6.3 平面向量基本定理及坐标表示-2024-2025学年高一下学期数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 考点一 基底的概念与辨析 【例1】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于：，所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：，所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：，所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确.故选：. 【一隅三反】 1．（23-24高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底.故选：C 2．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D 考点二 用基底表示向量 【例2-1】（24-25 陕西汉中 ）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选：D. 【例2-2】（2024·四川 ）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点为中点，所以，又，， 所以 故选：C. 【一隅三反】 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）若在三角形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以点是中点， ， 所以. 故选：B 2．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意有： 故选：B. 3．（23-24高一下·福建漳州·期末）如图，在中，，点是的中点.设，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，故. 故选：A 4．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 考点三 利用平面基本定理求参数 【例3-1】（23-24高一下·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】正方形ABCD中，M是BC的中点，则，则， 于是，而， 所以. 故选：C 【例3-2】（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【解析】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 【例3-3】（23-24高一下·四川南充·期末）在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】】由， 由已知，则， 根据平面向量三点共线定理得，解得. 故选：A 【一隅三反】 1．（23-24高一下·北京通州·期中）如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为，所以为的中点，又D是AB的中点， 所以， 则，. 故选：B. 2．（23-24高一下·安徽·期中）在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上一点，且，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由D是边BC的中点，， 则， ，则，，所以. 故选：C 3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，如图， 因为三点共线，设，则， 所以； 因为三点共线，设，则， 所以， 则，解得，所以， 则，所以. 故选：D 4．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】 ∵，∴， ∴. ∵A，P，D三点共线，∴. ∵，∴. ∵E是边AB的中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故. 故选：A. 考点四 平面向量线性运算的坐标表示 【例4-1】（2024浙江宁波）（多选）已知平面向量， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题设，，故，A错误，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD 【例4-2】（23-24高二上·湖南株洲·阶段练习）（多选）已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是（    ） A． B． C．若且，则 D． 【答案】BD 【解析】向量，，则，A错误； ，B正确； 令为坐标原点，则，点，C错误； ，D正确. 故选：BD 【一隅三反】 1．（24-25高一上·辽宁·期末）（多选）已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为， 所以，则，故A不正确； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：BC. 2．（2024高一下·河北石家庄·期中）（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】A，B选项：，则，即，A选项正确，B选项错误； C选项：由已知，又，即，即，C选项正确； D选项：，解得，D选项错误； 故选：AC. 3．（2024·江西）（多选）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，共线，则 C．不可能是单位向量 D．若，则 【答案】AD 【解析】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，共线，得，解得，B错误； 对于C，当时，是单位向量，C错误； 对于D，当时，，则，D正确． 故选：AD 考点五 平面向量数量积的坐标表示 【例5-1】（23-24高一下·福建福州·期中）（多选）已知向量，则以下说法正确的是（    ） A． B．与的夹角余弦值为 C．与的夹角是锐角 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】对A，由题意知， ，所以与不平行，故A错误； 对B，由题意知，所以，故B正确 对C，，所以与的夹角是钝角，故C错误； 对D，向量在向量上的投影向量为 ，故D正确. 故选：BD 【一隅三反】 1．（23-24高一下·云南昭通·期末）（多选）已知向量，，则（    ） A． B．与向量平行的单位向量为 C．在上的投影向量是 D． 【答案】AC 【解析】对于A,因为，，所以，， 故，故A正确； 对于B，与向量平行的单位向量为或，故B不正确； 对于C,因为在上的投影向量是，故C正确； 对于D，因为，，∵，故D不正确， 故选：AC. 2．（24-25高一上·河北保定·期中）（多选）已知向量 则（    ） A． B．与向量共线的单位向量是 C． D．向量在向量上的投影向量是 【答案】CD 【解析】因为，， 所以，则，故A错误； 又，则与向量共线的单位向量为， 即或，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为，， 所以向量在向量上的投影向量是，故D正确. 故选：CD 3（2023·海南）（多选）已知向量，则（    ） A．若，则 B．在方向上的投影向量为 C．存在，使得在方向上投影向量的模为1 D．的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对于A，若，则，则，所以A错误； 对于B，在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，，所以在方向上投影向量的模为： ， 当时，，所以存在，使得在方向上投影向量的模为1，故C正确； 对于D，向量 ， 所以，则，故D正确. 故选：BCD. 考法六 巧建坐标解平面向量 【例6-1】（24-25 上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 【例6-2】（23-24天津）如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 . 【答案】 / 【解析】在梯形中，且，，则， 于是 ，则，又，所以； 作于，以为原点，正方向为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，， 令，则， ，， 因此， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：； 【一隅三反】 1.（2024·湖北）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且． （1）求； （2）若（，），求的值. 【答案】（1）14；（2）. 【解析】如图，分别以边，所在的直线为轴，轴， 点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，，. （1）∵，，∴. （2）∵，，， 由，得，∴解得∴. 2（2024陕西）如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的取值范围是（　　） A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0] 【答案】A 【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下所示： 故可得，设点， 因为点在线段上，故可得. 故， 故当时，取得最小值， 当或时，取得最大值.故.故选：A. 3．（24-25 吉林长春·期中）如图，边长为4的等边，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据题意，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示： 则，半圆弧的方程为：， 设，则，， 由，得 ，解得， 由，设，其中， 可得 ， 由，得， 则， 得， 得的取值范围为：. 故答案为： 4．（24-25 天津南开·阶段练习）已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ；最小值是 ．    【答案】 【解析】由题设，构建如下图示的直角坐标系，且， 若，则， ，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以，当时，，    所以时，取得最小值是. 故答案为：， 5（24-25天津）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．    【答案】 【解析】，，，， ， ，又，； 作，垂足为， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，    则，，，，， 设，，， 解得：，， ，，， ， 则当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 考点七 综合运用 【例7】（23-24高一下·北京延庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，且，P是线段AB上的动点． (1)用，表示和； (2)当P是线段AB上的中点时，求，的坐标和； (3)设，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，. (2) (3)不存在，理由见解析. 【解析】（1）因为,且, 所以,即,, 所以 （2）当为线段的中点时，， 所以, 所以 所以. （3）假设存在满足题意的, 则 则 所以, ， 所以, 故, 整理得,, 方程显然无根, 即不存在实数使得. 【一隅三反】 1．（23-24高一下·湖北·期中）（多选）已知平面内四点可构成平行四边形，其中，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为四点可构成平行四边形，平行四边形有三种可能 当四边形是平行四边形，所以， 设点D的坐标为， 所以,所以,即点D的坐标,A选项正确． 当四边形是平行四边形，所以， 设点D的坐标为， 所以,所以,即点D的坐标,D选项正确． 当四边形是平行四边形，所以， 设点D的坐标为， 所以,所以,即点D的坐标，C选项正确． 故选：ACD. 2．（2024广东）如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为与交于点，所以三点共线， 所以与共线，设，则， 因为，所以， 可得＝＋，因为三点共线，所以，可得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 3．（24-25 天津 ）如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 . 【答案】 / 【解析】设， 则 ， 即，而不共线，因此， 所以，即； 由的面积为，得，解得， 因此 ，当且仅当时取等号, 所以的最小值为. 故答案为：； 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成（且角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为.已知在斜坐标系xOy中，，. (1)证明：； (2)当时，，求； (3)当时，若向量，，已知，求函数的最值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)最小值，最大值 【解析】（1）， ， . （2）， 如图，中 . （3）， 由（1）可得， 令，则， ， 当时，， 当时，. 1． 单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 2．（2024北京朝阳·期中）如图，在中，是的中点.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是的中点，，， 所以.故选：C. 3.（2023·河南省）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故，则， 又是上一点，所以，解得. 故选：A. 4．（23-24高一下·湖北·期末）在中，点M，N满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意， ，又，且不共线， 所以，. 故选：A 5．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在正方形中，为的中点，为的中点， 所以 ， 因为，所以， 所以. 故选：C 6．（2024上·北京石景山 ）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：B. 7．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 【答案】B 【解析】因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 所以， 所以. 故选：B. 8．（2024·河南商丘 ）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接DE， 由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则， 故. 又，所以，则. 故选：A 2． 多选题 9．（2024广东佛山·阶段练习）已知，，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，，所以，故A正确； ，故B正确；，故C错误；，故D错误. 故选：AB. 10．（2024江苏盐城·期中）已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ABD 【解析】对于A：向量，，所以，故A正确； 对于B：，，所以，故B正确； 对于C：，所以，故C不正确； 对于D：，所以，又，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 11．（2025浙江）已知向量，则（    ） A． B． C．向量在向量方向上的投影是 D．与向量方向相同的单位向量是 【答案】ABCD 【解析】，则，故A正确； ，故B正确； 向量在向量上的投影是，故C正确； 与方向相同的单位向量为，故D正确； 故选：ABCD 12．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）下列各组向量中，能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【解析】对于A：因为，，则，所以不能作为一组基底，故A错误； 对于B：因为，，所以，即，所以不能作为一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以与不共线， 所以与可以作为一组基底，故C正确； 对于D：因为，所以与不共线， 所以与可以作为一组基底，故D正确. 故选：CD 13．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，， 则， 当时，，故C正确； 对于D，因为向量与向量的夹角为钝角， 所以且不共线， 由，得， 由得， 所以的取值范围为，故D错误. 故选：ABC. 14．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知向量、，则下列说法中正确的是（    ） A．，能作为平面内的基底 B．若，则 C．若，则存在唯一实数使得 D．若（为实数），则 【答案】AD 【解析】对于A选项，若，，因为，则、不共线， 所以，，能作为平面内的基底，A对； 对于B选项，若，但、的方向不确定，则、不一定共线，B错； 对于C选项，，且，，则不存在实数使得，C错； 对于D选项，因为（为实数）， 若，则，此时，， 若，由平面向量共线的基本定理可知，D对. 故选：AD. 15．（2025重庆北碚·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．已知，若与共线，则 B．若，则 C．若，则一定不与共线 D．若为锐角，则实数的范围是 【答案】AD 【解析】A：若与共线，则，正确； B：当时，，但不一定成立，错误； C：，无法确定两个向量的方向，两个向量可能共线，错误； D：由题设有，解得，正确； 故选：AD 16．（2024湖南）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】A，由题知，则，A正确； B，，因为，所以向量与不平行，B错误； C，，，，C正确； D，，，所以，D正确. 故选：ACD 17．（24-25高一上·全国·期中）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则 C．若是与垂直的单位向量，则 D．当取得最大值时， 【答案】AD 【解析】∵，∴是单位向量， 设，， 则，当，方向相反， 即时取等号，∴的最大值为，故A正确； 等价于， 即，即， ∴，故B错误； ，， ，不垂直，故Ｃ错误； ，其中，， 故当时，取得最大值， 此时，故D正确； 故选：AD 3． 填空题 18．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知向量，且，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 19（24-25 云南大理·期末）已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【解析】向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为： 20．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 【答案】/ 【解析】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 4． 解答题 21．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知向量，满足. (1)求向量与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)若向量与垂直，求实数的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解析】（1）由，得，， 因此，而， 所以向量与的夹角. （2）向量在向量上的投影向量为. （3）依题意，，，由向量与垂直， 得，所以. 22．（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，其中． (1)若，求角的大小； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）由，得，所以，即， 因为，所以，所以或，解得或. （2）由题得，，化简得 即， 整理得， 因为，所以，齐次化后得， 即， 即， 解得 因为， 所以. 23．（24-25高一上·北京·期末）已知向量，，． (1)求； (2)若向量，试用表示； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为，， 所以， 所以. （2）由题可知与不共线，故设()， 即， 所以，解得，． 因此. （3）由题意得． 因为， 所以， 解得. 24．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. (1)求； (2)若为正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2)6 【解析】（1）设点，由中心坐标公式得： ， ， 又， 所以，， 故 法二： 根据题意：， 所以，. （2）由， 得， 所以 因为三点共线， 所以. 则 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. 25．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在中，是的中点，． (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)过点作直线分别于边、交于、两点（点、与点、不重合），设，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为为中点，, 所以, 所以， 所以. （2）因为，所以, 设, 则， 又因为三点共线， 所以，即. 所以, 因为, 所以，即. （3）由（2）可知，， 因为, 所以, 因为三点共线， 所以，， 即, 所以 ， 当且仅当时，即取等号， 所以的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 考点一 基底的概念与辨析 【例1】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（23-24高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 考点二 用基底表示向量 【例2-1】（24-25 陕西汉中 ）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024·四川 ）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）若在三角形中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建漳州·期末）如图，在中，，点是的中点.设，则（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 考点三 利用平面基本定理求参数 【例3-1】（23-24高一下·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【例3-2】（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【例3-3】（23-24高一下·四川南充·期末）在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（23-24高一下·北京通州·期中）如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高一下·安徽·期中）在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上一点，且，记，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 考点四 平面向量线性运算的坐标表示 【例4-1】（2024浙江宁波）（多选）已知平面向量， 则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24高二上·湖南株洲·阶段练习）（多选）已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是（    ） A． B． C．若且，则 D． 【一隅三反】 1．（24-25高一上·辽宁·期末）（多选）已知点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·河北石家庄·期中）（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024·江西）（多选）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，共线，则 C．不可能是单位向量 D．若，则 考点五 平面向量数量积的坐标表示 【例5-1】（23-24高一下·福建福州·期中）（多选）已知向量，则以下说法正确的是（    ） A． B．与的夹角余弦值为 C．与的夹角是锐角 D．向量在向量上的投影向量为 【一隅三反】 1．（23-24高一下·云南昭通·期末）（多选）已知向量，，则（    ） A． B．与向量平行的单位向量为 C．在上的投影向量是 D． 2．（24-25高一上·河北保定·期中）（多选）已知向量 则（    ） A． B．与向量共线的单位向量是 C． D．向量在向量上的投影向量是 3（2023·海南）（多选）已知向量，则（    ） A．若，则 B．在方向上的投影向量为 C．存在，使得在方向上投影向量的模为1 D．的取值范围为 考法六 巧建坐标解平面向量 【例6-1】（24-25 上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【例6-2】（23-24天津）如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 . 【一隅三反】 1.（2024·湖北）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且． （1）求； （2）若（，），求的值. 2（2024陕西）如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的取值范围是（　　） A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0] 3．（24-25 吉林长春·期中）如图，边长为4的等边，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的取值范围是 ． 4．（24-25 天津南开·阶段练习）已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ；最小值是 ．    5（24-25天津）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．    考点七 综合运用 【例7】（23-24高一下·北京延庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，且，P是线段AB上的动点． (1)用，表示和； (2)当P是线段AB上的中点时，求，的坐标和； (3)设，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【一隅三反】 1．（23-24高一下·湖北·期中）（多选）已知平面内四点可构成平行四边形，其中，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2024广东）如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若，则的取值范围是 ． 3．（24-25 天津 ）如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 . 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成（且角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为.已知在斜坐标系xOy中，，. (1)证明：； (2)当时，，求； (3)当时，若向量，，已知，求函数的最值. 1． 单选题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2024北京朝阳·期中）如图，在中，是的中点.若，，则（    ） A． B． C． D． 3.（2023·河南省）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖北·期末）在中，点M，N满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 6．（2024上·北京石景山 ）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 8．（2024·河南商丘 ）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（2024广东佛山·阶段练习）已知，，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024江苏盐城·期中）已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的夹角为 11．（2025浙江）已知向量，则（    ） A． B． C．向量在向量方向上的投影是 D．与向量方向相同的单位向量是 12．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）下列各组向量中，能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 13．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 14．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知向量、，则下列说法中正确的是（    ） A．，能作为平面内的基底 B．若，则 C．若，则存在唯一实数使得 D．若（为实数），则 15．（2025重庆北碚·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．已知，若与共线，则 B．若，则 C．若，则一定不与共线 D．若为锐角，则实数的范围是 16．（2024湖南）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·全国·期中）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则 C．若是与垂直的单位向量，则 D．当取得最大值时， 3． 填空题 18．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）已知向量，且，则 . 19（24-25 云南大理·期末）已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 20．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 4． 解答题 21．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知向量，满足. (1)求向量与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)若向量与垂直，求实数的值. 22．（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，其中． (1)若，求角的大小； (2)若，求的值． 23．（24-25高一上·北京·期末）已知向量，，． (1)求； (2)若向量，试用表示； (3)若，求实数的值． 24．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. (1)求； (2)若为正实数，求的最小值. 25．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在中，是的中点，． (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)过点作直线分别于边、交于、两点（点、与点、不重合），设，，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$