精品解析：2025年广东省佛山市部分学校九年级中考一模数学试题

2025年广东省初中学业水平考试模拟试题数学 本试卷共7页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 刘徽在《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”若将珠江的水位下降4米记作“米”，则“米”表示珠江的水位（ ） A. 下降3米 B. 上升4米 C. 上升3米 D. 下降4米 2. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 3. 甲、乙、丙同时在的范围内随机取整数的值，每个数被取到的可能性相等，设甲取到的值为，乙取到的值为，丙取到的值为，则满足的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 方程满足的解的个数为（ ） A 5 B. 3 C. 6 D. 0 5. ，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 6. 如图，点A、B、C、D在上，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若的整数部分为，小数部分为，则（ ） A. 2 B. C. 0 D. 8. 张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记，与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数：滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．若在整个往返过程中，，则（ ）． A. 6或9 B. 18 C. 6或18 D. 9或18 9. 如果正实数，满足，那么的最小值为（ ） A. 0 B. C. 41 D. 1 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是（ ） A. B. 或 C. 2 D. 2或 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 黑洞原本是天文学中的概念，用来表示这样一种天体：它的引力场非常强，任何物质甚至是光，一旦被它吸入就再也休想逃脱出来．数学中的数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入一种循环的境况．任意写一个位数不超过9位的数，分别求出：它所含偶数的个数、奇数的个数、以及这两个数的和，用所得的三个数依次做一个三位数的百位、十位和个位数字；对这个三位数重复前面的做法，得到一个新的三位数，如此进行下去，最后得到的循环不变的数字是__________． 12. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为__________． 13. 如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，．已知菱形的面积为6，则阴影部分的面积之和为________． 14. 如图，线段为直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____． 15. 在平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为________________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. （1）解方程：； （2）已知是锐角，求证：． 17. 据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”． 小粤爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有，两所学校适合，小粤收集了这两所学校过去10周上午的预约人数： 学校：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50． 学校：如图所示： （1）根据上述内容，整理出众数、中位数、平均数、方差等数据，给下列问题提供参考： （2）若小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，则他应该预约哪所学校？ （3）若小粤爸爸健身时需要更好的场所，则他应该预约哪所学校？ 18. 如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩，，垂直于地面放置，醒狮少年从点跳跃到点，随后纵身跃至点，已知，，，．（参考数据：，，） （1）在图2中，________； （2）醒狮少年在某次演出时需要从点直接腾跃至点进行“采青”，请求出“采青”路径的长度； （3）醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点处，梅花桩的影子顶端恰好与点重合，请在图3中画出梅花桩，的影子并计算出的高度； （4）如图4，保持不变，通过调整梅花桩的高度，使得的值最小，请求出此时的高度（结果精确到）． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． （1）如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； （2）如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 20. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 综合与实践． 【实践背景】 人体工学座椅通常具有可调节功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示． 【实践操作】 现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背与脚板平行，请在图4中用尺规作图法作出脚板（即在的下方作）；（保留作图痕迹，不要求写出作法） 升级版设计】 如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背由直变曲，并赋予座面一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线是二次函数的部分图象，点A为顶点：线段 （实际生产时取）； （1）求该二次函数的解析式； （2）如果座椅两扶手之间相距，现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此升级版的座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图，不考虑缝接处的用料），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． （1）当点E在线段上，时，如图①，求证：； （2）当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系； （3）在（1）、（2）的条件下，若，，则_______． 23. 已知抛物线y=ax2+bx−(a>0)与x轴交于点A，B两点，OA<OB，AB=4．其顶点C的横坐标为-1． （1）求该抛物线的解析式； （2）设点D在抛物线第一象限的图象上，垂足为E，DF∥y轴交直线AC于点F，当面积等于4时，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点B运动到达点C，交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为N，F，H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省初中学业水平考试模拟试题数学 本试卷共7页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 刘徽在《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”若将珠江的水位下降4米记作“米”，则“米”表示珠江的水位（ ） A. 下降3米 B. 上升4米 C. 上升3米 D. 下降4米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了具有相反意义的量，理解相反数的意义是解题的关键．根据具有相反意义的量求解即可． 【详解】解：∵珠江的水位下降4米记作“米”， ∴米表示上升3米，故C正确． 故选：C． 2. 如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ） A. 平行投影 B. 中心投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：∵皮影戏的光源通常是一盏煤油灯， ∴它的投影属于中心投影． 故选B． 3. 甲、乙、丙同时在的范围内随机取整数的值，每个数被取到的可能性相等，设甲取到的值为，乙取到的值为，丙取到的值为，则满足的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，由题意可得共有种结果，再求出的情况，最后再由概率公式计算即可得解． 【详解】解：∵在的范围内取整数可以为，，，，， ∴甲、乙、丙同时在的范围内随机取整数的值，每个数被取到的可能性相等，设甲取到的值为，乙取到的值为，丙取到的值为，共有种结果， 其中的情况有：，，，，，，，，，，共10种， ∴满足的概率为， 故选：B． 4. 方程满足的解的个数为（ ） A. 5 B. 3 C. 6 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式，绝对值方程，先求出，当时，，求解得出，可得出答案 【详解】解：∵， ∴， 当时，，变形为：， ∴， 解得：， ∴方程满足的解的个数为0， 故选：D 5. ，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，由题意可得，从而得出，即可得解，熟练掌握运算法则，进行适当变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，点A、B、C、D在上，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．连接，则，由平行线的性质以及等腰三角形得到，再由三角形内角和定理求出，再由角度和差计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7. 若的整数部分为，小数部分为，则（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出、的值．根据的范围，求出的范围，从而确定、的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解： 的整数部分为a，小数部分为b， ， 故选：A． 8. 张院士的动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记，与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数：滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．若在整个往返过程中，，则（ ）． A. 6或9 B. 18 C. 6或18 D. 9或18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入求得d关于t的函数，进而①当时，②当时，分别令，进而即可求解． 【详解】解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时， ∵， ∴， ∴， ∴是的一次函数， ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数； ∴当时，， ∴， ∴， ∴滑块从点到点所用的时间为， 当， 时，， 解得：； ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿， ∴滑块从点到点的滑动时间为， ∴滑块返回的速度为， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为， 当，时， ， 解得：， 综上所述，当或时，． 故选：C． 9. 如果正实数，满足，那么的最小值为（ ） A. 0 B. C. 41 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，再变形为，结合非负数的性质即可得解． 【详解】解：∵正实数，满足， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是（ ） A. B. 或 C. 2 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、圆的切线的性质等知识，综合性较强，有一定难度．正确分情况讨论，找出抛物线的对称轴的位置是解题关键．如图（见解析），分三种情况：①当时，则点在与垂直的直线上运动（不含点），②当时，则点在与垂直的直线上运动（不含点），③当时，则点在以为直径的圆上运动，圆心为的中点，判断出这个抛物线的对称轴（图中的和）与相切，由此计算即可得． 【详解】解：由题意可知，有以下三种情况： ①如图，当时，，为直角三角形， 则点在与垂直的直线上运动（不含点），且M点是与抛物线对称轴的交点； ②当时，，为直角三角形， 则点在与垂直的直线上运动（不含点），且M点是与抛物线对称轴的交点； ③当时，，为直角三角形， 则点在以为直径的圆上运动，圆心为的中点； ∵， ∴，的半径为， 抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形， ∴这个抛物线的对称轴（图中的和）与相切时，只有一个点M，使为直角三角形； ∴， 解得或， ∴或， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 黑洞原本是天文学中的概念，用来表示这样一种天体：它的引力场非常强，任何物质甚至是光，一旦被它吸入就再也休想逃脱出来．数学中的数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入一种循环的境况．任意写一个位数不超过9位的数，分别求出：它所含偶数的个数、奇数的个数、以及这两个数的和，用所得的三个数依次做一个三位数的百位、十位和个位数字；对这个三位数重复前面的做法，得到一个新的三位数，如此进行下去，最后得到的循环不变的数字是__________． 【答案】123 【解析】 【分析】随机举一个数字，按照题中规律计算出最后的三位数即可． 【详解】解：取一个数为243， 第一次运算结果为213， 第二次运算结果为123， 第三次运算结果为123， ...， ∴最后得到的循环不变的数字是123， 故答案为：123． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，归纳出数字的变化规律是解题的关键． 12. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 过作于， 在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为， ， ， 的近似值为3， 故答案为：3． 13. 如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，．已知菱形的面积为6，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接交于点，设交于点，交于点，连接，先证明四边形是矩形，得到，，证明，推出四边形为平行四边形，推出三点共线，且，再证明，得到，证明四边形，四边形均为平行四边形，得到，平行线分线段成比例，推出，根据菱形的面积分别求出四边形和的面积，分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接交于点，设交于点，交于点，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点，分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴三点共线，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的面积为6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊图形，是解题的关键． 14. 如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，一次函数的应用，化为最简二次根式，掌握平面直角坐标系中的动点问题，一次函数的应用是解题的关键．根据题意找出点Q的运动轨迹是两条线段，设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，根据，得出，然后分两种情况，或，得出与的函数关系式，即可得出Q横纵坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可． 【详解】解：∵点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点Q为线段的中点， 则点Q的坐标为， ∵， ∴，（，）， ∵当时，， ∴， ∴， ∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为， ∴此时点Q的运动路径长为； ∵当时，， ∴， ∴， ∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为， ∴此时点Q的运动路径长为； 综上分析可知，点Q运动路径的长为． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. （1）解方程：； （2）已知是锐角，求证：． 【答案】（1）或；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，证明同角三角函数关系式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用换元法解分式方程即可； （2）利用平方差公式将 化简，再结合即可得证． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘得， 解得，． 经检验，，都是方程的解． 当时，，解得： 当时，，解得． 经检验，或都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为或． （2）证明：∵； 又； ∴． 17. 据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”． 小粤爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有，两所学校适合，小粤收集了这两所学校过去10周上午的预约人数： 学校：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50． 学校：如图所示： （1）根据上述内容，整理出众数、中位数、平均数、方差等数据，给下列问题提供参考： （2）若小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，则他应该预约哪所学校？ （3）若小粤爸爸健身时需要更好的场所，则他应该预约哪所学校？ 【答案】（1）见解析 （2）小粤爸爸应该预约学校 （3）小粤爸爸应该预约学校 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法求出个数，制成统计表； （2）根据众数和中位数分析即可； （3）根据方差的知识解答即可． 【小问1详解】 解：整理数据如下： 学校 平均数 众数 中位数 方差 43.3 48 48 83.299 48.4 25 47.5 354.04 【小问2详解】 解：由于小粤爸爸每日上午只有1.5小时进行健身，时间紧促，所以应该选择预约人数较少的学校，根据上面的数据，学校的预约人数的众数以及中位数相对学校低，因此预约人数较少，故小粤爸爸应该预约学校； 【小问3详解】 解：根据上面的数据，学校的预约人数的方差相对学校低，因此学校的预约人数较稳定，管理员对场所的维护较好，故小粤爸爸应该预约学校． 【点睛】本题考查了统计的知识，熟练掌握众数、中位数、平均数、方差的计算方法是解答本题的关键． 18. 如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩，，垂直于地面放置，醒狮少年从点跳跃到点，随后纵身跃至点，已知，，，．（参考数据：，，） （1）在图2中，________； （2）醒狮少年在某次演出时需要从点直接腾跃至点进行“采青”，请求出“采青”路径的长度； （3）醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点处，梅花桩的影子顶端恰好与点重合，请在图3中画出梅花桩，的影子并计算出的高度； （4）如图4，保持不变，通过调整梅花桩的高度，使得的值最小，请求出此时的高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2）的长度约为 （3）见解析，的高度约为 （4）的高度约为 【解析】 【分析】（1）延长至，根据平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作直线，分别交，于点，，过点作直线，交于点，连接，则四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，由矩形的性质可得，，，再解直角三角形结合勾股定理计算即可得解； （3）线段，为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子．再利用相似三角形的性质求解即可； （4）作点关于的对称点，连接交于，连接，，则，则就是的最小值，由（2）得，由轴对称得，再利用相似三角形的性质计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图：延长至， 由题意可得：， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作直线，分别交，于点，，过点作直线，交于点，连接． 由题意得， ∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴． 即“采青”路径的长度约为． 【小问3详解】 解：如图，线段，为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子． ∵，， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， 解得． 经检验且符合题意，所以的高度约为米． 【小问4详解】 解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接并延长交于，连接，， ∴，则就是的最小值， 由对称性质可知：， 同理（2）得， 由轴对称得， ∴． ∵ ∴， ∴． 即， 解得， ∴， ∴此时的高度约为． 【点睛】本题考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． （1）如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； （2）如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 【答案】（1）①4；②； （2）k的值为． 【解析】 【分析】（1）①根据反比例函数的几何意义解答即可； ②根据解析式代入得出点和的坐标，进而利用割补法求三角形面积，即可解题； （2）过点D作轴于点G，类比于②用表示出，根据反比例函数性质和折叠的性质以及相似三角形的判定和性质用表示出，再结合勾股定理建立等式求解，即可解题. 【小问1详解】 解：①的面积为2，反比例函数图象在第一象限， 即有， ， 故答案为：4； ②在矩形中，，， ， 反比例函数的解析式是：， ， 即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， D， 同理，当时，， ， ，，，， ； 【小问2详解】 解：过点D作轴于点G，则， ，即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， ， 同理可得，当时，， ， ，，，， 由折叠的性质可知： ， ，， ， 轴， ， ， ， ， ， 即， ， 轴， 是直角三角形，， ， 解得：， 即k的值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的几何意义，折叠的性质，勾股定理，相似三角形性质和判定，三角形的面积公式，解题的关键是根据待定系数法得出解析式进行解答． 20. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元 （2）购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用， （1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元； 【小问2详解】 解：设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进辆B型汽车，根据题意得： ， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵m，均为正整数， ∴m的最小值为2， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元），此时（辆）． 答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元． 21. 综合与实践． 【实践背景】 人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示． 【实践操作】 现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背与脚板平行，请在图4中用尺规作图法作出脚板（即在的下方作）；（保留作图痕迹，不要求写出作法） 升级版设计】 如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背由直变曲，并赋予座面一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线是二次函数的部分图象，点A为顶点：线段 （实际生产时取）； （1）求该二次函数的解析式； （2）如果座椅两扶手之间相距，现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此升级版的座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图，不考虑缝接处的用料），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小） 【答案】实践操作：见详解 升级版设计： （1） （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，待定系数法，二次函数的应用等； 实践操作：作一个角等于已知角，即可求解； 升级版设计： （1）设该二次函数的解析式为，将代入，即可求解； （2）当座椅位于图位置时，体积最小，求出长宽高，画出图，即可求解； 会用作一个角等于已知角，能用二次函数解决实际问题是解题的关键． 【详解】实践操作： 解：如图， 为所求作； 升级版设计： （1）解：是顶点， 设该二次函数的解析式为， 图象经过， ， 解得：， 故该二次函数的解析式为； （2）由题意得，当座椅位于图位置时，体积最小， 此时，所需长方体的长为：（）， 宽为：，高为：； 设计图如下： 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． （1）当点E在线段上，时，如图①，求证：； （2）当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系； （3）在（1）、（2）的条件下，若，，则_______． 【答案】（1）见解析 （2）图②：，图③： （3）1或7 【解析】 【分析】（1）求证，，得，所以，进而，所以； （2）如图②，当点E在线段延长线上，时，同（1），，得，结合平行四边形性质，得，所以；如图③，当点E在线段延长线上，时，求证，得，同（1）可证，，结合平行四边形性质，得，所以； （3）如图①，中，勾股定理，得 ，求得；如图②，，则,中，，可得图②中，不存在，的情况；如图③，中，勾股定理，得 ，求得． 【小问1详解】 证明：， ． ， ∴ ∴ ． ， ． ． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ； 【小问2详解】 如图②，当点E在线段延长线上，时， 同（1），， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即； 如图③，当点E在线段延长线上，时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 同（1）可证， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即 【小问3详解】 如图①，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 中，,， 由，得； 如图②，，则,中，， ∴,与矛盾，故图②中，不存在，的情况； 如图③， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ 由知，． 综上，或7． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据条件选用恰当的方法作全等的判定是解题的关键． 23. 已知抛物线y=ax2+bx−(a>0)与x轴交于点A，B两点，OA<OB，AB=4．其顶点C的横坐标为-1． （1）求该抛物线的解析式； （2）设点D在抛物线第一象限的图象上，垂足为E，DF∥y轴交直线AC于点F，当面积等于4时，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点B运动到达点C，交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为N，F，H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长． 【答案】（1）该抛物线解析式为y=x2+x−； （2）D(3，6) （3）点P的运动路线长为1． 【解析】 【分析】（1）利用对称性，求得A(1，0)，B (-3，0)，再利用待定系数法求解即可； （2）证明△CGA和△DEF都为等腰直角三角形，利用面积法求得DF=4；再求得直线AC的解析式为y=x-1，设D(x，x2+x-)，则F(x，x-1)，据此求解即可； （3）设出M点的坐标，利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，求出点N和点H的坐标，利用中点坐标公式求出P点坐标，得出P点纵坐标恒为4，得到它的运动轨迹为一条线段，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点A，B两点关于直线x=-1对称，且AB=4．OA<OB， ∴A(1，0)，B (-3，0)， 将其代入y=ax2+bx−，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y=x2+x-； 【小问2详解】 解：如图所示：∵DF//y轴//GC， ∴∠GCA=∠DFE， ∵抛物线解析式为y=x2+x-=(x+1)2-2， ∴顶点C(-1，-2) ， ∵A(1，0)， ∴AG=2，CG=2， ∴△CGA为等腰直角三角形， ∴∠GCA=∠DFE=45°， ∵DE⊥AC， ∴△DEF为等腰直角三角形， ∴DE=EF，DF=DE， ∵S△DEF=DE×EF=4， ∴DE=2， ∴DF=×2=4； 设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)， 将A(1，0)和C(-1，-2)代入， 得，解得， ∴直线AC的解析式为y=x-1， 设D(x，x2+x-)，则F(x，x-1)， ∴DF=x2+x--( x-1)=x2-， ∴， ∴， ∴x2-=4， ∴x=3或x =-3(舍)， ∴x2+x-=×9+3-=6，x-1=3-1=2， ∴D(3，6)，F(3，2)； 【小问3详解】 解：∵，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，直线的解析式为， 将点，点坐标代入解析式可得：， 所以直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴可以利用待定系数法求得直线的解析式为， 由，得， ∵是等腰直角三角形，且，，， ∴， 利用待定系数法可以求出直线的解析式为， 由，得， ∵点P为N，F，H三点构成三角形的外心，为直角三角形， ∴P点为的中点， ∴， ∴， ∴P点运动轨迹为一条线段， 当M点位于B点处时，，， 当M点位于C点处时，，， ∴P点运动轨迹为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $