精品解析：内蒙古乌兰浩特第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

乌兰浩特一中 勤奋乐学·敏思果行 乌兰浩特一中2024~2025学年高二年级上学期期末考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚， 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐个选项进行验证即可判断. 【详解】时，，时，，时，，故ACD错误； 令，解得，故不是数列中的项. 故选：C 2. 已知直线l：的倾斜角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线倾斜角求出斜率，然后根据一般式方程的斜率形式列方程求解即可. 【详解】因为直线l的倾斜角为，所以斜率， 所以，解得. 故选：C 3. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由向量，，且， 得，则，则. 故选：C 4. 已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据圆的一般方程得出圆心和半径，再判断圆与圆的位置关系得出两圆内切即可得出切线个数. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 所以，圆内切，所以与圆都相切的直线只有1条． 故选：A． 5. 如图，在直三棱柱中，为侧棱的中点；，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据勾股定理的逆定理可得，由线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，即可利用空间向量法求解线线角. 【详解】不妨设， 故，所以，即， 在直三棱柱中，平面平面， 所以. 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，所以， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 6. 已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上一点，且（为坐标原点），以为圆心，为半径的圆与轴相交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件作出图形，利用点在曲线上及垂径定理，结合锐角三角函数及构造齐次式方程法解决椭圆的离心率即可. 【详解】由题可知，，过作轴，垂足为，如图所示 因为点是椭圆上一点，且，设，则 所以，即，解得， 不妨设点在第一象限，所以，即圆的半径， 因为圆心在弦的垂直平分线上， 所以为的中点，即, 所以, 又因为， 所以， 在中，，， 所以,即， 所以，即0，即，解得或. 因为，所以. 故椭圆的离心率为， 故选：A. 7. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 8. 已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点在上，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 11 C. 16 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】确定抛物线方程，设直线PM的方程为，联立抛物线方程，结合焦半径公式得到，即可求解； 【详解】因为点是抛物线上的一点，所以，解得，所以． 显然直线PM的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，由得得， 所以，解得，所以， 又由垂直关系可得：直线的方程为 同理可得， 所以， 所以的最小值是11，此时，解得． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为的等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，根据等比数列的定义求解即可；对B，由A可得，进而可得；对C，根据等比数列的求和公式求解即可；对D，根据等比数列的定义判断即可. 【详解】对A，由题知，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故数列是首项为，公比为4的等比数列，故D错误． 故选：AB． 10. 已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得：渐近线方程为，分析，，进而可得，再结合渐近线的结合性质可得，即可得离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 则的右焦点到的距离，即， 因为，则， 又因为，则，可得， 又因为与直线无公共点，则， 所以的离心率． 故选：BC． 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，存在点，使得平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量的关系，即可判断A；利用向量法求点到平面的距离，即可判断B；利用向量数量积，即可判断C；要证明线面垂直，转化为证明线线垂直，即可判断D. 【详解】以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， 则，令，解得，， 所以平面的一个法向量， 又，， 因为， 故.设平面的一个法向量为， 则，令，解得，， 所以平面的一个法向量，又，所以， 所以平面平面，故A正确； 当时，点，设平面的一个法向量，，， 则， 令，解得，，所以平面的一个法向量为， 且，所以点到平面的胜离为， 又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 当时，此时，所以，， 所以， 所以不存在点，使得，故C错误； 当，此时，所以，，， 因为，要使平面， 则，解得，符合题意， 故存在点，使得平面，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查利用坐标法，解立体几何中的位置关系，本题的关键是点坐标的设法问题，利用坐标法解决位置关系问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的焦距为2，则______． 【答案】5或7. 【解析】 【分析】讨论焦点在轴上或在轴上，分别计算即可得到结果. 【详解】当椭圆焦点在轴时，， 由焦距为得，，故，解得. 当椭圆焦点在轴时，， 由焦距为得，，故，解得. 故答案为：5或7. 13. 已知等差数列满足，，则前7项之和为______． 【答案】104 【解析】 【分析】根据条件，求出等差数列通项公式，写出，利用等差数列求和公式求前5项与后2项的和，相加即可. 【详解】因为为等差数列，设公差为d，，所以. 所以，所以前7项之和为. 故答案为：104. 14. 已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得点的轨迹方程，从而可得圆与圆相交，列出不等式，可得的范围，再由两点间距离公式代入计算，即可得到范围. 【详解】由题意可设， 则圆的方程为， 若圆上存在点，使得，设， 则，化简可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 所以，即，解得， 又， 所以，即线段长度的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的方程：． （1）当为何值时，方程表示圆； （2）若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可； （2）利用弦长公式计算参数即可. 【小问1详解】 由圆的一般方程性质可知： 解得， 所以当时，方程表示圆. 【小问2详解】 由，得， 所以该圆圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 根据弦长公式可知： 解得. 16. 已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． （1）求和的值； （2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 【答案】（1）p的值为2，t的值为4． （2）． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义结合点在抛物线上即可求解； （2）法一：设B点的坐标为，通过，列出等式求解即可； 法二：设直线方程为，联立抛物线方程，由，结合韦达定理求解； 【小问1详解】 由抛物线的定义及，知，解得． 将点的坐标代入抛物线C的方程，得， 又，所以，故p的值为2，t的值为4． 【小问2详解】 法一：设B点的坐标为， 因为，A点的坐标为（4，4），所以， 解得或（舍去）． 所以B点的坐标为（4，－4），所以直线的方程为． 法二：由题知的斜率不为零，设直线的方程为，整理得． 设点A，B的坐标分别为， 联立方程，得， 所以． 因为，所以，解得或． 当时，直线的方程为，经过原点O不合题意； 当时，直线的方程为，满足题意， 故直线的方程为． 17. 在数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，然后根据累加法结合条件即可求解； （2）利用错位相减法求出，然后根据恒成立分类讨论即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 当时， ， 所以，又符合， 所以； 【小问2详解】 由题意知， ， 两式相减得， 所以，若不等式对任意的恒成立， 当，时，则， 所以，当，时， 则，所以，即， 所以，即的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是等边三角形，平面平面. （1）求平面与平面所成二面角的正弦值； （2）已知分别是线段上一点，且，若是线段上的一点，且点到平面的距离为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图通过证明平面，可建立以点为原点的空间直角坐标系，后可求出平面与平面的法向量，结合空间向量知识可得答案； （2）由题可得平面的法向量，后设，可得点到平面的距离关于的表达式，即可得答案. 【小问1详解】 取的中点分别为，连接， 因为底面是正方形，所以， 因为是正三角形，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意：， ， 设平面的法向量为，所以， 即，令，则， 即平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成二面角为， 则， 所以，即平面与平面所成二面角的正弦值为. 【小问2详解】 因为分别是线段上一点， 且， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，即平面的一个法向量为， 设， 则， 所以点到平面的距离， 解得（舍去），即. 19. 在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比. （1）若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明：是与平行的直线； （2）已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点. ①求的取值范围； ②若直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】（1） 证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且a，b不同时为， 则曲线的方程是，且，即， 因为都是常数，且a，b不同时为， 所以曲线是一条直线，且与直线平行. （2）①； ②证明：由①知或，所以， ， ， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据伸缩比的定义，计算证明即可. （2）①直曲联立，借助韦达定理计算即可；②结合①的结论，直接运算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是， 所以曲线的方程是，即. 与轴的两个交点A，B的坐标分别是， 因为直线点，斜率为，所以直线的方程为，代入， 消去并整理得， 设， 则，， 因为与在轴的右侧有两个交点， 所以，且，解得或， 所以的取值范围是. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌兰浩特一中 勤奋乐学·敏思果行 乌兰浩特一中2024~2025学年高二年级上学期期末考试 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚， 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l：的倾斜角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 4. 已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在直三棱柱中，为侧棱的中点；，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上一点，且（为坐标原点），以为圆心，为半径的圆与轴相交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8. 已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点在上，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 11 C. 16 D. 21 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为，，则（ ） A. B. C. D. 数列是公比为的等比数列 10. 已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，存在点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的焦距为2，则______． 13. 已知等差数列满足，，则前7项之和为______． 14. 已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的方程：． （1）当为何值时，方程表示圆； （2）若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 16. 已知抛物线的焦点为F，点（其中）在抛物线C上，． （1）求和的值； （2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点，，求直线的方程． 17. 在数列中，，且. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是等边三角形，平面平面. （1）求平面与平面所成二面角的正弦值； （2）已知分别是线段上一点，且，若是线段上的一点，且点到平面的距离为，求的值. 19. 在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比. （1）若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明：是与平行的直线； （2）已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点. ①求的取值范围； ②若直线的斜率分别为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $