6.4 正余弦定理-2024-2025学年高一下学期数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

6.4 正余弦定理 考点一 解三角形 【例1】（1）（24-25云南昆明）在中，角所对三条边为，已知，则角 （2）（23-24·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则 （3）（24-25浙江）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） （4）（23-24高一·广西玉林）中，角所对的边分别为，若，则 （5）（24-25山西吕梁·阶段练习）在中，已知，，，则角的值为 （6）（23-24·黑龙江哈尔滨 ）在中，，则 【一隅三反】 （2024·高一课时练习）已知△中， (1)若a＝3，，，求c； (2)若a＝8，，，求c； (3)若a＝7，，，求c； (4)若a＝14，，，求∠C． （5）若，，，解此三角形. （6）若，，，解此三角形. (7)已知，，，求； (8)已知，，，求； (9)已知，，，求； (10)已知，，，求． 考点二 边角互换 【例2】（1）（23-24高一·重庆）在中，记内角所对的边分别为.若，则 （2）（24-25高一下·全国·随堂练习）在中，若，则等于 （3）（23-24高一·陕西）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 。 （4）（23-24海南）在中，角，，的对边分别是，，，，则角 【一隅三反】 1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，若，则 2．（2024·四川成都）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 3．（23-24高一下·云南德宏·期中）在中，角，，所对的边分别为a，b，c，且，若，则等于 4．（24-25 海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则 考点三 外接圆的半径 【例3-1】（23-24高一下·北京·期末）在中，，则的外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3-2】（23-24高一下·山东·期中）的内角的对边分别为．已知，，，则的外接圆半径为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1（23-24高一下·宁夏·期末）已知外接圆的周长为，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24 四川南充·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 考点四 三角形的面积 【例4】（1）（24-25 贵州铜仁·开学考试）已知，则的面积是 （2）（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 【一隅三反】 1．（2024新疆）的内角的对边分别为，若，，的面积为，则 . 2.（2023·上海闵行）在中，，，，则边上的高为 ． 3（2024广西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则△ABC的面积为 ． 4.（2023·四川内江）在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为 . 考点五 判断三角形的形状 【例5-1】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【例5-2】（24-25 吉林 ）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【例5-3】（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【一隅三反】 1．（22-23高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2.（2023下·江苏宿迁·高一统考期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．（2024陕西）已知分别为三个内角的对边，且满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 考点六 三角形的个数 【例6-1】（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24高一下·江苏扬州·期中）（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（     ） A． B． C． D．4 3．（23-24高一下·浙江·期中）（多选）在中，角所对的边分别是，已知，且该三角形仅有唯一解，则可能的取值有（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24高一下·北京大兴·期中）在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件： ①，， ；         ②，，； ③，，；  ④，，． 能判断三角形存在且有唯一解的是（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 1． 单选题 1．（24-25 云南昭通·期中）在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 3．（2024 河南洛阳·期末）在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 4．（24-25 贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的面积为，则（    ） A．13 B．14 C．17 D．15 6．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024 全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 7．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8．（23-24高一下·湖北·期中）已知的三边长分别为4，6，8，则这个三角形为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 9．（24-25 ·广东潮州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 2． 多选题 10．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．的面积为 C．的周长为 D．外接圆半径为 12．（2024高一下·福建三明·阶段练习）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 13．（23-24高一下·福建福州·期中）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，且有两解，则的取值范围是 3． 填空题 14．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 ． 15．（2024·内蒙古包头 ）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边 . 16．（24-25 上海·阶段练习）中，，则 . 17．（2024·福建 ）在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则 . 18．（24-25 河南·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是 . 4． 解答题 19．（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 20．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)当时，求a的值； (2)若的面积为3时，求的值． 21．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 22（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 23．（24-25 江苏南通·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，求的周长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4 正余弦定理 考点一 解三角形 【例1】（1）（24-25云南昆明）在中，角所对三条边为，已知，则角 （2）（23-24·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则 （3）（24-25浙江）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） （4）（23-24高一·广西玉林）中，角所对的边分别为，若，则 （5）（24-25山西吕梁·阶段练习）在中，已知，，，则角的值为 （6）（23-24·黑龙江哈尔滨 ）在中，，则 【答案】（1） （2）3 （3）1或2 （4） （5） 【解析】（1）， 所以，且，所以. （2）因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：，所以. （3）由余弦定理可得,即，解得或， （4）由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． （5），，， 又，且，，则角的值为． （6）∵，∴由余弦定理，则得， ∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：． 【一隅三反】 （2024·高一课时练习）已知△中， (1)若a＝3，，，求c； (2)若a＝8，，，求c； (3)若a＝7，，，求c； (4)若a＝14，，，求∠C． （5）若，，，解此三角形. （6）若，，，解此三角形. (7)已知，，，求； (8)已知，，，求； (9)已知，，，求； (10)已知，，，求． 【答案】(1)；(2)；(3)(4)或.（5）或 （6），，(7)(8)或(9)(10) 【解析】（1）根据余弦定理：可得， 整理得，解得（舍）或. 故. （2）根据余弦定理：可得， 整理得，解得（舍）或. 故. （3）因为，故可得， 由正弦定理可得，解得. （4）由正弦定理可得，解得，故或， 当时，；当，. 故或. （5）在中，，，， 由余弦定理得， 可得， 所以，解得或. ①当时，，所以，； ②当时，由余弦定理得， 因为，所以，所以. （6）在中，，，，所以由余弦定理得 ， 因为，所以. 由余弦定理得，因为所以，所以. （7）解： ，，， ，因为， 由正弦定理，可得； （8）解：，，， 由余弦定理，可得，可得，解得或； （9）解：，，． 由余弦定理，可得； （10）解：，，，，，． 考点二 边角互换 【例2】（1）（23-24高一·重庆）在中，记内角所对的边分别为.若，则 （2）（24-25高一下·全国·随堂练习）在中，若，则等于 （3）（23-24高一·陕西）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 。 （4）（23-24海南）在中，角，，的对边分别是，，，，则角 【答案】（1） （2）或 （3） （4） 【解析】（1）由，得，由余弦定理得， 又，所以. （2）由，结合正弦定理可得：， 因为，所以，因为，所以或； （3），则由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以. （4）由得， 则，所以，即， 因为为三角形内角，所以，，则，所以； 【一隅三反】 1．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，若，则 【答案】 【解析】因为，即，所以， 由余弦定理可得，又，所以. 2．（2024·四川成都）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 【答案】 【解析】由，根据正弦定理有，所以，有， 根据余弦定理，有，由，所以． 3．（23-24高一下·云南德宏·期中）在中，角，，所对的边分别为a，b，c，且，若，则等于 【答案】 【解析】方法一： ，由正弦定理可得， ，，． 又，． ． ，则． 方法二： 因为，由射影定理可得， 又，． ． ，则． 4．（24-25 海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则 【答案】 【解析】， 由正弦定理可得， 又在中，， ，， 在中，，，且为的内角， 考点三 外接圆的半径 【例3-1】（23-24高一下·北京·期末）在中，，则的外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由正弦定理得的外接圆的半径.故选：A 【例3-2】（23-24高一下·山东·期中）的内角的对边分别为．已知，，，则的外接圆半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理得，， 因为，所以，则正弦定理得外接圆半径， 故选：A． 【一隅三反】 1（23-24高一下·宁夏·期末）已知外接圆的周长为，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设半径为，又因为外接圆的周长为，所以, 又因为正弦定理得,所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设，，的外接圆的半径为， 则，． ， ， , ， ． 故选：C. 3．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，由正弦定理可得， 设， 由余弦定理得，所以， 则， 所以，则， 所以， 故选：C 4．（23-24 四川南充·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的外接圆的半径为, 则， 解得，所以的外接圆的面积为.故选：D. 考点四 三角形的面积 【例4】（1）（24-25 贵州铜仁·开学考试）已知，则的面积是 （2）（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由余弦定理得， 因为，所以， 可得. （2）由，结合正弦定理得， ， 因为，所以, 利用余弦定理，解得， 所以.故答案为：. 【一隅三反】 1．（2024新疆）的内角的对边分别为，若，，的面积为，则 . 【答案】 【解析】由，解得，又，所以 故答案为： 2.（2023·上海闵行）在中，，，，则边上的高为 ． 【答案】/ 【解析】在中，，，， 由余弦定理，即，所以， 设边上的高为，则，即，解得. 故答案为： 3（2024广西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【解析】由及正弦定理，得2c＝3a． 又，所以a＝4，c＝6，所以． 由余弦定理，得， 又，所以， 所以． 故答案为： 4.（2023·四川内江）在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为 . 【答案】 【解析】由，可得， 由正弦定理可得，，而， 整理得， 即，， ，所以上式变为， 又，， 因为，所以，解得， 又由余弦定理可得，，解得， ，. 故答案为：. 考点五 判断三角形的形状 【例5-1】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理得，其中， 所以，因为，所以，故， 因为，所以，故为直角三角形.故选：C 【例5-2】（24-25 吉林 ）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由，可得，即 则，又，则 则的形状为钝角三角形 故选：A 【例5-3】（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角. 故选：C 【一隅三反】 1．（22-23高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】在中，由正弦定理及，得， 而，因此，所以是等腰三角形. 故选：A 2.（2023下·江苏宿迁·高一统考期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】由余弦定理可得：， 即， 整理得：， 得或，所以为等腰或直角三角形. 故选：D 3．（2024陕西）已知分别为三个内角的对边，且满足，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因为，由正弦定理可得， ， 因为，所以， 则有， 即， 所以，因为，所以， 整理可得，，即，因为， 所以或，则或（舍去）. 又因为，由正弦定理可得， 因为，所以， 则，化简整理可得，， 所以，又因为，所以为等边三角形，故选：C. 考点六 三角形的个数 【例6-1】（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确. 故选：D. 【例6-2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故选：D 【一隅三反】 1．（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】对于选项A：已知两边及夹角，由三角形全等可知只有一解，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得， 所以无解，故B错误； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，可知角B有两解，所以有两解，故C正确； 对于选项D：已知三边，根据的取值要么无解，要么只有一解，不可能有两解，故D错误． 故选：C． 2．（23-24高一下·江苏扬州·期中）（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（     ） A． B． C． D．4 【答案】BCD 【解析】若满足条件的三角形有且只有一个，则或，即或. 故选：BCD. 3．（23-24高一下·浙江·期中）（多选）在中，角所对的边分别是，已知，且该三角形仅有唯一解，则可能的取值有（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AD 【解析】由于，有唯一解，则或，即， 所以可能的取值为1，，AD正确，BC错误. 故选：AD 4．（23-24高一下·北京大兴·期中）在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件： ①，， ；         ②，，； ③，，；  ④，，． 能判断三角形存在且有唯一解的是（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【解析】①中，，，， 由正弦定理可得，即，可得， 因为角为锐角，所以角有两解，所以①不正确； ②中，由三边为定值，且满足任意两边之和大于第三边，所以②唯一确定三角形；所以②正确； ③中，由两边和夹角确定唯一三角形，可得③正确； ④中，由正弦定理可得，所以不存在这样的三角形，所以④不正确． 故选：B． 1． 单选题 1．（24-25 云南昭通·期中）在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理可得，，故选:B. 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【解析】由余弦定理得，即，解得，解得或（舍去）， 故.故选：D 3．（2024 河南洛阳·期末）在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为在中，，，， 由正弦定理，得， 解得或， 又因为可得，所以不符合题意，舍去． 可得，故A，B，D错误． 故选：C. 4．（24-25 贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可知：，为外接圆的半径，所以. 故选：A 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的面积为，则（    ） A．13 B．14 C．17 D．15 【答案】C 【解析】因为的面积为， 所以的面积，所以， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 6．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正弦定理，，则， 若满足条件的有两个，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 6．（2024 全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】C 【解析】由正弦定理得， 则, 故不存在，即满足条件的三角形不存在． 故选：C 7．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由，,则， 由，则， 由于，则， ，均为三角形的内角，，即， 故该三角形的形状是等腰三角形． 故选：B． 8．（23-24高一下·湖北·期中）已知的三边长分别为4，6，8，则这个三角形为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【解析】设边长为8的边对应的角为，由余弦定理可得， 所以为钝角，因此，三角形为钝角三角形，故选：C. 9．（24-25 ·广东潮州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 【答案】D 【解析】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是直角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是等腰三角形，， 说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 此时，不等构成三角形，故命题错误.故选：D. 2． 多选题 10．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】依题可得，即，则或， 因为，所以或或． 故选：ACD 11．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．的面积为 C．的周长为 D．外接圆半径为 【答案】BC 【解析】，，可得，可得外接圆半径，故D错误； 因为， 所以， 所以， 所以， 当时，即，所以，，可得； 当时，即，由正弦定理得；故A不一定成立； 当时，此时，，，所以，， 所以的周长为：，的面积为：； 当时，，，，解得，， 所以的周长为：，的面积为：； 故BC一定成立. 故选：BC. 12．（2024高一下·福建三明·阶段练习）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【解析】A中，因为，有，所以该三角形无解，故A错误； B中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故B正确； C中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故C正确； D中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有两解，故D错误. 故选：BC. 13．（23-24高一下·福建福州·期中）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】对于A：由余弦定理，所以为钝角，则是钝角三角形，故A正确； 对于B：因为，由余弦定理可得， 所以 整理得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：因为，由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 即， 又，则，所以，所以，则， 所以，故C正确； 对于D：如图，因为，若有两解，则， 即，所以，则的取值范围是，故D正确． 故选：ACD 3． 填空题 14．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 ． 【答案】1 【解析】由余弦定理得.故答案为：. 15．（2024·内蒙古包头 ）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边 . 【答案】 【解析】因，由余弦定理，，化简得， 因，，故.故答案为：. 16．（24-25 上海·阶段练习）中，，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 设,则, 又，所以该三角形为直角三角形， 所以， 所以， 故答案为：. 17．（2024·福建 ）在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则 . 【答案】2 【解析】根据题意，， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理，， 即解得或（舍）， 所以. 故答案为：2 18．（24-25 河南·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是 . 【答案】 【解析】在中，由，得，而， 由余弦定理得， 由正弦定理得外接圆， 所以外接圆的面积是. 故答案为： 4． 解答题 19．（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)10 【解析】（1）因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． （2）由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 20．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)当时，求a的值； (2)若的面积为3时，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵，∴， 由正弦定理可知： ，∴. （2）∵， ∴， 由余弦定理得：， ∴，即， 则：， 故：. 21．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 【答案】(1) (2)为等边三角形，证明见解析 【解析】（1）由，可得， 因为，所以. （2）解法一：为等边三角形，证明如下： 由三角形内角和定理得，， 故，由已知条件，可得， 整理得，所以， 因为、，则，所以， 又由（1）知，所以为等边三角形； 解法二：为等边三角形，证明如下： 因为，由正弦定理和余弦定理，得， 整理得，即. 又由（1）知，所以为等边三角形. 22（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 【答案】(1)； (2)周长、外接圆面积分别为、. 【解析】（1）由，由正弦定理得， 从而有，，则， 由； （2）因为，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以周长为， 设外接圆半径为R，由，得， 所以外接圆面积. 23．（24-25 江苏南通·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【解析】（1）由得， ， 即， 故， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 因为，所以； （2），由正弦定理得， 因为，所以， 由（1）知，，由余弦定理得， 解得，故，所以， 所以的周长为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$