专题00江苏省2025年九年级中考数学一轮复习——尺规作图讲义

一轮复习——尺规作图 知识点一、尺规作图 1．尺规作图：使用圆规和不带刻度的直尺两种工具作几何图形. 2．两个基本操作： （1）过确定两点画直线； （2）以确定点为圆心，确定的两点间距离为半径画圆. 知识点二、常见的五种基本作图及应用 1．作一条线段等于已知线段： （1）作射线OP； （2）以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求线段． 依据：圆上的点到圆心的距离等于半径 温馨提醒： ①作等腰三角形；②已知三边作三角形；③作圆的内接正六边形 2．作一个角等于已知角： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交∠α的两边于点P、Q； （2）作射线O′A，以点O′为圆心，OP长为半径画弧，交O′A于点M； （3）以点M为圆心，PQ长为半径画弧，与前弧相交于点N； （4）过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求角. 证明：易证：△POQ≌△MO′N（SSS） ∴∠POQ＝∠MO′N，即∠α＝∠AOB 依据：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线 温馨提醒： ①过直线外一点作直线与已知直线平行；②已知两边及其夹角作三角形；③已知两角及其夹边作三角形 3．作已知角的平分线： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧相交于点P； （3）作射线OP，射线OP即为所求作的角平分线. 证明：连接PM，PN，易证：△POM≌△PON（SSS） ∴∠MOP＝∠NOP，即OP平分∠AOB 依据：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线 温馨提醒： ①作一点使得该点到角两边的距离相等；②确定三角形内切圆的圆心 4．作已知线段的垂直平分线： （1）分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； （2）作直线MN，直线MN即为所求作的垂直平分线. 证明：连接AM，BM，AN，BN ∵AM＝BM，AN＝BN ∴点M，N均在线段AB的垂直平分线上 ∴MN垂直平分线段AB 依据：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 温馨提醒： ①作三角形一边上的中线；②作三角形的外接圆；③已知不重合两点 A、B，作一点C到A、B两点的距离相等（作等腰三角形）；④已知底边及底边上的高线作等腰三角形；⑤作圆的内接正方形；⑥过圆外一点作圆的切线 5．过一点作已知直线的垂线： 1°点P在直线l上： （1）以点P为圆心，适当长为半径向点P两侧作弧，交直线l于点A和点B； （2）分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径在直线l两侧作弧，两弧分别相交于M、N两点； （3）作直线MN，直线MN即为所求作的垂线. 证明：连接AM，BM ∵AM＝BM，AP＝BP ∴MP⊥AB，即MP⊥l 依据：等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线 温馨提醒： ①过一点作直角三角形或作一个角为90°；②过圆上一点作圆的切线 2°点P在直线l外： ①任取一点M，使点M和点P在直线l的两侧； ②以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于点A和点B； ③分别以点A、点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于点N； ④作直线PN，直线PN即为所求作的垂线. 证明：连接AP，BP，AN，BN ∵AP＝BP，AN＝BN ∴点P，N均在线段AB的垂直平分线上 ∴PN⊥AB，即PN⊥l 依据：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 温馨提醒： 过直线外一点作与直线相切的圆（确定三角形内切圆的半径） 考点一：依尺规作图痕迹计算 例1（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点． （1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解； （3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的计算方法可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， ∴； 点O即为所求 【小问2详解】 解：如图所示， 连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点， ∵是直径， ∴，即， 根据作图可得， ∴，即，是点到的距离， ∵， ∴， ∴， 点即为所求点的位置； 【小问3详解】 解：如图所示， 根据作图可得，，连接， ∴在中，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，作平行线，勾股定理，锐角三角函数的计算方法等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 【跟踪训练】 1.（2023·江苏淮安中考真题）如图，在中，． （1）尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点，过点作，交于点，以为圆心，为半径作，即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设交于点，连接，可得是等边三角形，进而根据与重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵，是的切线， ∴， ∴， 则， 解得：， 如图所示，设交于点，连接， ∵， ∴是等边三角形， 如图所示，过点作于点， ∴ ∴ 在中，, ∴, ∴，则， ∴与重叠部分的面积为． 【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键． 2.（2023.江苏宿迁中考真题）如图，在中，，，． （1）求出对角线的长； （2）尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）连接，过作于，如图所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，； （2）连接，根据轴对称性质，过点尺规作图作线段的垂直平分线即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接，过作于，如图所示： 在中，，， ， ， ， 在中，，，，则； 【小问2详解】 解：如图所示： 【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键． 考点二：直接作图 例1（2024·江苏连云港·中考真题）如图，与相交于点，，． （1）求证：； （2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，结合，利用即可证明； （2）作的垂直平分线，分别交于点，连接即可． 【小问1详解】 证明：， ，． 在和中，， ； 【小问2详解】 解：是的垂直平分线， ， 由（1）的结论可知，, 又∵, 则, ∴ ， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 如图所示，菱形为所求． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键． 【跟踪训练】 1.（2023·江苏无锡中考真题）如图，己知，点M是上的一个定点． （1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记N； （2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件； （2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用的劣弧与所围成图形的面积进行计算． 【小问1详解】 解：如图，为所作； ； 【小问2详解】 解：∵和为的切线， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的劣弧与所围成图形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算． 2.（2023.江苏常州中考真题）如图，、、、是直线上的四点， ． （1）求证：； （2）点、分别是、的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是________． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ② 【解析】 【分析】（1）可证得，结合，即可证明结论． （2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，据此即可求得答案． 【小问1详解】 ∵，，， ∴． 在和中 ∴． 【小问2详解】 ①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点． ②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键． 练习 1.（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 解：如下图：即为所求． 【小问2详解】 过点D作交与点E，过点D作交与点F， 则， 又∵ ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键． 2.（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点“关联点”． （1）如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． （2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． （3）若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】（1）证明见解析 （2）图见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法可得的取值范围，综上即可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． 【小问2详解】 解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． 【小问3详解】 ①当时，如图所示，过点作的垂线，交于，作交于， 结合第（2）问，我们发现当点在直线左侧、右侧时，是锐角三角形， 此时， ∵，且，， ∴， 在中，， 在中，， ∴； ②当，同理可得； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键 3.（2023·江苏盐城中考真题）如图，，，． （1）求证：； （2）用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据边角边证明即可证明结论成立； （2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：所作图形如图， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键． 4.（2023·江苏徐州中考真题） 两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． （1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； （2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 解：【答案】（1） （2）①符合，图见详解；②图见详解 【解析】 【分析】（1）根据圆环面积可进行求解； （2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图． 【小问1详解】 解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为， ∴它们的面积之比为； 故答案为； 【小问2详解】 解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可 由作图可知满足比例关系为的关系； ②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示： 【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．  5.（2023·江苏连云港中考）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解； （2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证． 【小问1详解】 解：方法不唯一，如图所示． 【小问2详解】 ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点在以为直径的圆上， ∴， ∴． 又∵为的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6.（2024·江苏镇江·中考真题） 主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点． 操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点． 理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，，点E、F在直线上． ①作线段的中点； ②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点； 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）． 【答案】（1）①见解析，②见解析； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】实践操作（1）①根据[阅读理解]部分的作法：在上方任取一点，得到，与交于点，交于点，连接，交于点，作射线交，分别于，，点即为所求点； ②作射线交于点，作射线交于点，点即为所求； （2）根据上述作法，有两种作法； [探索发现]如作法一，根据相似可知，连接，交于点，则，即点是的三等分点之一，由此可以得出过点作的平行线；同理可得点是的三等分点之一，则，即点为所求作点． 【详解】解：[实践操作] （1）①如图， 点即为所求作的点； ②如图， 点即为所求作的点； （2）如图， 作法一、 作法二、 点，即为所求作的点； [探索发现]（3）如图， 作法一、 作法二、 作法三、 作法四、 作法五、 点即为所求的点． 【点睛】本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解[阅读理解]部分中，为中点是解题关键． 7.（2024·江苏盐城·中考真题） 如图1，E、F、G、H分别是平行四边形各边中点，连接交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形称为平行四边形的“中顶点四边形”． （1）求证：中顶点四边形为平行四边形； （2）①如图2，连接交于点O，可得M、N两点都在上，当平行四边形满足________时，中顶点四边形是菱形； ②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析． 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形及菱形的判定和性质，三角形重心的性质，理解题意，熟练掌握三角形重心的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证； （2）①根据菱形的性质结合图形即可得出结果； ②连接，作直线，交于点O，然后作，然后连接即可得出点M和N分别为的重心，据此作图即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵点E、F、G、H分别是各边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， 同理可得：四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ①当平行四边形满足时，中顶点四边形是菱形， 由（1）得四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴中顶点四边形是菱形， 故答案为：； ②如图所示，即为所求， 连接，作直线，交于点O，然后作，然后连接即可， ∴点M和N分别为的重心，符合题意； 证明：矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； 分别延长交四边于点E、F、G、H如图所示： ∵矩形， ∴，， 由作图得， ∴， ∴， ∴点F为的中点， 同理得：点E为的中点，点G为的中点，点H为的中点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一轮复习——尺规作图 知识点一、尺规作图 1．尺规作图：使用圆规和不带刻度的直尺两种工具作几何图形. 2．两个基本操作： （1）过确定两点画直线； （2）以确定点为圆心，确定的两点间距离为半径画圆. 知识点二、常见的五种基本作图及应用 1．作一条线段等于已知线段： （1）作射线OP； （2）以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求线段． 依据：圆上的点到圆心的距离等于半径 温馨提醒： ①作等腰三角形；②已知三边作三角形；③作圆的内接正六边形 2．作一个角等于已知角： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交∠α的两边于点P、Q； （2）作射线O′A，以点O′为圆心，OP长为半径画弧，交O′A于点M； （3）以点M为圆心，PQ长为半径画弧，与前弧相交于点N； （4）过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求角. 证明：易证：△POQ≌△MO′N（SSS） ∴∠POQ＝∠MO′N，即∠α＝∠AOB 依据：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线 温馨提醒： ①过直线外一点作直线与已知直线平行；②已知两边及其夹角作三角形；③已知两角及其夹边作三角形 3．作已知角的平分线： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧相交于点P； （3）作射线OP，射线OP即为所求作的角平分线. 证明：连接PM，PN，易证：△POM≌△PON（SSS） ∴∠MOP＝∠NOP，即OP平分∠AOB 依据：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线 温馨提醒： ①作一点使得该点到角两边的距离相等；②确定三角形内切圆的圆心 4．作已知线段的垂直平分线： （1）分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； （2）作直线MN，直线MN即为所求作的垂直平分线. 证明：连接AM，BM，AN，BN ∵AM＝BM，AN＝BN ∴点M，N均在线段AB的垂直平分线上 ∴MN垂直平分线段AB 依据：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 温馨提醒： ①作三角形一边上的中线；②作三角形的外接圆；③已知不重合两点 A、B，作一点C到A、B两点的距离相等（作等腰三角形）；④已知底边及底边上的高线作等腰三角形；⑤作圆的内接正方形；⑥过圆外一点作圆的切线 5．过一点作已知直线的垂线： 1°点P在直线l上： （1）以点P为圆心，适当长为半径向点P两侧作弧，交直线l于点A和点B； （2）分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径在直线l两侧作弧，两弧分别相交于M、N两点； （3）作直线MN，直线MN即为所求作的垂线. 证明：连接AM，BM ∵AM＝BM，AP＝BP ∴MP⊥AB，即MP⊥l 依据：等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线 温馨提醒： ①过一点作直角三角形或作一个角为90°；②过圆上一点作圆的切线 2°点P在直线l外： ①任取一点M，使点M和点P在直线l的两侧； ②以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于点A和点B； ③分别以点A、点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于点N； ④作直线PN，直线PN即为所求作的垂线. 证明：连接AP，BP，AN，BN ∵AP＝BP，AN＝BN ∴点P，N均在线段AB的垂直平分线上 ∴PN⊥AB，即PN⊥l 依据：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 温馨提醒： 过直线外一点作与直线相切的圆（确定三角形内切圆的半径） 考点一：依尺规作图痕迹计算 例1（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点． （1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）、（2）的条件下，若，，求的长． 【跟踪训练】 1.（2023·江苏淮安中考真题）如图，在中，． （1）尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积． 2.（2023.江苏宿迁中考真题）如图，在中，，，． （1）求出对角线的长； （2）尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 考点二：直接作图 例1（2024·江苏连云港·中考真题）如图，与相交于点，，． （1）求证：； （2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【跟踪训练】 1.（2023·江苏无锡中考真题）如图，己知，点M是上的一个定点． （1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记N； （2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________． 2.（2023.江苏常州中考真题）如图，、、、是直线上的四点， ． （1）求证：； （2）点、分别是、的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是________． 练习 1.（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 2.（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点“关联点”． （1）如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． （2）如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． （3）若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 3.（2023·江苏盐城中考真题）如图，，，． （1）求证：； （2）用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） 4.（2023·江苏徐州中考真题） 两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． （1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； （2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 5.（2023·江苏连云港中考）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：． 6.（2024·江苏镇江·中考真题） 主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点． 操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点． 理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，，点E、F在直线上． ①作线段的中点； ②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点； 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）． 7.（2024·江苏盐城·中考真题） 如图1，E、F、G、H分别是平行四边形各边中点，连接交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形称为平行四边形的“中顶点四边形”． （1）求证：中顶点四边形为平行四边形； （2）①如图2，连接交于点O，可得M、N两点都在上，当平行四边形满足________时，中顶点四边形是菱形； ②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$