精品解析：江苏省南京市玄武区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 2. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程2x2-2x-1=0， 整理得：x2-x=， 配方得：x2-x+=，即（x-）2=． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，将原方程整理为一般形式是解题关键．首先将原方程整理为一般形式，再根据一元二次方程的根的判别式判断该方程的根的情况即可． 【详解】解：将方程整理为一般形式，可得， ∵， ∴， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选：C． 4. 已知一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，则这组数据的平均数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位线的定义，求平均数，熟练掌握定义是解题的关键．将一组数据从小到大进行排序，中位数是指排在中间位置的数；众数是指出现次数最多的数，先根据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等得出，进而根据平均数的定义，即可求解． 【详解】解：∵3，5，9，10，12各有一个数， ∴当x为这些数中任意一个时，这组数据的众数就是那个数， 又3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等， ， 这组数据的平均数是； 故选：B． 5. 如图，在中，，是弦，点D在的延长线上，连接，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得出，，根据等腰三角形的性质得出，，则，求出，根据等腰三角形的性质得出，即，求出x的值，最后根据平行线的性质得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，圆与三角形的综合，三角形内角和定理的应用，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 6. 如图，是半圆O的直径，弦，点C在上（不与点O，A重合），点D在上，连接，且，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角间的关系，平行弦夹的弧相等，勾股定理，直径对的圆周角是直角等知识，作出辅助线是解题的关键．补全另一半圆，延长交于G，连接；由得；由及及圆的对称性知，，则，则共线，则是直径，由勾股定理得：，即可得解． 【详解】解：如图，补全另一半圆，延长交于G，连接； ∵ ∴； ∵，， ∴由圆的对称性知，，， ∴，， ∴共线， ∴是直径，且； 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 即或， 解得，． 8. 设是方程 的两个根，且－＝1,则m=_______. 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：首先根据韦达定理可得：=4，=m，则4-m=1，解得：m=3. 9. 某款汽车价格由年8月份万元/辆下降到10月份的万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均降价的百分率为x，则9月份的价格为万元/辆，10月份的价格为万元/辆，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 10. 圆锥的底面直径是10cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为________ 【答案】##150度 【解析】 【分析】根据圆锥的底面的周长等于侧面展开图的弧长，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆心角的度数为，由题意，得：， 解得：； ∴圆心角的度数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角的度数．熟练掌握圆锥的底面的周长等于侧面展开图的弧长，是解题的关键． 11. 如图，正方形内接于，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率．设正方形的边长为a，则圆的直径为，求出正方形的面积为，圆的面积为，然后用正方形的面积除以圆的面积即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，则圆的直径为， ∴正方形的面积为，圆的面积为， ∴飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是． 故答案为：． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点F在优弧上，连接，若，则的度数为______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理．连接，根据圆内接四边形的性质求得，再由圆周角定理得到，求得，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 13. 如图, 正五边形的边，与分别相切于点M，N， 点P在上，连接，，则的度数为______． 【答案】144 【解析】 【分析】连接，，在优弧上取一点Q，连接，，先根据正五边形的内角和公式求得，再利用切线的性质和四边形内角和定理求得，然后利用圆周角定理得到，最后利用圆的内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，，在优弧上取一点Q，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵正五边形的边，与分别相切于点M，N， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：144． 【点睛】本题考查了切线的性质，正五边形的性质，四边形内角和定理，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，熟练掌握切线性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 14. 如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为，则该铜镜所在圆的半径为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，掌握这两个定理是关键；连接，设铜镜所在圆的圆心为O，点D是到弦的距离最大的点，连接，交于点E；设圆的半径为，由垂径定理得，，则， 由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接，设铜镜所在圆的圆心为O，点D是到弦的距离最大的点，连接，交于点E； 设圆的半径为， 由垂径定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得： 故答案为：． 15. 如图，扇形纸片所在圆的圆心角，半径为4．将扇形纸片折叠，使点B落在点处，折痕与，分别交于点M，N．若与半径相切于点C，且C是的中点，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作O点关于的对称点，连接、、，证明四边形为矩形，设，则，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：作O点关于的对称点，连接、、， 如图， 则， ∵扇形纸片所在圆的圆心角，半径为4． 设，则， ∵与半径相切于点C，且C是的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得， 即BN的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，轴对称性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 16. 在中，，，M是的中点，则中线长度的最大值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识点，根据题意、正确构造辅助圆是解题的关键． 如图，作的外接圆，连接，易得；取的中点E，点M在以E为圆心，以为直径的上运动，连接并延长交于，连接，进而得到当B、E、M三点共线时，最大，即；再根据圆周角定理可证明是等边三角形，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得到，，再求出即可解答． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接， ∵M是的中点， ∴， 取的中点E，点M在以E为圆心，以为直径的上运动，连接并延长交于，连接， ∵， ∴当B、E、M三点共线时，最大，即， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的中点E， ∴， ∴， ∴， ∴最大，即． 故答案为：． 三、解答题（本大题共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活选用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）移项后运用直接开平方法求解即可； （2）运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴． 18. 甲、乙两名同学分别从某月1号、2号、3号中随机选择一天外出游玩． （1）甲选择1号的概率为______； （2）用列表或树状图求甲、乙恰好选择相邻两天的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率、树状图或列表法求概率；求出所有可能结果数是解题的关键； （1）所有可能结果有3种，甲选择1号有1种，由概率公式即可求得概率； （2）列表，由表即可得所有可能结果数，两人选择相邻两天的结果数，由概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：甲选择任一天外出游玩有3种情况，甲选择1号游玩只有1种情况， 则甲选择1号的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 1 2 3 1 1，1 1，2 1，3 2 1，2 2，2 2，3 3 1，3 2，3 3，3 由表知，所有可能结果数共有9种，两人选择相邻两天的结果数有4种， ∴甲、乙恰好选择相邻两天的概率为． 19. 小明在校级篮球联赛中表现优异，下面是他分别与A队和B队各四场比赛中的技术统计． 场次 对阵A队 对阵B队 得分/分 篮板/个 助攻/次 得分/分 篮板/个 助攻/次 第一场 21 10 5 25 16 2 第二场 29 10 5 28 15 5 第三场 24 14 4 17 12 4 第四场 26 10 6 22 9 5 平均数 25 11 5 23 13 4 （1）分别求小明在与A队、B队的比赛中得分的方差，并判断他在对阵哪一个队时得分比较稳定？ （2）如果规定：将平均每场得分、平均每场篮板、平均每场助攻按的比例计算“综合指标”，且综合指标越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，比较小明在对阵哪一个队时表现更好？ 【答案】（1）对阵A队的得分比较稳定； （2）对阵A队的表现更好． 【解析】 【分析】本题主要考查了方差和加权平均数，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据方差定义直接解即可，然后根据方差越小越稳定进行判断； （2）利用加权平均数分别求出对阵A队和B队时的综合指标，在进行比较即可． 【小问1详解】 解：（分）， （分）， ∵， ∴对阵A队的得分比较稳定； 【小问2详解】 解：对阵A队综合指标：， 对阵B队综合指标：， ∵， ∴对阵A队的表现更好． 20. 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元? 【答案】每件降价4元 【解析】 【详解】试题分析：设每件降价元，则可多售出5件，根据题意可得： 化简整理得 解得： 经检验都是方程的解，但是题目要求x≤10 ∴x=36不符合题意，舍去 即x=4 答：每件降价4元． 考点: 一元二次方程的应用 21. 如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 【答案】 证明：连接，，， 在与中， ， ， ， ，， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线．构造出全等三角形及圆心角是解题的关键． 连接，，，先根据全等三角形的判定定理得出，故可得出，再由平行线的性质可得出，， 故，进而得出结论． 【详解】略 22. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，为该方程的两个实数根，且满足，求k的值． 【答案】（1）无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根； （2）k的值为或． 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系． （1）求出其根的判别式的值即可判断； （2）由一元二次方程根与系数的关系可求出，．再整体代入得到，解出k的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵为方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴k的值为或． 23. 如图，是的直径，C为延长线上一点，与相切于点E，连接，与交于点F，连接，且． （1）求证：点F是的中点； （2）若，的半径为3，则阴影部分的面积为____． 【答案】（1） 证明：连接，设与相交于点H， ∵与相切于点E， ∴， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F是的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设与相交于点H，证明，即可得到结论； （2）证明，则，即可求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】此题考查了切线的性质、含角直角三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明点F是的中点是解题的关键． 24. 如图，若准备利用一处墙角和长度为的篱笆围建一个矩形花圃，花圃的一边由墙和篱笆构成，另一边由墙和篱笆构成，其他两边由剩下的篱笆围成．若，，矩形花车圃的面积为，求花圃边的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程解应用题，准确将线段用代数式表示出来是解题的关键．设边的长度为，则，由此可表示出，利用面积建立方程即可求解． 【详解】解：设边的长度为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵矩形周长为， ∴； 由题意知：， 整理，得：， 解得：； 当时，，无意义， ∴， 答：花圃边的长度为． 25. 已知点A在上，用尺规按下列要求画图： （1）在图①中画出点P，使是的直径； （2）在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】（1） 解：点P即为所求． （2） 解：点Q即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据直径经过圆心，作直线，交于点P即可； （2）根据切线的定义，连接，过点A作于点A，交点就是点Q解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 在四边形中，，，经过点A，B，C． （1）如图①，求证：是的切线． （2）如图②，连接，与，分别交于点E，F，连接． ①求证：； ②若，，则的长为______． 【答案】（1） 证明：连接并延长，交于点，连接，如图， 则为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） ①证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴为的垂直平分线， ∴； ②6 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，利用圆周角定理和等腰三角形的性质定理得到，利用全等三角形的判定与性质得到，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）①连接，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，得到，利用线段垂直平分线的判定定理得到为的垂直平分线，结论可得； ②连接并延长，交于点，利用垂径定理的推论得到，，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求得，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：连接并延长，交于点，如图， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 27. “等弦”的探究． （1）如图①，在中，是弦，且，由此，你能发现什么？ 从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． （2）如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等． ①在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②若，，，的半径为r，则r的取值范围是______． （3）如图③，某城市有一个圆形人工湖，已知直线型道路穿过人工湖，其中弦为湖中桥．现规划利用段修建四边形观湖路，新修建的三条道路均穿过人工湖，被所截得的弦为湖中桥（三条弦互不相交），且湖中桥长度均与相等．在图③中，用直尺和圆规作出周长最短的观湖路．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1） 小明发现的结论； 如图，连接，过点O作，垂足分别为E，F； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 小红发现的结论： 如图，过点O作，垂足分别为E，F；连接， ∴； 由小明的发现知，， ∵ ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图： ② （3） 解：过点O作于P，在点O为圆心，为半径作小圆O，分别以长为半径作弧交小圆于点G、H，连接并延长交于点E，连接交小圆于点F，过点F作的垂线，分别交于点C，点D，则四边形即为所作． 【解析】 【分析】（1）小明发现的结论：连接，过点O作，垂足分别为E，F；证明即可； 小红发现的结论：过点O作，垂足分别为E，F；连接，证明即可； （2）①分别作的角平分线，两线交于点O，作点O到的垂线，垂足为F，在射线上取点E，以为圆心，长为半径作，则即为所作； ②作的内切圆，过O作，垂足分别为，由切线长的性质可求得的长，过A作于E，设，由勾股定理建立方程可求得x的值，从而求得，由面积关系可求得内切圆的半径；连接，则可求得其长度，则可求得r的取值范围； （3）过点O作于P，在点O为圆心，为半径作小圆O，分别以长为半径作弧交小圆于点G、H，连接并延长交于点E，连接交小圆于点F，过点F作的垂线，分别交于点C，点D，则四边形即为所作． 【小问1详解】 ①略 【小问2详解】 解：①分别作的角平分线，两线交于点O，作点O到的垂线，垂足为F，在射线上取点E，以为圆心，长为半径作，则即为所作； ②如图，作的内切圆，过O作，垂足分别为， ∵为三角形的内切圆， ∴， 而， 解得：； 过A作于E，设，则， 即， 解得：， ∴； ∵， ∴； 连接，由勾股定理得：； ∵， ∴； ∴当时，满足题意； 故答案为：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线长定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识与内容，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 已知一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，则这组数据的平均数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 如图，在中，，是弦，点D在的延长线上，连接，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是半圆O的直径，弦，点C在上（不与点O，A重合），点D在上，连接，且，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 一元二次方程的根为______． 8. 设是方程 的两个根，且－＝1,则m=_______. 9. 某款汽车价格由年8月份万元/辆下降到10月份的万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为______． 10. 圆锥的底面直径是10cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为________ 11. 如图，正方形内接于，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是______． 12. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点F在优弧上，连接，若，则的度数为______． 13. 如图, 正五边形的边，与分别相切于点M，N， 点P在上，连接，，则的度数为______． 14. 如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为，则该铜镜所在圆的半径为_______． 15. 如图，扇形纸片所在圆的圆心角，半径为4．将扇形纸片折叠，使点B落在点处，折痕与，分别交于点M，N．若与半径相切于点C，且C是的中点，则的长为_______． 16. 在中，，，M是的中点，则中线长度的最大值为_____． 三、解答题（本大题共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 甲、乙两名同学分别从某月1号、2号、3号中随机选择一天外出游玩． （1）甲选择1号的概率为______； （2）用列表或树状图求甲、乙恰好选择相邻两天的概率． 19. 小明在校级篮球联赛中表现优异，下面是他分别与A队和B队各四场比赛中的技术统计． 场次 对阵A队 对阵B队 得分/分 篮板/个 助攻/次 得分/分 篮板/个 助攻/次 第一场 21 10 5 25 16 2 第二场 29 10 5 28 15 5 第三场 24 14 4 17 12 4 第四场 26 10 6 22 9 5 平均数 25 11 5 23 13 4 （1）分别求小明在与A队、B队的比赛中得分的方差，并判断他在对阵哪一个队时得分比较稳定？ （2）如果规定：将平均每场得分、平均每场篮板、平均每场助攻按的比例计算“综合指标”，且综合指标越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，比较小明在对阵哪一个队时表现更好？ 20. 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元? 21. 如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 22. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若，为该方程的两个实数根，且满足，求k的值． 23. 如图，是的直径，C为延长线上一点，与相切于点E，连接，与交于点F，连接，且． （1）求证：点F是的中点； （2）若，的半径为3，则阴影部分的面积为____． 24. 如图，若准备利用一处墙角和长度为的篱笆围建一个矩形花圃，花圃的一边由墙和篱笆构成，另一边由墙和篱笆构成，其他两边由剩下的篱笆围成．若，，矩形花车圃的面积为，求花圃边的长度． 25. 已知点A在上，用尺规按下列要求画图： （1）在图①中画出点P，使是的直径； （2）在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 26. 在四边形中，，，经过点A，B，C． （1）如图①，求证：是的切线． （2）如图②，连接，与，分别交于点E，F，连接． ①求证：； ②若，，则的长为______． 27. “等弦”的探究． （1）如图①，在中，是弦，且，由此，你能发现什么？ 从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． （2）如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等． ①在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②若，，，的半径为r，则r的取值范围是______． （3）如图③，某城市有一个圆形人工湖，已知直线型道路穿过人工湖，其中弦为湖中桥．现规划利用段修建四边形观湖路，新修建的三条道路均穿过人工湖，被所截得的弦为湖中桥（三条弦互不相交），且湖中桥长度均与相等．在图③中，用直尺和圆规作出周长最短的观湖路．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $