专题03江苏省2025年九年级 中考数学一轮复习——函数（一次函数、反比例函数）

一轮复习——函数 一次函数 知识点一：一次函数的图像与性质 1．正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． 2.一次函数的图象 3.一次函数的性质 4.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点． ③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 5.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点； ④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 一次函数 考点一：正比例函数与一次函数 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）正比例函数的图象上有两点，，则的值是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 2．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为 ． 考点二：一次函数图像与性质 【例1】 1．（2021·江苏苏州·中考真题）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24八年级上·江苏南通·期末）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】 1．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）一次函数与（，为常数，）在同一平面直角坐标系中的图像应该是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知点，、，在直线上，当时，，且，则在直角坐标系内，该直线大致是 (    ) A． B． C． D． 4．（2023成都高新区期末）函数y=ax﹣a与y（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【例3】 1．（2024·江苏苏州·一模）若一次函数的函数值随的增大而增大，则值可能是（    ） A．0 B．－1 C．－2 D．－3 【例4】 1．（2023·江苏无锡·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 考点二：一次函数与方程、不等式 1．（2024·江苏南通·二模）如图，一次函数的图象经过点和点．若，则满足条件的x的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 1 3 2．（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 1 2 3 2．（2024·江苏徐州·二模）若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是 ；关于x的不等式的解集是 ；当时，x的取值范围是 ． 考点三：一次函数的实际应用 1．（2023·江苏南京·中考真题）甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是 ． 2．（2022·江苏南通·中考真题）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示． (1)写出图中点B表示的实际意义； (2)分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．求a的值． 【变式训练】 1．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 2．（2023·江苏无锡·中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数表达式： (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 考点四：一次函数与反比例函数、几何综合问题 【例1】 1．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）． A． B． C． D． 1 2 2．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式训练】 1．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（    ） A．3 B． C． D． 2．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ． 3．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 反比例函数 知识点一：反比例函数的概念 1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 3．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 4．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 知识点二：反比例函数的图像与性质 1.图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2.性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 3．反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 【知识拓展】（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． （2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 知识点三：反比例函数中k的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 反比例函数 考点一：反比例函数概念 1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 考点二：反比例函数图像与性质 【例1】 1．（2024·江苏泰州·二模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】 1．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 2．（2024·江苏镇江·二模）已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则、、的大小关系是 ．（用“<”连接） 【例3】 1．（2023·江苏镇江·模拟预测）直线和双曲线相交于点和点，不等式的解集为 ． 考点三：反比例函数K的几何意义 【例1】 1．（2024·江苏南京·一模）如图，点A，B分别在反比例函数 的图像上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB 的面积是4，则k的值为 ．    2．（2024·江苏宿迁·二模）如图，点是反比例函数图像上一点，作轴，轴，垂足分别为、，交反比例函数的图像于、两点，的面积是，则的值是 ． 【变式训练】 1．（2024·江苏扬州·二模）如图，点A是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点B、C分别在x、y正半轴上，且轴，若的面积为2，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 考点四：反比例函数与几何综合 【例1】 1．（2024·江苏宿迁·三模）如图，在直角坐标系中，过函数上一点分别作横轴和纵轴的平行线交函数与点、．则的面积为 ． 2．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·一模）如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为 ． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【变式训练】 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一轮复习——函数 一次函数 知识点一：一次函数的图像与性质 1．正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． 2.一次函数的图象 3.一次函数的性质 4.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点． ③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 5.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点； ④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 知识点二：一次函数与方程不等式的关系 1．一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式． 从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标． 2．一次函数与一元一次不等式 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组 一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线． 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标． 知识点三：一次函数的实际应用 1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等． 2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答． 3．方案最值问题： 对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案． 4．方法技巧 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： （1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； （2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 5.一次函数图象与图形面积 解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法． 一次函数 考点一：正比例函数与一次函数 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）正比例函数的图象上有两点，，则的值是（    ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据当，y随x增大而减小，即可得出结论. 【详解】 解：∵正比例函数中， ∴随 的增大而减小， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的性质，根据题意求得k的范围，结合交点即可求得x，代入正比例函数即可求得对应y值，即可求得答案． 【详解】解：∵双曲线位于一、三象限，直线与双曲线交相交， ∴， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴和是方程的解，解得， 若，则，，则， ∴， 故答案为：． 考点二：一次函数图像与性质 【例1】 1．（2021·江苏苏州·中考真题）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一次函数的增减性加以判断即可． 【详解】解：在一次函数y=2x+1中， ∵k=2>0， ∴y随x的增大而增大． ∵2<， ∴． ∴m<n． 故选：C 2．（23-24八年级上·江苏南通·期末）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由一次函数中与的特点能确定函数图象经过第二、三、四象限，即可求解．本题考查一次函数的解析式与函数图象的关系，牢记一次函数解析式中与与函数图象的关系是解题的关键． 【详解】解：一次函数， ， 一次函数图象经过第二、四象限， ， 一次函数图象与轴的交点在轴下方， 一次函数图象经过第二、三、四象限， 一次函数图象不经过第一象限， 故选：A． 【例2】 1．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．，的图象在一、二、三象限；，的图象经过一、三、四象限；，的图象经过一、二、四象限；，的图象经过二、三、四象限．根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A 2．（22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）一次函数与（，为常数，）在同一平面直角坐标系中的图像应该是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象，根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由图可知，一次函数，，， ，与图像冲突，不符合题意； B、由图可知，一次函数，，， ，与图像冲突，不符合题意； C、由图可知，一次函数，，， ，与图像匹配，符合题意； D、由图可知，一次函数，，， ，与图像冲突，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知点，、，在直线上，当时，，且，则在直角坐标系内，该直线大致是 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据点，、，在直线上，当时，，且，可以得到、的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线经过哪几个象限．解答本题的关键是求出、的正负． 【详解】解：点，、，在直线上，当时，，且， ，， 直线经过第一、二、三象限， 故选：． 4．（2023成都高新区期末）函数y=ax﹣a与y（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】D． 【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断． 【详解】A．从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误； B．从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误； C．从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误； D．从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确． 故选D． 【例3】 1．（2024·江苏苏州·一模）若一次函数的函数值随的增大而增大，则值可能是（    ） A．0 B．－1 C．－2 D．－3 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及解一元一次不等式，根据题意得到，解不等式即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数的函数值随的增大而增大， ，解得， 综合四个选项中的数值，满足题意， 故选：A． 【例4】 1．（2023·江苏无锡·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件函数的图像向下平移2个单位长度，则的值减少2，代入方程中即可． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位长度， ∴， 故答案为：A． 考点二：一次函数与方程、不等式 1．（2024·江苏南通·二模）如图，一次函数的图象经过点和点．若，则满足条件的x的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：利用函数图象，写出在x轴下方对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象知当时，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 2．（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可． 【详解】解：一次函数， 随的增大而增大， 对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于， ， 解得． 故答案为：． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图象可得：当时，， ∴不等式的解集为， 故选：A． 2．（2024·江苏徐州·二模）若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．根据函数图象知：一次函数过点；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出、的关系式；然后将、的关系式代入中进行求解 【详解】解：一次函数经过点，函数值随的增大而减小， ； 令，则， ； 解关于的不等式，移项得：； 两边同时除以， ， ． 故选：C 3．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式的解集是 ；关于x的不等式的解集是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练运用了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 利用直线与x轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．利用直线与y轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集．结合两条直线的交点坐标为和图象来求得解集． 【详解】解：∵直线与x轴的交点是，且随着x的增大而减小， ∴当时，，即不等式的解集是； ∵直线与y轴的交点是，且随着x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集是； 由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是， 当函数的图象在的上面时，有；当时，， 所以当时，； 故答案为：；；． 考点三：一次函数的实际应用 1．（2023·江苏南京·中考真题）甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的速度，设甲车出发t min后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据t的取值范围，求出v的最小值即可． 【详解】解：由函数图象可知甲的速度为（km/min）， 追及的路程为（km）， 时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min）， 时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min）， 所以乙车的速度v的取值范围是． 故答案为：． 2．（2022·江苏南通·中考真题）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示． (1)写出图中点B表示的实际意义； (2)分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．求a的值． 【答案】(1)当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等 (2)， (3)80 【分析】（1）结合图象可知：B点表示的意义为：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知： B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等． （2）解：由图可知：过，， 设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：， ∴，解得：， ∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：； 当时，乙函数图象过，， 设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：， ∴； 当时，乙函数图象过，， 设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：， ∴； 综上所述：乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为； （3）解：甲的利润为：， 乙的利润为： ∴当时， 甲乙的利润和为：，解得（舍去）； 当时， 甲乙的利润和为：，解得； ∴当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元． 【变式训练】 1．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 (2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． （2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 2．（2023·江苏无锡·中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数表达式： (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 【答案】(1) (2)销售价格为元时，利润最大为 【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解； （2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，， 进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解． 【详解】（1）当时，设关于的函数表达式为，将点代入得， ∴ 解得： ∴， 当时，设关于的函数表达式为，将点代入得， 解得： ∴， （2）设利润为 当时， ∵在范围内，随着的增大而增大， 当时，取得最大值为； 当时， ∴当时，w取得最大值为 ， 当销售价格为元时，利润最大为． 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 考点四：一次函数与反比例函数、几何综合问题 【例1】 1．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则    ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ 解得： ∵点在上， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 即 又反比例函数在第一象限内的图象交于点 ∴, 故选：C． 2．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：        根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形， ， 直线与轴交于点， 当时，，即， 与双曲线分别相交于点， 联立，即，则，由，解得， ，即，解得， 故选：A． 【变式训练】 1．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵A（-，-2m）在反比例函数y=的图像上， ∴m=(-) • ( -2m)=2， ∴反比例函数的解析式为y=， ∴B（2，1），A（-，-4）， 把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n， ∴n=-3， ∴直线AB的解析式为y=2x-3， 直线AB与y轴的交点D（0，-3）， ∴OD=3， ∴S△AOB=S△BOD+S△AOD =×3×2+×3× =． 故选：D． ． 2．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据题意可设点P的坐标为，则，把代入一次函数解析式中求出m的值进而求出点P的坐标，再求出k的值即可． 【详解】解：∵轴于点轴于点， ∴点P的横纵坐标相同， ∴可设点P的坐标为， ∵为的中点， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：4． 3．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意画出图形如下， 设直线的解析式为：， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 联立两直线方程：， 解得：， ∴ ∵，， ∴，， 根据题意有：， 即， ， 解得：, 故答案为：． 反比例函数 知识点一：反比例函数的概念 1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 3．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 4．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 知识点二：反比例函数的图像与性质 1.图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2.性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 3．反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 【知识拓展】（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． （2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 知识点三：反比例函数中k的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 考点一：反比例函数概念 1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 考点二：反比例函数图像与性质 【例1】 1．（2024·江苏泰州·二模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围． 【详解】解：，且， ∴反比例函数的图像在第二、四象限， ， ， 故选：B． 【例2】 1．（2024·江苏扬州·三模）在中，有两点，则与的关系满足下列哪个选项（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．由，，从而可得答案． 【详解】解：在中，有两点， ∴，， ∴， 故选C 2．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·江苏镇江·二模）已知反比例函数图象上的三个点，，，其中，则、、的大小关系是 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特点．根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小， ， ，即， 故答案为：． 【例3】 1．（2023·江苏镇江·模拟预测）直线和双曲线相交于点和点，不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 先把代入直线求出的值，再代入双曲线求出的值即可，把一次函数求出的值，故可得出其坐标，利用函数图象可直接得出不等式的取值范围． 【详解】解：点是直线与双曲线的交点， ，解得， ， ∴一次函数和反比例函数解析式为， 点在直线上， ， 解得， ， 由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 故答案为：或． 考点三：反比例函数K的几何意义 【例1】 1．（2024·江苏南京·一模）如图，点A，B分别在反比例函数 的图像上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB 的面积是4，则k的值为 ．    【答案】6 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出，，得到，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D，连接，    ∵平行四边形的面积是4， ∴ ∵点A在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∵点B在的图象上， ∴ 故答案为：6 2．（2024·江苏宿迁·二模）如图，点是反比例函数图像上一点，作轴，轴，垂足分别为、，交反比例函数的图像于、两点，的面积是，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，设，可求，，根据的面积是，可得，结合，求出符合题意的k即可． 【详解】解：设， 则， ∵作轴，交反比例函数的图像于， ∴， ∴， ∵轴，交反比例函数的图像于点， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或， 由题意知， ∴， 故答案为：2． 【变式训练】 1．（2024·江苏扬州·二模）如图，点A是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点B、C分别在x、y正半轴上，且轴，若的面积为2，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵轴，的面积为2， ， 即：， ， ∵反比例函数在第一象限图象上， ∴． 故选：D． 考点四：反比例函数与几何综合 【例1】 1．（2024·江苏宿迁·三模）如图，在直角坐标系中，过函数上一点分别作横轴和纵轴的平行线交函数与点、．则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．延长交轴于点，延长交轴于点，连接，利用面积关系推出点是中点，点是的中点，利用代入数据计算即可． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点，连接， 点在函数图象上，点在函数， ，， 点是中点， 同理点是的中点， ， ． 故答案为：． 2．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则    ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ 解得： ∵点在上， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 即 又反比例函数在第一象限内的图象交于点 ∴, 故选：C． 3．（2024·江苏南通·一模）如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】作 轴于, 轴于, 则, 得到 ，利用反比例函数系数k的几何意义得到设A点坐标为 即可得到点坐标为利用,得到 ，于是可计算出 的值． 【详解】连接, 作轴于, 轴于,则 设点坐标为， ∵， ， ， ， ∴点坐标为 ， ， ， ， 即， ， 解得， 故答案为:． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线分线段成比例定理，反比例函数系数的几何意义，反比例图象上点的坐标特征, 由得到关于的方程是解题的关键． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 【变式训练】 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$