期末提分练案-专题 利用锐角三角函数解决实际问题 课件2024-2025学年北师大版数学九年级下册

期末提分练案 专题 利用锐角三角函数解决实际问题 北师大版 九年级下册 1 1. 图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE－EF”组成，其中AB＝CD＝1.2 m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5 m，AE＝1.5 m. 2 (1)当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离(结果精确到0.01 m). 3 【解】如图，作EM⊥BD于点M，交AC于点N. 根据题意可知四边形ABMN为矩形． ∴AB＝CD＝MN＝1.2 m， ∠BAN＝∠ANM＝90°. ∴∠ANE＝90°. 4 5 (2)试通过计算判断宽度为1.8 m，高度为2.45 m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？ 【解】当张角∠BAE最大，即为150°时， 可通过车辆的宽度和高度都是最大的． 如图，在BD上截取DP＝1.8 m，再过 点P作PQ⊥BD，交AC于点Q，PQ的延长线交AE于点G. 由题意，得AB＝PQ＝1.2 m，∠BAQ＝90°. 6 7 返回 8 2. [2024重庆]如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资. 甲货轮沿A港的东南方向航行40 n mile后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港. 9 (1)求A，C两港之间的距离(结果保留小数点后一位). 10 11 12 (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B，D两港的时间相同)，则哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明. 13 14 返回 15 3. 我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外. 如图，小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍. 16 已知小华身高AB为1.8 m，无人机匀速飞行的速度是2 m/s，当小华在B处时，测得无人机在C处的仰角为45°；3 s后，小华沿正东方向前进3 m到达E处，无人机沿正西方向匀速飞行到达F处，此时测得无人机在F处的仰角为72.6°，已知无人机的飞行路线CF平行于地面(直线l). 求无人机在C处时距离地面的高度. (结果精确到0.1 m. 参考数据：sin 72.6°≈ 0.95，cos 72.6°≈0.30，tan 72.6°≈3.20) 17 【解】分别过点C，F作直线l的垂线，垂足分别为H，G，延长AD分别交FG，CH于点M，N，如图所示． 由题意可知AD＝3 m，CF＝2×3＝6 m， NH＝AB＝1.8 m，CN＝FM. ∴易得MN＝CF＝6 m. 设CN＝FM＝x m. 18 返回 19 4. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动. 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动 过程 模型 抽象 某休闲广场的水池中有 一雕塑，其底座的底面 为矩形ABCD，其示意 图如图： 20 续表 活 动 过 程 测量 过程 与数 据信 息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；②过点E作GH⊥CE，并沿EH的方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4 m； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin 60.3°≈0.87，cos 60.3°≈0.50，tan 60.3°≈1.75，sin 21.8°≈0.37，cos 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40. 21 请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)： (1)求线段CE和BC的长度； 22 返回 (2)求底座的底面ABCD的面积. 23 道闸工作时，折叠杆“AE－EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE(90°≤∠BAE≤150°)，同时杆EF始终与地面BD保持平行. (参考数据：≈1.414，≈1.732) 当张角∠BAE为135°时， ∠NAE＝135°－∠BAN＝135°－90°＝45°， ∴易得△NAE为等腰直角三角形． ∴EN＝AE＝×1.5≈1.06(m)． ∴EM＝EN＋MN≈1.06＋1.2＝2.26(m)． 故杆EF与地面BD之间的距离约为2.26 m. 又∵∠BAE＝150°，∴∠EAQ＝150°－90°＝60°， 即∠GAQ＝60°.∴∠AGQ＝30°.∵DP＝1.8 m，BD＝2.5 m， ∴易得BP＝AQ＝2.5－1.8＝0.7(m)． ∵在Rt△AGQ中，sin ∠AGQ＝＝， ∴AG＝2AQ＝1.4 m<1.5 m，符合G点在AE上． ∵在Rt△GAQ中， GQ＝AQ·tan ∠GAQ＝0.7×tan 60°＝0.7×≈1.21(m)． ∴GP＝GQ＋PQ≈1.21＋1.2＝2.41(m)<2.45(m)， 故该小型厢式货车不能正常通过此道闸． 乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港. (参考数据：≈ 1.41，≈1.73，≈2.45) 【解】如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E， 在Rt△ABE中，∠BAE＝90°－45°＝45°，AB＝40 n mile， ∴AE＝AB·cos 45°＝40×＝20(n mile)， BE＝AB·sin 45°＝40×＝20(n mile)． 在Rt△BCE中，∠CBE＝60°， ∴CE＝BE·tan 60°＝20×＝20(n mile)． ∴AC＝AE＋CE＝20＋20≈77.2(n mile)． 故A，C两港之间的距离约为77.2 n mile. 【解】甲货轮先到达C港．如图． 由题意得∠CDF＝30°，DF∥AG， ∴∠GAD＝∠ADF＝60°. ∴∠ADC＝∠ADF＋∠CDF＝90°. 由(1)可知，AC＝(20＋20) n mile，BE＝20 n mile， 在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－∠GAD＝30°， ∴CD＝AC＝(10＋10) n mile. ∴AD＝CD＝(10＋30) n mile. 在Rt△BCE中，∠CBE＝60°， ∴BC＝＝＝40(n mile)． ∴甲货轮航行的路程＝AB＋BC＝40＋40≈96.4(n mile)， 乙货轮航行的路程＝AD＋CD＝10＋30＋10＋10＝20＋40≈105.4(n mile)． ∵96.4 n mile＜105.4 n mile， ∴甲货轮先到达C港． 在Rt△ACN中，∠CAN＝45°，∴易得AN＝CN＝x m. ∴DM＝AN－AD－MN＝x－3－6＝(x－9) m. 在Rt△DFM中，∠FDM＝72.6°，tan ∠FDM＝， ∴FM＝DM·tan ∠FDM，即x＝(x－9)×tan 72.6°，解得x≈13.1. ∴CN≈13.1 m. ∴CH≈13.1＋1.8＝14.9(m)． 故无人机在C处时距离地面的高度约为14.9 m. 【解】∵GH⊥CE，EF的长为4 m，∠CFG＝60.3°， ∴tan ∠CFE＝tan 60.3°＝≈1.75.∴CE≈7 m. ∵∠BFG＝45°，∴易得BE＝EF＝4 m. ∴CB＝CE－BE≈3 m. 【解】过点A作AM⊥GH于点M，如图所示， ∵在Rt△AFM中，∠AFM＝21.8°， ∴tan ∠AFM＝tan 21.8°＝≈0.4. 又∵易知AM＝BE＝4 m，∴MF≈10 m. ∴易得AB＝ME≈10－4＝6(m)． ∴底座的底面ABCD的面积约为3×6＝18(m2)． $$