6.4.3.1余弦定理教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3第一课时余弦定理

一、教材分析

学习本章之前，已经研究过有关三角形、三角函数和解直角三角形、平面向量等知识，解三角形是在这些知识的基础上，对任意三角形的边长和角度关系作进一步的探索研究．实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，通过研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；通过研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力以及分析问题和解决问题的能力，同时让学生在学习中感受数学的对称美与和谐美；通过解决一些实际问题，培养学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣，让学生感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活．

二、教学目标与核心素养

考点	教学目标	核心素养
余弦定理	了解余弦定理的证明过程、掌握余弦定理在解三角形中的简单应用	数学抽象，直观想象、数学运算

三、教学重难点

【教学重点】

余弦定理的证明、余弦定理在解三角形中的简单应用

【教学难点】

余弦定理在解三角形中的应用

四、教学过程

引入：

利用手机上的AR测量，和测角仪，可以测出方便找出固定点的两点之间的距离和两条线之间的角度，从而可得到未知的距离和角。

 

 

 

 

 

 

 

例如，如图所示，B，C分别是假山的左右端点，在湖的对岸选择一点A，然后使用手机上的AR测量仪得出AC，AB,利用测角仪测出∠BAC的大小，你能根据这三个量求出BC吗？

设计意图：通过生活中的实际问题引入新课，既能吸引学生的注意，提高学生的兴趣，又能让学生体会数学源于生活，用于生活的道理，还能为本节课的开展做好铺垫。

探究一、情境中的问题可以转化为：已知b,c两边和角A，如何求a边？

方法1：（几何法）

当A为锐角时，在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A，作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA

当A为直角时：由勾股定理，又

成立

当A为钝角同理可证.

(此法是通过构造直角三角形来解决问题，主要用到初中的知识，在这里只引导学生思考一下，不做详细探究，留给学生课后探究）

方法2：（向量法）重点方法

 

 

 

如图所示，注意到：=b,=c ,

所以：==bc cosA，

而且-，

=

==-2

又=

类似地，可得（让学生分组探究推导）：

                          

设计意图：教师推导一个，然后引导学生分组探究推导另外两个，锻炼学生的合作探究能力，学生充分参入知识的生成过程，会理解记忆的更清晰。

探究二、你还能用别的方法来证明上述的式子吗？

方法3：（坐标法）

如图以A为原点，AC为x轴建立平面直角坐标系，

则

所以

 

 

同理可证，

设计意图：此法既能复习三角函数定义，又能发散学生思维，贯穿建系是解决很多数学问题的一个非常重要的方法。

这就是余弦定理：符号语言：

                         

文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍.(至课本，让学生朗读课本上的余弦定理）

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（启发引导学生得出结论）

总结：若中，C=，则，这时，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。