精品解析：河南省商丘市商师联盟2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

2024~2025学年度高一上学期期末联考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，又， 所以. 故选：A. 2. 已知命题：“，则的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】的否定是“”. 故选：. 3. 德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据新函数的定义，代入求解即可. 【详解】． 故选：D． 4. 已知是幂函数，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数的定义得出结果即可. 【详解】由题知，解得，且，解得. 故选：D 5. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断B、D，再根据函数在上的单调性排除C. 详解】函数，令，解得， 所以函数的定义域为，故排除B、D； 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故排除C. 故选：A 7. 如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（ ） A. B. C. D. . 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形面积公式即可求得每个扇环形小拼盘的面积. 【详解】如图， 设小圆的圆心为，则， 设，每个扇环形小拼盘对应的圆心角为， 则的长为，解得， 所以每个扇环形小拼盘的面积为 . 故选：C 8. 已知函数（且）是值域为的单调递减函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数是值域为的单调递减函数，知， 解得，，函数图像如图， 由，即， 令，解得，即， 令，解得，即， 综上，，的解集为， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】取特殊值判断A选项和D选项，由不等式的性质判断B选项，由作差法判断C选项. 【详解】当，时，满足，但是，故A错误； 因为，所以，又，所以，故B正确； 因为，又，所以，，所以，即，故C正确； 当，，，时，满足，，但是，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. ， B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，函数的最小正周期，故A正确； 对于B，因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，当时，， 因为在上不单调，所以在上不单调，故C错误； 对于D，因为， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图象变换判断A，由单调性判断BCD. 【详解】把图象向右平移2个单位得的图象，因此直线是图象的对称轴，A正确； 在上单调递增，则的符号不确定，所以无法确定，的大小，B错误； 在上单调递减，所以，C正确； 在上单调递减，由，得，所以在上单调递减，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数定义域的定义列出不等式求得自变量的取值范围即可得到结果. 【详解】由题意可知解得且， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角公式，然后构造齐次式，由的值求得结果. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知函数，若实数，满足，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，计算可得为奇函数且在上单调递增，则由可得，再借助基本不等式计算即可得解. 【详解】令，所以， 又定义域为，所以为奇函数，又，都在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知为第二象限角，求的值； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数平方式，由正弦值求得余弦值，结合余弦差角公式，可得答案； （2）利用三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】（1）为第二象限角， ， 所以． （2）因为， ，， 所以原式. 16. 已知：实数满足：实数满足. （1）若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意解一元二次不等式得命题，结合命题真假确定取值范围； （2）利用充分条件、必要条件的定义解不等式即可. 【小问1详解】 ：实数满足，解得. 当时，，解得， 和至少有一个为真命题，， 实数的取值范围为. 【小问2详解】 由，解得， 即 是的充分不必要条件， （等号不同时取）， ， 又， 故实数的取值范围为 17. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：为奇函数. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由图得到，求得，代入点，求得，结合题意得到，即可求得函数的解析式； （2）由三角函数的图象变换求得，根据偶函数的定义证明即可. 【小问1详解】 由最值得， 由相邻两零点距离得，则，即， 此时， 因为，则该函数一个最高点为， 代入点得：， 则，即， 又因为，所以， 故. 小问2详解】 由题意得， 则， 因为 ，且其定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. 18. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型，，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为. （1）求该学习率模型的表达式； （2）要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将时，代入计算，即可得到结果. （2）根据题意，由条件列出不等式，结合指数，对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由条件可得，指数衰减的模型为， 当时，，代入可得，解得， 所以该学习率模型的表达式 小问2详解】 由学习率衰减到以下（不含），可得， 即，所以，即 ， 所以，则，即至少需训练迭代74轮. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数”. （1）若，求的值域并判断是否为的“2重覆盖函数”，请说明理由； （2）求证：是的“4重覆盖函数”； （3）若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. 【答案】（1），不是的“2重覆盖函数”，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，结合三角的恒等变换和三角函数的图象与性质求出的值域，结合新定义可得当时函数与直线在上只有1个交点，即可判断； （2）分别求出函数的值域，结合新定义证明函数与直线在上有4个交点即可； （3）分类讨论两种情况下的性质，结合的值域，根据新定义即可求解. 【小问1详解】 不是的“2重覆盖函数”，理由如下： 设，则， 令， 则， 由，得，所以，得. 函数的定义域为，且， 当时，函数与直线只有1个交点， 所以不是的“2重覆盖函数”. 【小问2详解】 设，定义域为，则， 又，所以，解得，即的值域为； 的定义域为，且， 当时，，令， 则且， 所以函数与直线有2个交点， 即函数与直线在上有2个交点； 同理当时，函数与直线在上亦有2个交点， 所以是的“4重覆盖函数”. 【小问3详解】 函数的定义域为，即， 由，得，所以的值域为； 函数的定义域为， 因为为的“2重覆盖函数”， 所以函数图象与有2个交点. 当时，，与有一个交点， 所以当时，函数与有且只有一个交点， 下面讨论当时，函数情况 若，与有且只有一个交点，满足题意； 若，函数开口向下，对称轴为， 此时， 此时函数与有2个交点，不满足题意； 若，函数开口向上，对称轴为， 当即时，函数对称轴，由于， 故函数与有且只有一个交点，所以； 当即时，此时， 要使函数与有且只有一个交点， 只需，解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度高一上学期期末联考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：“，则的否定是（ ） A B. C. D. 3. 德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知是幂函数，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 5. 设，，，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（ ） A. B. C. D. . 8. 已知函数（且）是值域为的单调递减函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. ， B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 11. 已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（ ） A. 图象关于直线对称 B. C. D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为________. 13. 已知，则________. 14. 已知函数，若实数，满足，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知为第二象限角，求的值； （2）化简：． 16. 已知：实数满足：实数满足. （1）若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：为奇函数. 18. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型，，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为. （1）求该学习率模型的表达式； （2）要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据） 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数”. （1）若，求的值域并判断是否为的“2重覆盖函数”，请说明理由； （2）求证：是的“4重覆盖函数”； （3）若为“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$