2025年浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第7讲 分式方程

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第二单元　方程(组)与不等式(组) 《第7讲 分式方程》 【知识梳理】 1.分式方程的有关概念 (1)分式方程:只含分式，或分式和整式，并且分母里含有　未知数　的方程叫做分式方程.  (2)增根:使分式方程的分母为　零　的根叫做增根.  2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程，即分式方程整式方程. (2)解法:方程两边同乘各分式的　最简公分母　，约去分母，化为整式方程，再求根验根.  3.分式方程的应用 (1)用分式方程解决实际问题，和用整式方程解决实际问题一样，先要弄清题意，再设未知数、列方程并解答. (2)要特别注意解完分式方程后需　验根　.  【考题探究】 类型一　分式方程的解法 【例1】[2024·浙江]若＝1，则x＝　3　.   变式1 解方程:(1). 解:去分母，得x(2x－1)＝(x＋1)(2x－2)， 去括号，得2x2－x＝2x2－2. 移项、合并同类项，得－x＝－2. 两边同除以－1，得x＝2. 经检验，x＝2是原分式方程的解. (2)＝1. 解:去分母，得(x＋1)2－4＝x2－1， 解得x＝1. 经检验，x＝1是增根， ∴原分式方程无解. (3)[2024·福建]＋1＝. 解:去分母，得3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2). 去括号，得3x－6＋x2－4＝x2＋2x. 移项、合并同类项，得x＝10. 经检验，x＝10是原分式方程的解. 类型二　分式方程的无解、增根、特殊解问题 【例2】若关于x的分式方程＝2m有增根，则m的值为　1　.  【解析】 去分母，得x－2m＝2m(x－2).① ∵原方程有增根，∴x－2＝0，即x＝2. 把x＝2代入①，得2－2m＝0，解得 m＝1. 变式2－1 [2024·黑龙江]已知关于x的分式方程－2＝无解，则k的值为(　A　) A.2或－1 B.－2 C.2或1 D.－1 【解析】 去分母，得kx－2(x－3)＝－3. 去括号，得kx－2x＋6＝－3. 移项、合并同类项，得(k－2)x＝－9. ∵关于x的分式方程无解， ∴x＝3，或k－2＝0， 解得k＝－1或k＝2. 变式2－2 [2024·齐齐哈尔]如果关于x的分式方程＝0的解是负数，那么实数m的取值范围是(　A　) A.m＜1且m≠0 B.m＜1 C.m＞1 D.m＜1且m≠－1 【解析】 ＝0， 去分母，得x＋1－mx＝0. 移项，得x－mx＝－1. 合并同类项，得(1－m)x＝－1， 解得x＝. ∵关于x的分式方程＝0的解是负数， ∴m－1＜0且≠－1， 解得m＜1且m≠0. 类型三　分式方程的应用 【例3】[2024·绥化]一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的流速为(　D　) A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h 【解析】 设江水的流速为x(km/h)，则沿江顺流航行的速度为(40＋x)km/h，沿江逆流航行的速度为(40－x)km/h， 由题意，得， 解得x＝8， ∴江水的流速为8 km/h. 变式3－1 某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5 000元，购买篮球用了4 000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程－30，则方程中x表示(　D　) A.足球的单价 B.篮球的单价 C.足球的数量 D.篮球的数量 变式3－2 照相机成像应用了一个重要原理，用公式(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u＝(　C　) A. B. C. D. 【解析】 (v≠f)，，u＝. 变式3－3 [2024·扬州]为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾? 解:设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理(x＋40)吨垃圾， 由题意，得，解得x＝60. 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意. 答:B型机器每天处理60吨垃圾. 【例4】[2023·嘉兴、舟山]小丁和小迪分别解方程＝1，过程如下: 小丁: 解:去分母，得x－(x－3)＝x－2. 去括号，得x－x＋3＝x－2. 合并同类项，得3＝x－2. 解得，x＝5， ∴原方程的解是x＝5. 小迪: 解:去分母，得x＋(x－3)＝1. 去括号，得x＋x－3＝1. 合并同类项，得2x－3＝1. 解得，x＝2. 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解. 你认为小丁和小迪的解法是否正确?若正确，请在框内打“√”;若错误，请在框内打“×”，并写出正确的解答过程. 解:小丁:×;小迪:×. 正确解答过程如下: 去分母，得x＋x－3＝x－2. 移项、合并同类项，得x＝1. 经检验，x＝1是原分式方程的解. 【课后作业】 1.[2023·株洲]将关于x的分式方程去分母可得(　A　) A.3x－3＝2x B.3x－1＝2x C.3x－1＝x D.3x－3＝x 2.小明解分式方程－1的过程如下: 解:去分母，得3＝2x－(3x＋3).① 去括号，得3＝2x－3x＋3.② 移项，合并同类项，得－x＝6.③ 系数化为1，得x＝－6.④ 以上步骤中，开始出错的一步是(　B　) A.① B.② C.③ D.④ 3.[2024·泸州]分式方程－3＝的解是(　D　) A.x＝－ B.x＝－1 C.x＝ D.x＝3 4.若x＝－1是方程＝0的解，则a的值为(　A　) A.6 B.－6 C.3 D.－3 5.[2024·达州]甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个.设乙每小时加工x个零件，所列方程为(　D　) A.＝30 B.＝30 C. D. 6.[2024·新疆]某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5 min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x(km/h)，根据题意可列方程(　D　) A.＝5 B.＝5 C. D. 【解析】 设甲车的速度为x(km/h)，则乙车的速度为1.2x(km/h)， 由题意，得，即. 7.如果关于x的方程＝1的解为正数，那么m的取值范围是(　D　) A.m＞－1 B.m＞－1且m≠0 C.m＜－1 D.m＜－1且m≠－2 【解析】 去分母，得2x＋m＝x－1， 解得x＝－1－m. 又∵方程的解为正数，且x≠1， ∴解得 ∴m的取值范围是m＜－1且m≠－2. 8.[2024·北京]方程＝0的解为　x＝－1　.  【解析】 ＝0， 去分母，得x＋(2x＋3)＝0， 则3x＋3＝0， 解得x＝－1. 经检验，x＝－1是原方程的解. 9.[2023·河北]根据表中的数据，写出a的值为 　，b的值为　－2　.  x 结果 代数式 2 n 3x＋1 7 b a 1 【解析】 a＝. 由题意，得＝1， 解得n＝－1. 经检验，n＝－1是分式方程的解， ∴b＝3×(－1)＋1＝－2. 10.定义一种新运算:对于任意的非零实数a，b，ab＝.若(x＋1) x＝，则x的值为　－　.  【解析】 由题意，得， 去分母，得x＋x＋1＝(2x＋1)(x＋1)， 解得x1＝0，x2＝－. 经检验，x＝0是原分式方程的增根， x＝－是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝－. 11.[2023·巴中]关于x的分式方程＝3有增根，则m＝　－1　.  【解析】 方程两边同乘(x－2)，得x＋m－1＝3(x－2). 由题意得，x＝2是该整式方程的解， ∴2＋m－1＝0，解得m＝－1. 12.[2024·达州]若关于x的方程＝1无解，则k的值为　2或－1　.  【解析】 去分母，得3－(kx－1)＝x－2， 解得x＝. ①当x＝2时，原分式方程分母为0，方程无解， 即＝2，∴k＝2时方程无解; ②当k＋1＝0，即k＝－1时，方程无解. 综上所述，k的值为2或－1. 13.解下列分式方程: (1)[2024·温州模拟]. 解:去分母，得5x＋15＝6x－3， 解得x＝18. 经检验，x＝18是分式方程的解. (2)[2024·陕西]＝1. 解:去分母，得2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x－1)， 解得x＝－3. 经检验，x＝－3是分式方程的解. 14.[2023·扬州]甲、乙两名学生到离校2.4 km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30 min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度. 解:设甲同学步行的速度为x(km/h)，则乙同学骑自行车的速度为4x(km/h). 由题意，得， 解得x＝3.6. 经检验，x＝3.6是所列方程的解，且符合题意， ∴4x＝4×3.6＝14.4. 答:乙同学骑自行车的速度为14.4 km/h. 15.[2024·威海]某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16 000千瓦·时.后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9 600千瓦·时.若一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时，求一盏A型节能灯每年的用电量. 解:设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x－32)千瓦·时， 根据题意，得，解得x＝96. 经检验，x＝96是所列方程的解，且符合题意， ∴2x－32＝2×96－32＝160. 答:一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时. 16.[2024·重庆A卷]为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代. (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条? (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备? 解:(1)设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线， 由题意，得解得 答:该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线. (2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入(m＋5)万元， 由题意，得，解得m＝45. 经检验，m＝45是所列方程的解，且符合题意， ∴10(m＋5)＋20m－70＝10×(45＋5)＋20×45－70＝1 330. 答:还需投入1 330万元资金更新生产线的设备. 学科网（北京）股份有限公司 $$