7.6用锐角三角函数解决问题同步练习2024-2025学年苏科版九年级数学下册

苏科版九年级数学下 7.6用锐角三角函数解决问题 同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．建于明洪武七年（1374年），高度米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在米高的光岳楼顶楼处，利用自制测角仪测得正南方向商店点的俯角为，又测得其正前方的海源阁宾馆点的俯角为（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离（结果保留根号）． 2．2024成都世园会是成都东部新区成立以来首次举办的国际性盛会，依托天府国际机场和山水生态为底，成都东部新区提出打造“国际度假旅游目的地”，借势打响文旅名片．4月26日，成都世园会将在成都东部新区主会场拉开帷幕，其中最令人瞩目的是位于主会场中心的地标性建筑——锦云楼（图1）．某校数学兴趣小组利用无人机测量锦云楼的高度（如图2），具体测量方案：先将无人机垂直上升至距水平地面的C点，测得锦云楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点D，测得锦云楼底端B的俯角为，求锦云楼的高度．（结果精确到，参考数据：） 3．我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得距离是5000m，仰角为，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为（参考数据：，，）    (1)求点P离地面高度的长； (2)求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到） 4．成都东部新区丹景台景区核心区位于龙泉山城市森林公园南段示范区，包括丹景台、丹景阁、丹景里及丹景亭四处特色建筑．其中，丹景阁坐落于海拔737米的丹景山高处，作为景区核心区的制高点，具有高屋建瓴的视野优势，在这里登高望远，可眺望东进热土，俯瞰城市美景（如图1）．某校开展综合实践活动，测量丹景阁主体高度的长（如图2），使用无人机在点C处测得建筑物顶端A的仰角为，然后控制无人机竖直上升13米后达到D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，其中B，C在同一水平线上，求丹景阁主体高度的长．（结果精确到1米：参考数据：） 5．数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．． (1)求点D到水平线的距离； (2)求砖塔的高度（结果保留根号）． 6．某中学数学兴趣小组的同学在一次活动中利用测角仪测量一座塔的高度．已知塔前有一处斜坡，长为米，坡比为，在斜坡底的点处测得塔上观景点的仰角为．在斜坡顶的点处测得塔上观景点的仰角为，为斜坡的高（如图点，，在同一直线上）．    (1)求斜坡的高； (2)求塔上观景点距离地面的高度（精确到米）．（参考数据：） 7．2022年春节假期正逢北京冬奥会，使滑雪这项“冷运动”成了“热时尚”．比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB＝100米），沿俯角为30°的方向先滑行140米到达D点，然后再沿坡度为1：的斜坡CD滑行到地面的C处． (1)求点D到AB的距离（结果保留根号）； (2)求她滑行的水平距离BC约为多少米（结果保留根号）． 8．已知：如图，斜坡AP的坡度为，坡长为39米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为．求： (1)坡顶A到地面的距离； (2)古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 9．如图，为了测量某校教学楼的高，数学兴趣小组的甲同学在处看到楼顶的仰角为，同时乙同学在斜坡上的处看见楼顶的仰角为，若斜坡的坡比，铅锤高度米（点、、在同一水平线上）．求： (1)________米，________度； (2)教学楼的高（参考数据：，结果精确到个位）． 10．如图，一楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1：，山坡坡面上点 E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得点E的俯角为45°．    (1)求点E距水平面BC的高度； (2)求楼房AB的高．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）． 11．如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）    12．如图，重庆市实验中学校为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．张明的无人机放飞到距离地面米的P点，测得斜坡A地的俯角为15°，斜坡B地的俯角为60°，斜坡的斜面坡度为． (1)求斜坡A地到B地的距离； (2)下课前，老师要求同学们在A地集合，张明对无人机P发出回收指令以后，然后他迅速从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡AC与水平地面夹角为53°，张明上坡的跑步速度为6m/s，无人机的速度为20m/s，在张明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由．（，，，，，结果精确到0.1） 13．如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（），放置在教学楼栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿芙蓉小学围墙边坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡的坡度为， m， m． (1)求点距水平面的高度． (2)求宣传牌的高度．（结果精确到0.1米．参考数据： ，） 14．为提高土地利用率，新的光伏搭建形式可以把光伏从地面搬到高空，如图是字型的光伏支架，支架侧面如图所示，，分别是，的中点，，为支架在水平地面的支点．已知， ，，求点到地面的距离．结果精确到 ．参考数据：，，，，， 15．“醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一，舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”，如图，舞狮者站在梅花桩上，与“生菜”放置点D的水平距离为米，．已知该舞狮者采摘距离为米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．（参考数据：，，）    16．某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中，，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到.参考数据：，，） 17．周末，小亮一家在瘦西湖游玩，妈妈在岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从处出发，沿北偏东划行300米到达处，接着向正南方向划行一段时间到达处．在处小亮观测妈妈所在的处在北偏西方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1米）？    （参考数据：） 18．如图所示，达州某校数学兴趣小组实地来到一段东西走向的凤凰大道公路上，在博物馆（A处）测得图书馆（P处）在北偏东方向上，继续往东走到了科技馆（B处）测得图书馆（P处）在北偏东方向上，求图书馆到博物馆的直线距离．（参考数据：，结果精确到） 19．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的东偏北方向上，沿正东方向行走60米至观测点D，测得B在D的西偏北方向上，A在D的西偏北方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据：，，，，，，） 20．如图，在一条笔直的高速公路上有两个观测站，，从站测得文物保护点在其北偏东方向上，从站测得文物保护点在其北偏东方向上，若现在想修建一个以文物保护点为中心，半径为的文物观赏园，试问公路是否在文物观赏园的范围内？（参考数据：） 21．为弘扬我国传统文化，合肥市一年一度的端午节龙舟赛在政务区天鹅湖举行，小刚在天鹅湖北广场点P处观看500米直道竞速赛，如图所示，赛道为东西方向，赛道起点A位于点P的南偏东方向上，终点B位于点P的南偏西方向上，米，求点P到赛道的距离（结果保留整数，参考数据：） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版九年级数学下 7.6用锐角三角函数解决问题 同步练习》参考答案 1．商店与海源阁宾馆之间的距离米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解决本题的关键是借助俯角构造直角三角形，运用三角函数定义表示与所求线段相关的线段的长度．利用的正切值可求得长，利用的正切值可求得长，即为商店与海源阁宾馆之间的距离． 【详解】解：∵两条水平线是平行的， ∴， ∵米，， ∴（米）， （米）， ∴（米）， 答：商店与海源阁宾馆之间的距离米． 2．锦云楼的高度约为 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键． 延长，交的延长线于点F，根据题意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点F， 则    由题意得，，， 在中，， 则 ∴， 在中，， 解得， ∴锦云楼的高度约为． 3．(1) (2) 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的应用； （1）在中，由正弦函数关系即可求解； （2）在中，由余弦函数关系求出的长，再由等腰三角形的性质得的长，从而求得的长，由速度、路程与时间的关系即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， 则； 答：点P离地面高度的长； （2）解：在中，，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 则火箭从P处到Q处的平均速度为：； 答：火箭从P处到Q处的平均速度为：． 4．39米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点D作，垂足为E，根据题意可得：米，设米，分别在和在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点D作，垂足为E， 由题意得：米， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴，解得：， ∴米， ∴丹景阁主体高度AB的长约为39米． 5．(1)点D到水平线的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，根据斜坡的坡比，，结合勾股定理求出的长即可得解； （2）作于，则四边形为矩形，设 ，则 ，则，，根据，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，作于，则， 斜坡的坡比， ， 设 ，则 ， 由题意得：，， ， 解得：， ， 点到水平线的距离为； （2）解：如图2，作于， 则， 四边形为矩形， ，， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， 砖塔的高度为． 6．(1)米 (2)观景点距离地面的高度为米 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握求角的正切值，勾股定理，特殊角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意，设，则，在直角中根据勾股定理即可求解； （2）过点作，可得四边形是矩形，，设，则，则，在直角中，根据的正切值即可求出的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，米，坡比为， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得，，负值舍去， ∴斜边的高度米； （2）解：根据（1）可得米， ∴米， 如图所示，过点作于点，    ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，米， 设，则米， ∵， ∴米， ∴米， ∵，， ∴， 解得，米， ∴米， ∴观景点距离地面的高度为米． 7．(1)m (2)m 【分析】（1）作DE⊥AB于E，由题意得，，利用进行求解即可； （2）作DF⊥BC于F，由题意得，证明四边形BFDE是矩形，再分别求出的长度即可． 【详解】（1）解：如图，作DE⊥AB于E， ， 由题意得，， ， 即， 解得， 所以，点D到AB的距离为米； （2）解：作DF⊥BC于F， 由题意得， ， 四边形BFDE是矩形， ， 在中，， ， ， ， ， 所以，她滑行的水平距离BC为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点并能够用数形结合的思想是解题的关键． 8．(1)15米 (2)28米 【分析】（1）过点A作，垂足为点H，根据坡度的定义可得，设米，则米，由勾股定理可得（米），则，求出a的值，即可得出答案． （2）延长交于点D，可得，设米，则米，进而可得米，在中，，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）过点A作，垂足为点H， ∵斜坡的坡度为， ∴， 设米，则米， 由勾股定理得，（米）， ∴， 解得， ∴米． 答：坡顶A到地面的距离为15米． （2）解：延长交于点D，由题意得，米，， ∵， ∴， 设米，则米， 由（1）可得（米）， ∴米， 在中，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 古塔的高度约为28米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 9．(1)，； (2)米． 【分析】（）利用坡比的定义可求出；先求出和，再利用角的和差关系即可求出； （）设， 则，解直角三角形求出，进而得到，由列出方程，解方程即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作于点， ∵斜坡的坡比，铅锤高度 米， ∴米， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴教学楼的高为米． 10．(1)10米 (2)52.3米 【分析】（1）过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，根据坡比为1：和勾股定理可求出EF＝10； （2）过点E作EH⊥AB于点H．由坡比为1：可求出CF的长，从而在Rt△AHE中，利用AH=HE=BC+CF可求出AH的长，然后根据AB=AH+BH计算即可． 【详解】（1）过点E作EF⊥BC于点F．    在Rt△CEF中，CE=20， ∴ ∵EF＞0，∴EF＝10 答：点E距水平面BC的高度为10米． （2）过点E作EH⊥AB于点H． 则HE=BF，BH=EF． 在Rt△AHE中，∠HAE=45° ∴AH=HE                                由（1）得（米） BC=25米 ∴ ∴（米） 答：楼房AB的高约是52.3米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 11．堤坝高为8米，山高为20米． 【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过B作于H，    ∵坡度i为， ∴设，， ∴， ∴， ∴， 过B作于F， 则， 设， ∵． ∴， ∴， ∵坡度i为， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：堤坝高为8米，山高为20米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．(1)斜坡A地到B地的距离为200米 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，过点作，解直角三角形求出的长，根据坡度求出，进而推出为等腰直角三角形，得到即可； （2）分别求出的长，根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】（1）解：过点作，过点作， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵斜坡的斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故斜坡A地到B地的距离为200米； （2）是，理由如下： 在中，， ∴， 在中，， ∴张明跑到A地时需要秒； ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴无人机到达A地时需要秒， ∵， ∴张明跑到A地时，无人机已经回到A地． 13．(1)点距水平面的高度是米 (2)广告牌的高度约为米 【分析】（1）根据山坡的坡度为，可设则，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，则米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∴设，则， ∵， 由勾股定理得， 答：点距水平面的高度是米； （2）解：在中，， ∴， 在中，， 即， 如图，过点作，垂足为， ， ， 在中，， ∴ ， ∴ 答：广告牌的高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，连接，过点作于点，根据中位线定理和等腰三角形的性质，即可求出的长，在中，根据，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ，分别是，的中点， ，， ， ， 为等腰三角形， ， ，， 在中， ， 点到地面的距离为． 15．该舞狮者“采青”成功．理由见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，再利用锐角三角函数求解，再比较即可． 【详解】解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴，，，    ∴， ∴， ∴该舞狮者“采青”成功． 16．垂直高度约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于，于，根据正弦的定义分别求出、，进而求出． 【详解】解：过点作于，于， ， 四边形为矩形， ， 在中，，， 则， 在中，，， ， ， ∴， ， 答：垂直高度约为． 17．这时小亮与妈妈相距米 【分析】作于点，分别在和中，求出和即可求解，本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：将实际问题转化为数学问题． 【详解】解：作于点，   ，，， 在中，，即：，解得：（米）， 在中，，即：，解得：（米）， 故答案为：这时小亮与妈妈相距米． 18．图书馆到博物馆的直线距离约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作，根据三角形的外角性质得到，得到，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， 由题意得：， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 答：图书馆到博物馆的直线距离约为． 19．A，B两点间的距离约为42米． 【分析】先求出，进而得到，解求出米，然后再解求出的长即可． 【详解】解：∵A，B均在C的东偏北方向上，B在D的西偏北方向上 ∴， ∴， 在中，， ∴（米） 法①∵A在D的西偏北方向上，B在D的西偏北方向上 ∴， 在中，， ∴（米）； 法②∵A在D的西偏北方向上 ∴， ∴， 在中，， ∴（米）， 答：A，B两点间的距离约为42米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出的长是解题的关键． 20．公路不在文物观赏园的范围内． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键．过点C作于点D，根据求出，然后根据求出即可． 【详解】解∶过点C作于点D， 设 在中， ， ∴ 在中， ， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴公路L不在文物观赏园的范围内 21．米． 【分析】过点作，垂足为，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴点到赛道的距离约为米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$