的地面面积，再乘以每平方米地砖的价格即可． 【解答】解：（1）如图，将图形补充为长为6y，宽为5x的长方形． 5x•6y﹣1.5y（2x﹣1.5x）﹣2y（2x﹣1.5x）＝28.25xy（m2）． 答：该住宅的面积是28.25xy m2． （2）根据题意，得1.5xy＝4.5， 解得xy＝3， 则卧室以外的地面面积为28.25xy﹣2y（5x﹣2x）﹣2x（y+2y）＝16.25xy＝16.25×3＝48.75（m2）， 48.75×80＝3900（元）． 答：购买地砖至少需要花费3900元． 【点评】本题考查列代数式，掌握长方形的面积计算公式是解题的关键． 22．（10分）观察下列三个等式：2+2＝2×2，，，我们将使等式a+b＝ab成立的一对实数a，b称为“美好数对”，记为（a，b），例如数对（2，2），，都是“美好数对”，请回答下列问题： （1）数对是“美好数对”吗？请说明理由． （2）若是“美好数对”，求a的值． （3）若（﹣3，m2﹣2m）是“美好数对”，求代数式m2﹣2m的值． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列得方程，解方程即可； （3）根据题意求得﹣3+m2﹣2m＝﹣3（m2﹣2m），进而求得m2﹣2m的值． 【解答】解：（1）数对是“美好数对”，理由如下： ∵﹣4+＝﹣，﹣4×＝﹣， ∴﹣4+＝﹣4×， ∴数对是“美好数对”； （2）∵是“美好数对”， ∴a+＝a， 解得：a＝﹣2； （3）∵（﹣3，m2﹣2m）是“美好数对”， ∴﹣3+m2﹣2m＝﹣3（m2﹣2m）， ∴4（m2﹣2m）＝3， ∴m2﹣2m＝． 【点评】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 23．（10分）综合与实践 【提出问题】 我们知道，数轴上表示数a的点与原点的距离可以用|a|来表示．那么，数轴上任意两点间的距离又该如何表示呢？ 【观察比较】 （1）如图，点A，B，C，D在数轴上对应的数分别为﹣4，﹣1，3，10，通过观察，请写出以下两点间的距离（即线段的长度）：AB＝　3　；AC＝　7　；BD＝　11　． 【分析归纳】 （2）请你再举些例子，分析两点间的距离与表示这两个点的数之间的关系，类比绝对值的表示，可归纳出：数轴上表示数a与数b的两点间的距离可用　④　来示．（请填写序号） ①a﹣b；②a+b；③|a﹣b|；④|a+b|． 【迁移应用】 （3）在（1）的前提下，点A，点D同时向右运动，点A的速度为每秒4个单位长度，点D的速度为每秒a个单位长度．设运动时间为t秒，同时停止时点A，点D分别记为点A′，点D′． ①当a＝2，t＝6时，求点A′与点D′的距离． ②当a＞4时，若经过t秒后点A′与点D′相距32个单位长度，求经过4t秒后点A′与点D′的距离． 【分析】（1）分别取较大的数减去较小的数，或者求出两个数的差的绝对值即可得到所求线段的长度； （2）无法确定哪个数大，那么数轴上表示数a与数b的两点间的距离可用两个数的差的绝对值表示； （3）①分别表示出t秒后点A′与点D′表示的数，进而把a＝2，t＝6代入，即可求得点A′与点D′的距离； ②当a＞4时，易得点D′表示的数较大，得到用t表示的点A′与点D′，根据点A′与点D′相距32个单位长度可得含a，t的代数式的值，进而得到经过4t秒后点A′与点D′表示的数，整理可得经过4t秒后点A′与点D′的距离． 【解答】解：（1）AB＝|﹣4﹣（﹣1）|＝3， AC＝|﹣4﹣3|＝7， BD＝|﹣1﹣10|＝11， 故答案为：3，7，11； （2）由（1）可得：数轴上表示数a与数b的两点间的距离可用|a﹣b|表示， 故选：④； （3）由题意得：点A′表示的数为：﹣4+4t，点D′表示的数为：10+at， ①当a＝2，t＝6时，点A′与点D′的距离之间的距离为：|﹣4+4t﹣（10+at）|＝|﹣4+24﹣10﹣12|＝2； ②∵经过t秒后点A′表示的数为：﹣4+4t，点D′表示的数为：10+at，a＞4， ∴10+at＞﹣4+4t， ∵经过t秒后点A′与点D′相距32个单位长度， ∴10+at﹣（﹣4+4t）＝32， at﹣4t＝32﹣14， （a﹣4）t＝18， ∵经过4t秒后点A′表示的数为：﹣4+4×4t，点D′表示的数为：10+a•4t，a＞4， ∴10+4at＞﹣4+16t， ∴4t秒后点A′与点D′的距离为10+4at﹣（﹣4+16t）＝14+4（a﹣4）t＝14+4×18＝86． 【点评】本题考查一元一次方程的应用．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于表示这两个点的数的差的绝对值或较大的数减去较小的数． 24．（12分）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克．两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： （1）求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ （2）若销售这两种茶叶共m盒，销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含m的代数式表示） （3）若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 【分析】（1）设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，则制成“梅坞龙井”茶叶（240﹣x）千克，根据平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即制成“狮峰龙井”茶叶的质量），再将其代入（240﹣x）中，即可求出制成“梅坞龙井”茶叶的质量； （2）设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，则销售“梅坞龙井”茶叶（m﹣y）盒，利用总价＝单价×数量，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据制成两种茶叶的质量及每盒的质量，可求出制成两种茶叶的盒数，设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅坞龙井”茶叶（600﹣n）盒，第二次销售“狮峰龙井”茶叶（320﹣n）盒，“梅坞龙井”茶叶（200+n）盒，根据第二次的销售额比第一次的销售额多12800元，可列出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，则制成“梅坞龙井”茶叶（240﹣x）千克， 根据题意得：＝×40%， 解得：x＝40， ∴240﹣x＝240﹣40＝200（千克）． 答：制成“狮峰龙井”茶叶40千克，“梅坞龙井”茶叶200千克； （2）设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，则销售“梅坞龙井”茶叶（m﹣y）盒， 根据题意得：200y+600（m﹣y）＝40000， 解得：y＝m﹣100． 答：销售“狮峰龙井”茶叶（m﹣100）盒； （3）今年制成“狮峰龙井”茶叶40÷0.125＝320（盒）， 制成“梅坞龙井”茶叶200÷0.25＝800（盒）． 设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅坞龙井”茶叶（600﹣n）盒，第二次销售“狮峰龙井”茶叶（320﹣n）盒，“梅坞龙井”茶叶800﹣（600﹣n）＝（200+n）盒， 根据题意得：200×0.8（320﹣n）+600（200+n）﹣[200n+600（600﹣n）]＝12800， 解得：n＝240． 答：第一次销售“狮峰龙井”240盒． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$