2025年浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第8讲 一元一次不等式(组)及其应用

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第二单元　方程(组)与不等式(组) 《第8讲 一元一次不等式(组)及其应用》 【知识梳理】 1.不等式的概念 用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)，“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式.这些用来连接的符号统称不等号. 2.不等式的基本性质 (1)不等式的基本性质1:a＜b，b＜c⇒　a＜c　.  (2)不等式的基本性质2:不等式的两边都　加上(或减去)　同一个数，所得到的不等式仍成立.  (3)不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或都除以)同一个　正数　，所得的不等式仍成立;不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须　改变不等号的方向　，所得的不等式成立.  3.一元一次不等式 (1)一元一次不等式:不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是　一　次，这样的不等式叫做一元一次不等式，其一般形式为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0).  (2)不等式的解集:能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称为不等式的解. (3)解一元一次不等式的一般步骤:①去分母;②去括号;③　移项　;④　合并同类项　;⑤系数化为1.  4.一元一次不等式组 (1)一元一次不等式组:由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组. (2)不等式组的解:组成不等式组的各个不等式的解的　公共部分　就是不等式组的解.  (3)不等式组的解可分为下表的四种情形(假设a＜b): 一元一次不等式组 解 图示 记忆口诀 x＞b 同大取大 　x＜a　  同小取小 　a＜x＜b　  大小小大 中间找 　无解　  小小大大 找不到 5.一元一次不等式(组)的应用 列不等式(组)解应用题的一般步骤: (1)找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式(组). (2)解不等式(组). (3)从不等式(组)的解中找出符合题意的答案. 【考题探究】 类型一　不等式的有关概念和基本性质 【例1】已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则(　A　) A.a＋c＞b＋d B.a＋b＞c＋d C.a＋c＞b－d D.a＋b＞c－d 变式1－1 [2023·台州]不等式x＋1≥2的解在数轴上表示为(　B　) A B C D 变式1－2 [2024·烟台]实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(　B　) 变式1－2图 A.b＋c＞3 B.a－c＜0 C.|a|＞|c| D.－2a＜－2b 【解析】 由数轴，得－3＜a＜－2＜b＜－1＜3＜c＜4，|c|＞|a|＞|b|，故C不正确，b＋c＜3，故A不正确，a－c＜0，故B正确，－2a＞－2b，故D不正确. 类型二　一元一次不等式的解法 【例2】解不等式9x－2≤7x＋3，并把解表示在数轴上. 典例2图 解:移项，得9x－7x≤3＋2. 合并同类项，得2x≤5. 两边同除以2，得x≤. 解在数轴上表示如答图. 典例2答图 变式2－1 [2023·绍兴]解不等式:3x－2＞x＋4. 解:移项，得3x－x＞4＋2，即2x＞6，∴x＞3. 变式2－2 [2024·连云港]解不等式＜x＋1，并把解在数轴上表示出来. 变式2－2图 解:＜x＋1， 去分母，得x－1＜2(x＋1). 去括号，得x－1＜2x＋2. 移项，得x－2x＜2＋1. 合并同类项，得－x＜3. 两边同除以－1，得x＞－3. 不等式的解在数轴上表示如答图. 变式2－2答图 类型三　解一元一次不等式组 【例3】[2024·浙江]不等式组的解在数轴上表示为(　A　) A B C D 【解析】 解不等式①，得x≥1. 解不等式②，得x＜4， ∴原不等式组的解为1≤x＜4， 故选A. 变式3－1 解不等式组时，不等式①和不等式②的解在数轴上表示正确的是(　C　) A B C D 变式3－2 [2024·天津]解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答. (1)解不等式①，得　x≤1　.  (2)解不等式②，得　x≥－3　.  (3)把不等式①和②的解在数轴上表示出来. (4)原不等式组的解为　－3≤x≤1　.  变式3－2图 解:(3)不等式①和②的解在数轴上表示如答图. 变式3－2答图 类型四　与一元一次不等式(组)的解有关的问题 【例4】[2024·南充]若关于x的不等式组的解为x＜3，则m的取值范围是(　B　) A.m＞2 B.m≥2 C.m＜2 D.m≤2 变式4－1 [2025·预测]若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是　m≤2　.  【解析】 解不等式－1，得x＞8. ∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2. 变式4－2 [2024·黑龙江]若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　－≤a＜0　.  【解析】 解不等式4－2x≥0，得x≤2. 解不等式x－a＞0，得x＞2a. 又∵不等式组恰有3个整数解， ∴这3个整数解为x＝2，1，0， ∴－1≤2a＜0， 解得－≤a＜0. 类型五　一元一次不等式(组)的应用 【例5】[2024·湖南]某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元. (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价. (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵，总费用不超过38 000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵? 解:(1)设脐橙树苗的单价为x元/棵，黄金贡柚树苗的单价为y元/棵， 由题意，得解得 答:脐橙树苗的单价为50元/棵，黄金贡柚树苗的单价为30元/棵. (2)设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗(1 000－m)棵， 由题意，得50m＋30(1 000－m)≤38 000，解得m≤400. 答:最多可以购买脐橙树苗400棵. 变式5－1 [2023·聊城改编]某热门景点的门票价格规定如下表: 票的种类 A B C 购票人数 1~50 51~100 100以上 票价(元) 50 45 40 一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为　46　人时，购买B种门票比购买A种门票节省.  【解析】 设游客人数为m人. 由题意，得50m＞45×51， 解得m＞45.9. 又∵m为正整数， ∴m的最小值为46， 即当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省. 变式5－2 [2024·成都]推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17 500元从农户处购进A，B两种水果共1 500千克进行销售，其中A种水果收购单价10元/千克，B种水果收购单价15元/千克. (1)求A，B两种水果各购进多少千克. (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价. 解:(1)设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克， 由题意，得 解得 答:A种水果购进1 000千克，B种水果购进500千克. (2)设A种水果的销售单价为m元/千克， 由题意，得1 000×(1－4%)m－10×1 000≥10×1 000×20%， 解得m≥12.5， ∴m的最小值为12.5. 答:A种水果的最低销售单价为12.5元/千克. 【课后作业】 1.[2024·上海]如果x＞y，那么下列关系正确的是(　C　) A.x＋5≤y＋5 B.x－5＜y－5 C.5x＞5y D.－5x＞－5y 2.[2024·河北]能使不等式5x－1＜6成立的x的值可以为(　A　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.不等式x＋1≥2的解在数轴上表示为(　A　) A B C D 4.不等式组的解在数轴上表示正确的是(　C　) A B 　 C 　D 5.[2024·西湖区模拟]某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.据此情境，列出的不等式组为(　A　) A. B. C. D. 6.[2024·包头]若2m－1，m，4－m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是(　B　) A.m＜2 B.m＜1 C.1＜m＜2 D.1＜m＜ 【解析】 由题意，得解得m＜1. 7.如果不等式组的解为x＞2，那么m的取值范围是(　A　) A.m≤2 B.m≥2 C.m＞2 D.m＜2 8.[2024·枣庄]写出满足不等式组的一个整数解　－1(答案不唯一)　.  【解析】 ∵ 由①，得x≥－1. 由②，得x＜3， ∴不等式组的解为－1≤x＜3， ∴不等式组的一个整数解可以为－1. 9.某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价　32　元.  【解析】 设该护眼灯可降价x元， 由题意，得×100%≥20%， 解得x≤32，即该护眼灯最多可降价32元. 10.已知点A(2m－5，6－2m)在第四象限，则m的取值范围是　m＞3　.  【解析】 ∵点A(2m－5，6－2m)在第四象限， ∴ 解得m＞3. 11.在Rt△ABC中，两边长a，b分别为3，4，第三边长为c，且c不大于a，b，c的平均值，则c＝ 　.  【解析】 由题意，得c≤， 解得c≤. ∵3＜＜4，∴Rt△ABC的斜边长为4， ∴c＝. 12.解下列不等式(组): (1)[2023·陕西]＞2x. 解:去分母，得3x－5＞4x. 移项，得3x－4x＞5. 合并同类项，得－x＞5. 两边都除以－1，得x＜－5. (2)[2024·成都] 解:解不等式①，得x≥－2. 解不等式②，得x＜9， ∴不等式组的解是－2≤x＜9. (3)[2024·北京] 解:解不等式①，得x＜7. 解不等式②，得x＞－1， ∴不等式组的解为－1＜x＜7. 13.[2024·武汉]求不等式组的整数解. 解:由①，得x＞－2. 由②，得x≤1， 故此不等式组的解为－2＜x≤1， 故它的整数解为－1，0，1. 14.[2024·嘉兴模拟]已知关于x的不等式组: (1)当a＝1时，求该不等式组的解. (2)若该不等式组有且只有三个整数解，求a的最大值. 解:(1)将a＝1代入不等式组，得 解不等式①，得x＜1. 解不等式②，得x＞－1， ∴不等式组的解为－1＜x＜1. (2)解不等式组，得－1＜x＜a. ∵该不等式组有且只有三个整数解，即0，1，2， ∴2＜a≤3， 则a的最大值为3. 15.[2024·江西]如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm. (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本. (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆放多少本? 第15题图 解:(1)设书架上数学书有x本，则语文书有(90－x)本， 由题意，得0.8x＋1.2(90－x)＝84， 解得x＝60， ∴90－x＝30. 答:书架上数学书有60本，语文书有30本. (2)设数学书还可以摆放m本， 则10×1.2＋0.8m≤84，解得m≤90. 答:数学书最多还可以摆放90本. 16.[2024·包头]如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(cm)随着碗的数量x(个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据: x(个) 1 2 3 4 y(cm) 6 8.4 10.8 13.2 (1)依据小亮测量的数据，写出y关于x的函数表达式，并说明理由. (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm，求此时碗的数量最多为多少个. 第16题图 解:(1)由表中的数据得，x的增加量不变， ∴y是x的一次函数. 设y＝kx＋b， 由题意，得解得 ∴y关于x的函数表达式为y＝2.4x＋3.6，代入其他数据验证，均符合. (2)设碗的数量有x个， 则2.4x＋3.6≤28.8，解得x≤10.5， ∴x的最大整数解为10. 答:碗的数量最多为10个. 学科网（北京）股份有限公司 $$