精品解析：内蒙古自治区赤峰市赤峰二中2024-2025学年高一上学期期末数学试题

高一数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长是（ ） A. B. C. D. 5. 若矩形的周长为4，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 9 D. 4.5 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的最小值是4的有（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，存在，使得，我们称为“不动点”函数.下列函数中，是“不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与角终边相同的最小正角是________．（用弧度表示） 13. __________. 14. 已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）. 17. 甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. （1）分别求函数，的解析式； （2）判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，判断的单调性并用定义法证明； （3）若，求不等式的解集. 19. 若函数满足对任意的，，都有，，且，则称为“超加性倾向函数”. （1）若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由. （2）证明：函数是“超加性倾向函数”. （3）若函数是“超加性倾向函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得集合，利用交集的定义可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求得的值. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：B. 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为均在上单调递增，则在上单调递增， 由已知，，， ，， ， 由零点存在性定理可得函数的零点所在区间是. 故选：C. 4. 已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形中，弧长公式和面积公式求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 则，解得，扇形的弧长是. 故选：A. 5. 若矩形的周长为4，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 9 D. 4.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求最值可得. 【详解】由矩形的周长为4，得，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角的正余弦平方关系化为齐次式可求值. 【详解】 . 故选：D. 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的单调递增区间. 【详解】由，得，即，解得. 所以函数的定义域为， 又的对称轴为，开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 故由复合函数的单调性可得的单调递增区间是. 故选：B. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析指对函数的底数，知道对应函数的单调性，由单调性估计的值的范围，从而知道它们之间的大小关系. 【详解】∵且，函数在上单调递减， ∴； ∵且，函数在上单调递减， ∴，∴； ∵幂函数恒大于0，∴； ∴， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的最小值是4的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A.由当判断；B.利用基本不等式判断；C.利用基本不等式判断；D.设，由对勾函数的性质求解判断. 【详解】当时，，则A错误. 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则B正确. 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确. 设，则，故D错误. 故选：BC 10. 对于函数，存在，使得，我们称为“不动点”函数.下列函数中，是“不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】将函数是否为“不动点”函数，转化为方程是否有解，根据方程判别式的符号判断AB；根据是方程的一个解判断C；分两种情况讨论分别判断方程是否有解即可判断D. 【详解】令，即. 因为，所以无解， 则不是“不动点”函数，A不正确； 令，即，即. 因为，所以有两个不同的非零实根， 则是“不动点”函数，B正确； 令，即， 易知是方程的一个解， 则是“不动点”函数，C正确； 当时，令，即，解得或， 则方程在上无解；当时，， 则方程在上无解.故不是“不动点”函数，D 不正确； 故选：BC. 11. 已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则的值可以为 C. 存在，使得在上单调递减 D. 若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据分段函数的解析式，代入值，可得答案； 对于BC，根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案； 对于D，根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题意得，得，得，A正确； 若在上单调递增，则，得，B正确； 若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误； 若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，在上单调递增，则，得，即． 当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2． 综上，的取值范围为，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与角终边相同的最小正角是________．（用弧度表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据终边相同的角的概念计算即可. 【详解】与角终边相同的最小正角是，即， 故答案为： 13. __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用根式与分数指数幂与对数的运算法则求解即可. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得，计算可求. 【详解】由题意可得，所以， 所以，所以， 又，所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得集合利用并集的意义求解即可； （2）由直接得到的不等式，求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得，所以， 当时，， 所以 【小问2详解】 显然恒成立， 则，若，需或， 解得或. 综上，的取值范围是. 16. 判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）奇函数 （2）偶函数 （3）非奇非偶函数 【解析】 【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性. 【小问1详解】 的定义域为. 因为，所以为奇函数. 【小问2详解】 的定义域为， 因为，所以为偶函数. 【小问3详解】 的定义域为， 因为，且， 所以为非奇非偶函数. 17. 甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. （1）分别求函数，的解析式； （2）判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 【答案】（1）， （2）当时，甲选择方案一更经济实惠； 当时，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，甲选择方案二更经济实惠. 【解析】 【分析】（1）由题意易得函数，的解析式； （2）将两函数作差，分类讨论可求得结论. 【小问1详解】 在方案一中，， 在方案二中，超出部分每只羊崽的进价为元， 所以， 【小问2详解】 ， 当时，，所以，甲选择方案一更经济实惠； 当时，，所以，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，，所以，甲选择方案二更经济实惠； 综上所述：当时，甲选择方案一更经济实惠； 当时，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，甲选择方案二更经济实惠. 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，判断的单调性并用定义法证明； （3）若，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 在上单调递增. 证明如下： 设，且， 则， . 因为，所以，解得或. 因为，且，所以，则是上的增函数. 因为，所以，则， 所以，即， 即，则在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）由，解得，再利用对数运算求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）由，求得，（解法一）由，将不等式转化为求解；（解法二）直接利用函数的解析式求解. 【小问1详解】 由，得， 则，即，解得， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得，解得. （解法一）由（2）可知在上单调递增，且， 则不等式等价于不等式， 所以，即不等式的解集为. （解法二）由，得，即，解得， 即不等式的解集为. 19. 若函数满足对任意的，，都有，，且，则称为“超加性倾向函数”. （1）若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由. （2）证明：函数是“超加性倾向函数”. （3）若函数是“超加性倾向函数”，求的值. 【答案】（1）不是“超加性倾向函数”，理由如下： 当时，， . 因为是上的增函数，所以， 则，则不是“超加性倾向函数”. （2）因为，所以是上的增函数. 因为是上的增函数，所以是上的增函数， 因为，所以. 取任意的，， 则. 因为，，所以，，所以，， 所以， 所以，则， 故是“超加性倾向函数”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接求解判断即可； （2）根据“超加性倾向函数”的定义直接证明即可； （3）根据“超加性倾向函数”的定义，对恒成立，等价于对恒成立，又对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立，进而利用不等式恒成立问题，求解参数即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是“超加性倾向函数”，所以对恒成立， 即对恒成立. 因为，所以，所以. 因为是“超加性倾向函数”， 所以对任意的，恒成立， 所以，即， 即对任意的，恒成立. 因为，，所以，，所以，， 所以，所以，解得. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $