数列的通项求解之构造法课件-2025届高三数学一轮复习

构造等比求通项 1 一、观察法:如数列 二、公式法: 1、等差数列: 2、等比数列: 3、 ——(作差法) 三、累加法: 形如 ,或: 四、累乘法: 形如: ,( 有一定的形式要求) 复习回顾 构造等比求通项 2 等差数列: 等比数列: 累加法 累乘法 均不适用 已知数列 中, , ,求 . 问题探究 构造等比求通项 3 已知数列 中, , ,求 . 解: 因此数列 是以 为首项,以 为公比的等比数列. 可得 结论:可以通过构造等比数列来解决问题. 问题探究 构造等比求通项 ( 为常数) 结论:形如 构造 ( 为常数) 规律总结 构造等比求通项 例1 已知数列 满足: ,且 , 求 . ,且 , 可得 ,所以 . 所以数列 是首项为2,且公比 为2的等比数列; 解: 问题探究 构造等比求通项 例2 已知数列{an}满足 an+1=2an-n+1(n∈N*), a1=3,求数列{an}的通项公式. ∵an+1=2an-n+1, ∴an+1-(n+1)=2(an-n), ∴数列{an-n}是以a1-1=2为首项,2为公比的等比数列, ∴an-n=2 2n-1=2n, ∴an=2n+n. 解: 问题探究 构造等比求通项 结论:形如 构造 一次函数 规律总结 构造等比求通项 练习 已知数列 中, , ,求 . , 解: 由 不妨设 可得 比较 系数可得 是以 为首项,以 为公比的等比数列 巩固练习 构造等比求通项 结论1:形如 构造 ( 为常数) 结论2:形如 构造 规律总结 构造等比求通项 形如 如何求通项公式? 课后思考 构造等比求通项 巩固练习 构造等比求通项 构造等比求通项 规律总结 构造等比求通项 练习 在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4 3n-1求数列{an}的通项公式. 问题探究 构造等比求通项 原递推式可化为 an+1+ 3n=2(an+ 3n-1).① 比较系数得 =-4,①式即是 an+1-4 3n=2(an-4 3n-1). 则数列{an-4 3n-1}是首项为a1-4 31-1=-5,公比为2的等比数列, ∴an-4 3n-1=-5 2n-1, 即an=4 3n-1-5 2n-1. 问题探究 构造等比求通项 已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an+3n,则a5等于 ∵an+1=3an+3n, ∴an=n 3n-1,a5=5 34=405. 巩固练习 构造等比求通项 问题探究 构造等比求通项 构造等比求通项 1、已知数列 中, , ,求 . 2、已知数列 中, 求 . , 课后作业 课后思考 构造等比求通项 练习 在数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2n,求{an}的通项公式. 【解析】 设an+1+kn+b=3[an+k(n-1)+b],k,b为待定系数, 展开得an+1=3an+2kn+2b-3k, ∴k=1,b=eq \f(3,2),∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an+n+\f(1,2)))是首项为eq \f(5,2),公比为3的等比数列, ∴an+n+eq \f(1,2)=eq \f(5,2) 3n-1,∴an=eq \f(5,2) 3n-1-n-eq \f(1,2). 例 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n,求an. 【解析】 eq \f(an+1,3n+1)=eq \f(2,3) eq \f(an,3n)+eq \f(1,3),∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an+1,3n+1)-1))=eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,3n)-1)), ∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,3n)-1))是等比数列,公比为eq \f(2,3),首项为-eq \f(2,3), ∴eq \f(an,3n)-1=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n),∴an=3n-2n. (4)设正项数列{an}满足a1=1,an=2an-12(n≥2),求数列{an}的通项公式. 【解析】 对an=2an-12(n≥2)的两边取对数,得log2an=1+2log2an-1(n≥2),所以log2an+1=2(log2an-1+1)(n≥2).设bn=log2an+1,则bn=2bn-1(n≥2).因为b1=log2a1+1=1,所以{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列.所以bn=1 2n-1=2n-1,即log2an+1=2n-1,所以log2an=2n-1-1,所以an=22n-1-1. $$