2025年浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第9讲 平面直角坐标系与函数初步

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第二单元　方程(组)与不等式(组) 《第9讲 平面直角坐标系与函数初步》 【知识梳理】 1.平面直角坐标系 (1)坐标平面内的点与　有序实数对　是一一对应的.x轴、y轴上的点不属于任何象限.  (2)各象限内点的坐标特征: ①点P(x，y)在第一象限⇔　x＞0，y＞0　.  ②点P(x，y)在第二象限⇔　x＜0，y＞0　.  ③点P(x，y)在第三象限⇔　x＜0，y＜0　.  ④点P(x，y)在第四象限⇔　x＞0，y＜0　.  (3)特殊点的坐标特征: ①点P(x，y)在x轴上⇔　x为任意实数，y＝0　.  ②点P(x，y)在y轴上⇔　x＝0，y为任意实数　.  ③点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为　0　，即点P的坐标为　(0，0)　.  ④点P(x，y)在第一、三象限坐标轴夹角的平分线上⇔　x＝y　.  ⑤点P(x，y)在第二、四象限　坐标轴夹角的平分线　上⇔x＋y＝0.  (4)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征: ①平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上的点:　纵坐标　相同，　横坐标　为不相等的实数.  ②平行于　y　轴(或垂直于　x　轴)的直线上的点:横坐标相同，纵坐标为不相等的实数.  (5)点与坐标轴的距离: ①点P(a，b)到x轴的距离等于　|b|　.  ②点P(a，b)到y轴的距离等于　|a|　.  (6)平面直角坐标系中的平移: ①点的平移:在平面直角坐标系中，将点P(x，y)向右或向左平移a(a＞0)个单位，可以得到的对应点的坐标为　(x＋a，y)　或　(x－a，y)　;将点P(x，y)向上或向下平移b(b＞0)个单位，可以得到的对应点的坐标为　(x，y＋b)　或　(x，y－b)　.  ②图形的平移:对于一个图形的平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化，反过来，从图形上的点的坐标的某种变化也可以看出对这个图形进行了怎样的平移. (7)平面直角坐标系中的对称点的坐标: 对称点的坐标的特征:点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为　(x，－y)　;关于y轴的对称点P2的坐标为　(－x，y)　;关于原点的对称点P3的坐标为　(－x，－y)　.  2.函数与图象 (1)常量与变量:在一个过程中，　固定不变　的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量.  (2)函数:一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的　函数　，x叫做　自变量　.  (3)函数的表示方法:①　解析　法;②　列表　法;③　图象　法.  (4)函数值:对于一个函数，如果当自变量x＝a时，函数y＝b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值. (5)函数的图象:一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 描点法画函数图象的一般步骤:①　列表　;②　描点　;③　连线　.  【考题探究】 类型一　坐标平面内的点的坐标特征 【例1】[2023·丽水]在平面直角坐标系中，点P(－1，m2＋1)位于(　B　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 变式1 [2024·滨州]若点P(1－2a，a)在第二象限，那么a的取值范围是(　A　) A.a＞ B.a＜ C.0＜a＜ D.0≤a＜ 【解析】 ∵点P(1－2a，a)在第二象限， ∴解得a＞. 类型二　确定点的坐标 【例2】[2023·台州]如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为(－2，2)，则“炮”所在位置的坐标为(　A　) 典例2图 A.(3，1) B.(1，3) C.(4，1) D.(3，2) 变式2－1 [2024·广西]如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为(2，1)，则点Q的坐标为(　C　) 　变式2－1图 A.(3，0) B.(0，2) C.(3，2) D.(1，2) 变式2－2 [2024·甘孜州]如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现.按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为(1，90°)，(2，240°)，则点C的位置可以表示为　(3，30°)　.  　变式2－2图 类型三　平面直角坐标系中的平移、旋转与对称 【例3】在平面直角坐标系xOy中，点M(－4，2)关于x轴的对称点的坐标为　(－4，－2)　，关于y轴的对称点的坐标为　(4，2)　，关于原点对称点的坐标为　(4，－2)　.  变式3－1 [2023·杭州]在直角坐标系中，把点A(m，2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝(　C　) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 ∵把点A(m，2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B， ∴点B(m＋1，2＋3). 又∵点B的横坐标和纵坐标相等， ∴m＋1＝5，∴m＝4. 变式3－2 [2023·东营]如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到菱形OA'B'C'，则点B'的坐标是(　B　) 变式3－2图 A.(3，3) B.(3，3) C.(3，6) D.(6，3) 类型四　函数的概念与自变量的取值范围 【例4】下列图象中，能表示y是关于x的函数的是(　A　) A　　 　　B　　　 　C　 　 　D 变式4 [2024·齐齐哈尔]在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x＞－3且x≠－2　.  类型五　行程问题、物理问题中函数的图象 【例5】[2023·温州]【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等. 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟.小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟;小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图2所示，在2 100米处，他到出口还要走10分钟. 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为(　B　) 图1 图2 典例5图 A.4 200米 B.4 800米 C.5 200米 D.5 400米 【解析】 由图象易得，游玩行走的速度为＝60(米/分). 设①④⑥各路段的路程都为a米，⑤⑦⑧各路段的路程都为b米，②③各路段的路程都为c米， 则小州游玩的路线各路段路程之和为a＋c＋b＝2 100＋60×10＝2 700(米). 而小温游玩的路线各路段路程之和为3(a＋b)＝(205－5×20)×60＝6 300(米). 易得a＋b＝2 100，∴c＝600， 则所求路线各路段路程之和为2(a＋b)＋c＝4 800米. 变式5－1 吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400 m，600 m.他从家出发匀速步行8 min到公园后，停留4 min，然后匀速步行6 min到学校.设吴老师到公园的距离为y(m)，所用时间为x(min)，则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是(　C　) A B C 　　　D 【解析】 吴老师从家出发匀速步行8 min到公园，则y的值由400变为0， 吴老师在公园停留4 min，则y的值仍然为0， 吴老师从公园匀速步行6 min到学校，则在18分钟时，y的值为600. 变式5－2 [2024·金华模拟改编]小明与小华相约到公园去爬山，上午7:00，小明乘坐汽车从家出发，同时小华乘坐公交车从学校出发，沿公路(如图)前往公园.上午8:00，小明追上小华并继续前行，途径超市时，小明下车购买水和食品，然后乘车按原速前行，最后和小华同时到达公园.设小明与小华离超市的路程为s(km)，所用时间为t(h)，则下列图象能正确反映上述过程的是(　C　) 变式5－2图 变式5－3 [2023·嘉兴、舟山]如图所示为底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度(y)与注水时间(x)关系的是(　D　) 变式5－3图 A B C D 类型六　几何问题中函数的图象 【例6】[2024·瑞安模拟]如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P为线段AB上的动点，并以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，到达点B时停止.过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间x(s)的函数关系如图2所示，则函数图象最低点E的坐标为(　B　) 图1　　　 图2 典例6图 A.(2，3) B.(2，2) C. D. 【解析】 如答图，连结CP. 典例6答图 ∵∠C＝90°，PM⊥AC，PN⊥BC， ∴四边形PMCN为矩形， ∴CP＝MN. 当CP⊥AB时，CP最短，即MN最短. 当点P位于点A处时，x＝0，y＝4，即AC＝4， 当点P位于点B处时，x＝8，即AB＝8， ∴cos∠CAP＝，∴∠CAP＝60°， ∴AP＝AC＝2， ∴CP＝＝2， ∴点E(2，2). 变式6 [2024·临夏州]如图1，在矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从点D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q.设点P的运动路程为x，PQ－DQ为y，若y与x的函数图象如图2，则AD的长为(　B　) 图1　　　 图2 变式6图 A. B. C. D. 【解析】 由图象，得CD＝2. 当BD＋BP＝4时，PQ＝CD＝2. 设AD－CD＝a，则BD＝4－a. 在Rt△BCD中，BD2－BC2＝CD2， 即(4－a)2－(a＋2)2＝22， 解得a＝， ∴AD＝a＋2＝. 类型七　探究问题中函数的图象 【例7】[2024·北京]小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来.新水杯(记为2号杯)示意图如图. 当1号杯和2号杯中都有V(mL)水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1(cm)和2号杯的水面高度h2(cm)，部分数据如下: V(mL) 0 40 100 200 300 400 500 h1(cm) 0 1.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 h2(cm) 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格(结果保留小数点后一位). (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象. (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题: ①当1号杯和2号杯中都有320 mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为　1.2　cm(结果保留小数点后一位).  ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为　8.6　cm(结果保留小数点后一位).  图1　 图2 典例7图 解:(1)设h1＝kV，将(100，2.5)代入，得2.5＝100k，解得k＝， ∴h1＝V. ∵V＝40，∴h1＝1.0. (2)如答图所示. 典例7答图 (3)①当V＝320 mL时，h1＝8.0 cm，由图象可知相差约为1.2 cm. ②作与x轴平行的直线y＝a，取它被两个函数图象所截的线段AB，当线段AB被直线x＝320垂直平分时，a≈8.6，故当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为8.6 cm. 【课后作业】 1.[2024·成都]在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是(　B　) A.(－1，－4) B.(－1，4) C.(1，4) D.(1，－4) 2.[2023·绍兴]在平面直角坐标系中，将点(m，n)先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是(　D　) A.(m－2，n－1) B.(m－2，n＋1) C.(m＋2，n－1) D.(m＋2，n＋1) 3.[2024·广元]如果单项式－x2my3与单项式2x4y2－n的和仍是一个单项式，那么在平面直角坐标系中，点(m，n)在(　D　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 ∵单项式－x2my3与单项式2x4y2－n的和仍是一个单项式， ∴2m＝4，2－n＝3， 解得m＝2，n＝－1， ∴点(2，－1)所在的象限为第四象限. 4.小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟.下列图象中，能近似刻画s与t之间关系的是(　A　) 第4题图 A B C D 5.[2024·广安]向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满，在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y(单位:帕)，时间为x(单位:秒)，则y关于x的函数图象大致为(　B　) 第5题图 A B C D 6.[2024·湖北]在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A'的坐标为(　B　) 第6题图 A.(4，6) B.(6，4) C.(－4，－6) D.(－6，－4) 7.龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场.如图的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程(x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y1，y2分别表示兔子和乌龟所走的路程).下列说法错误的是(　C　) 第7题图 A.兔子和乌龟比赛的路程是500米 B.中途，兔子比乌龟多休息了35分钟 C.兔子比乌龟多走了50米 D.比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点 8.在平面直角坐标系中，已知点A(m，2)与点B(3，n).若点A和点B关于x轴对称，则m＝　3　，n＝　－2　;若点A和点B关于y轴对称，则m＝　－3　，n＝　2　;若点A和点B关于原点对称，则m＝　－3　，n　－2　.  9.三个能够重合的正六边形的位置如图所示.已知点B的坐标为(－，3)，则点A的坐标为 　.  第9题图 【解析】 易知点A和点B关于原点对称. 又∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为. 10.[2023·自贡]如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示.下列结论正确的是　①②③　(填序号).  ①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟. ②小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米. ③报亭到小亮家的距离是400米. ④小亮打羽毛球的时间是37分钟. 第10题图 【解析】 由图象得，小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，①正确. 小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为(1.0－0.4)÷(45－37)＝0.075(千米/分)＝75(米/分)，②正确. 由图象得，报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，③正确. 小亮打羽毛球的时间是37－7＝30(分)，④错误. 综上所述，正确的结论是①②③. 11.[2024·包头改编]如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(1，2)，B(3，3)，C(5，0)，求四边形OABC的面积. 第11题图 解:如答图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F. 第9题答图 ∵点O(0，0)，A(1，2)，B(3，3)，C(5，0)， ∴OE＝1，AE＝2，BF＝3，CF＝2，EF＝2， ∴四边形OABC的面积＝S△AOE＋S△BCF＋S梯形ABFE ＝×1×2＋×3×2＋＝9. 12.德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察发现，从出生之日起，人的情绪呈周期性变化，在前30天内，情绪的部分数据及函数图象如表: 天数t … 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 … 波动值s … 0.3 0 0.3 1 2.2 3.8 5.7 7.8 10 12.3 14.3 … 第12题图 (1)数学活动: ①根据表中数据，通过描点，连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象. ②观察函数图象，当t＝14时，s的值为多少?当s的值最大时，t的值为多少? (2)数学思考:请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论. (3)数学应用:根据研究，当s＞10时处于情绪高潮期，心情愉快;当s＜10时为情绪低潮期，心情烦躁;当s＝10时为临界日，心情平稳.若小海从出生到今天的天数为5 501天，则今天他心情如何? 解:(1)①补全该函数的图象如答图. 第12题答图 ②根据图象以及周期性易知当t＝14时，s＝10; 当s的值最大时，t＝7. (2)当0≤t≤7时，s随t的增大而增大;当7＜t≤21时，s随t的增大而减小;当s的值最大时，t＝7;当s的值最小时，t＝21;变化周期是28(答案不唯一，合理即可). (3)∵周期为28天，5 501÷28＝196……13， ∴小海当天的情绪与第13天时一致. 又∵当t＝13时，s＞10， ∴小海属于情绪高潮期，心情愉快. 13.[2024·安徽]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高线，点E，F分别在边AB，BC上(不与端点重合)，且DE⊥DF.设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为(　A　) 第13题图 A B C D 【解析】 如答图，过点D作DH⊥AB于点H. 第13题答图 ∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2， ∴AC＝＝2. 又∵BD是边AC上的高线， ∴BD＝， ∴CD＝，AD＝AC－CD＝， ∴DH＝， ∴S△ADE＝AE·DH＝x×x， S△BDE＝BE·DH＝(4－x)×x. ∵∠BDE＝90°－∠BDF＝∠CDF，∠DBE＝90°－∠CBD＝∠C， ∴△BDE∽△CDF， ∴， ∴S△CDF＝S△BDE＝×x， ∴y＝S△ABC－S△ADE－S△CDF ＝×2×4－x－ ＝－x＋. ∵－＜0，∴y随x的增大而减小，且y与x的函数图象为线段(不含端点)， 观察各选项图象可知，A符合题意. 学科网（北京）股份有限公司 $$