6.2 平面向量的运算-2024-2025学年高一下学期数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

6.2 平面向量的运算 考点一 平面向量的线性运算 【例1-1】（24-25湖南）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5) (6)； (7)； (8)； (9) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)；(8)；(9). 【解析】（1）． （2）． （3）． （4）； （5）； （6）. （7）； （8）； （9）. 【一隅三反】 1．（2024高一·潮州）化简： (1)． (2)． (3) (4) (5)； (6)． (7)． (8)． (9)； (10)． 【答案】(1).(2).(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) 【解析】（1）. （2）. （3）原式. （4）原式 （5）． （6）. （7）. （8）； （9）； （10）. 考点二 平面向量的共线定理 【例2】（2024辽宁沈阳 ）已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解析】（1）由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； （2）若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 【一隅三反】 1．（2024海南）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为与共线，所以存在实数使得，， 所以，即． 因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得， 故选：C． 2．（24-25高一·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【解析】对A，， 则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确； 对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误； 对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误； 对D，，因为， 故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 3．（24-25山东日照·阶段练习）已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【解析】因为与共线，所以，解得或. 若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去； 若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求. 故选：B 4．（2024河南）已知向量不共线，向量与共线，则 . 【答案】 【解析】因为向量不共线，向量与共线，所以， 即，解得.故答案为： 考点三 平面向量的数量积 【例3-1】（24-25甘肃）已知等边的边长为1，求： (1)；(2)；(3). 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）与的夹角为，. （2）与的夹角为，. （3）与的夹角为，. 【例3-2】（23-24高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知向量与的夹角，且. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， . （2） . 【例3-3】（23-24高一下·四川雅安·期末）（多选）若平面向量，满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】对于A： ，则，故A正确； 对于C：，故C错误； 对于B：，则向量与的夹角为，故B错误； 对于D：在上的投影向量为，故D正确； 故选：AD 【一隅三反】 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】A 【解析】由可得 ， 所以. 故选：A. 2．（24-25·黑龙江绥化·期中）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影向量为. 故选：D. 3．（23-24高一下·四川自贡·期末）（多选）设向量满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量与夹角为 【答案】AC 【解析】向量满足，且， 则，所以，故，A正确； ，B错误； ，C正确； 由，得，D错误. 故选：AC 4．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量满足. (1)若向量的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求在方向上的投影向量. 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）. （2）由，得， 所以.故. （3）由题意得，即，得， 所以.因为，所以， 在方向上的投影向量： 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 考点四 平面向量的最值问题 【例4-1】（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【解析】因为则，则， 所以，所以， ， 故选：C. 【例4-2】（24-25 山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为向量与共线，所以可设(t∈R)， 所以，所以， 因为向量，为单位向量，且， 所以， 所以，所以的最小值为. 故选：A 【例4-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔 ）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4.故选：B 【一隅三反】 1．（2024江西）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法1、因为，所以， 因为，，所以，解得， 则或，解得，则的取值范围为． ［易错］容易忽略作为分式的分母不能为0以及，从而导致取值范围错误． 方法2、 如图，设，则，， 因为，则， 当时，，且； 当时，，所以的取值范围为． 故选：C 2．（23-24高一下·浙江·期中）（多选）已知，为非零向量，且满足，，则（    ） A．，夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【解析】设，的夹角为，由，，得， 所以，解得，当且仅当，即时取“”， 所以，所以夹角的取值范围是，A正确； 由，得，等价于， 解得，所以的取值范围是,，选项B正确； 因为，，，所以,， 即的取值范围是,，C错误； ， 由,，得,，所以,，D正确． 故选：ABD． 3．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）（多选）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 1． 单选题 1．（24-25 广东湛江·阶段练习）化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 2．（24-25 北京朝阳·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 3．（2024广东）在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【解析】由已知得，， 故，且，所以四边形是梯形．故选：C. 4．（22-23 甘肃张掖·阶段练习）已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为向量与的夹角为，所以， 所以，故选：A. 5．（2024吉林长春·阶段练习）已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设向量，的夹角为，，由，为单位向量，得， 由，得，解得，所以.故选：C 6．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【解析】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 7．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量为， ，解得. 故选：A. 8．（2024·重庆 ）已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，即，则， 因为，则，则，则， 则，则. 故选：B. 9．（2024·北京 ）设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为为非零向量，若，则， 所以，，则， 反之若，所以， 所以，由于为非零向量，故， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 10．（2024黑龙江）已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，化简得， 解得或（舍去），则， 因为， ， 所以， 又，所以． 故选：D. 2． 多选题 11．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 【答案】AC 【解析】因为，， 所以，即，解得，A正确； 因为，所以B错误； 因为，所以与的夹角为，C正确，D错误． 故答案为：AC 12．（23-24高一下·福建福州·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，根据在方向上的投影向量定义即得，故B正确； 对于C，由，解得，因，故，即C错误； 对于D，由，得，即，故，即D错误. 故选：AB. 13．（2024·安徽安庆 ）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，因为，是单位向量， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，是单位向量， 所以在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为，所以， 又因为，所以，故C错误；对于D，因为，所以， 所以，所以，故D错误；选：AB． 14．（2025山东菏泽 ）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量夹角为60° 【答案】AC 【解析】，又因为，所以，故，所以A正确，D不正确； ，故，所以B不正确，，所以，正确． 故选：． 15．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）若向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．的最大值为 【答案】AB 【解析】因为，所以①， 因为，所以②， 得，，即. 对于A，因为，所以由①得，，解得， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 又因为，所以，所以，综上，，故B正确； 对于C，由，得， 因为，所以，， 可得，或解得，或，故C错误； 对于D，由，得， 因为，所以，则， 所以的最大值不是，故D错误.故选：AB. 3． 填空题 16．（23-24高一下·河北保定·期末）已知向量的夹角为，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，可得， 又因为且向量的夹角为，所以， 可得，解得或， 因为，所以（舍去），所以． 故答案为：． 17．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【解析】，，， 则，解得， 故， 故向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 18．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知向量与是非零向量，且满足与的夹角为120°，，则在上的投影向量为 ； 【答案】 【解析】根据题意可得， 再由投影向量定义可得在上的投影向量为： 故答案为： 19（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知向量满足，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】设与的夹角为，由，可得，即， 即，又，即，即， 又，所以故答案为：. 20（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 6 2 【解析】设的夹角为，则， 因为，，所以 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以的最大值为6，最小值为2. 故答案为：①6；②2. 21．（23-24高一下·江苏无锡·期中）向量满足，且，则 ． 【答案】3 【解析】由，得， ， 则， 即，整理得， 即，所以. 故答案为：3 4． 解答题 22．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【解析】（1）； （2）； （3）. （4）； （5）； （6）. 23（2024吉林长春·期末）已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 24．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以； （2）因为向量与的夹角为，且， 所以， 若，即，解得， 当与共线时，此时满足，解得， 此时与共线，且方向相反， 故与夹角为钝角时，且， 所以的取值范围是． 25（2024·上海）设是不共线的两个非零向量. （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数的值； （3）若，且三点共线，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）.（3）. 【解析】证明：（1），所以. 又因为为公共点，所以三点共线. （2）设，则 解得或 所以实数的值为. （3）， 因为三点共线，所以与共线. 从而存在实数使，即， 得解得所以. 26（2023下·全国·高一期末）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．    (1)若，求； (2)若，且，求实数k的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)k不存在 (3) 【解析】（1）由已知，，且与的夹角为60°， 可得 因为，故； 又，所以可得； （2）因为，且， 所以 化简得，显然不成立， 故k不存在； （3）因为，故， 所以， . 所以的值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 平面向量的运算 考点一 平面向量的线性运算 【例1-1】（24-25湖南）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5) (6)； (7)； (8)； (9) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)；(8)；(9). 【解析】（1）． （2）． （3）． （4）； （5）； （6）. （7）； （8）； （9）. 【一隅三反】 1．（2024高一·潮州）化简： (1)． (2)． (3) (4) (5)； (6)． (7)． (8)． (9)； (10)． 【答案】(1).(2).(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) 【解析】（1）. （2）. （3）原式. （4）原式 （5）． （6）. （7）. （8）； （9）； （10）. 考点二 平面向量的共线定理 【例2】（2024辽宁沈阳 ）已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解析】（1）由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； （2）若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 【一隅三反】 1．（2024海南）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为与共线，所以存在实数使得，， 所以，即． 因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得， 故选：C． 2．（24-25高一·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【解析】对A，， 则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确； 对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误； 对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误； 对D，，因为， 故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 3．（24-25山东日照·阶段练习）已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【解析】因为与共线，所以，解得或. 若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去； 若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求. 故选：B 4．（2024河南）已知向量不共线，向量与共线，则 . 【答案】 【解析】因为向量不共线，向量与共线，所以， 即，解得.故答案为： 考点三 平面向量的数量积 【例3-1】（24-25甘肃）已知等边的边长为1，求： (1)；(2)；(3). 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）与的夹角为，. （2）与的夹角为，. （3）与的夹角为，. 【例3-2】（23-24高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知向量与的夹角，且. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， . （2） . 【例3-3】（23-24高一下·四川雅安·期末）（多选）若平面向量，满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】对于A： ，则，故A正确； 对于C：，故C错误； 对于B：，则向量与的夹角为，故B错误； 对于D：在上的投影向量为，故D正确； 故选：AD 【一隅三反】 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】A 【解析】由可得 ， 所以. 故选：A. 2．（24-25·黑龙江绥化·期中）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影向量为. 故选：D. 3．（23-24高一下·四川自贡·期末）（多选）设向量满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量与夹角为 【答案】AC 【解析】向量满足，且， 则，所以，故，A正确； ，B错误； ，C正确； 由，得，D错误. 故选：AC 4．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量满足. (1)若向量的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求在方向上的投影向量. 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）. （2）由，得， 所以.故. （3）由题意得，即，得， 所以.因为，所以， 在方向上的投影向量： 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 考点四 平面向量的最值问题 【例4-1】（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【解析】因为则，则， 所以，所以， ， 故选：C. 【例4-2】（24-25 山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为向量与共线，所以可设(t∈R)， 所以，所以， 因为向量，为单位向量，且， 所以， 所以，所以的最小值为. 故选：A 【例4-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔 ）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4.故选：B 【一隅三反】 1．（2024江西）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法1、因为，所以， 因为，，所以，解得， 则或，解得，则的取值范围为． ［易错］容易忽略作为分式的分母不能为0以及，从而导致取值范围错误． 方法2、 如图，设，则，， 因为，则， 当时，，且； 当时，，所以的取值范围为． 故选：C 2．（23-24高一下·浙江·期中）（多选）已知，为非零向量，且满足，，则（    ） A．，夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【解析】设，的夹角为，由，，得， 所以，解得，当且仅当，即时取“”， 所以，所以夹角的取值范围是，A正确； 由，得，等价于， 解得，所以的取值范围是,，选项B正确； 因为，，，所以,， 即的取值范围是,，C错误； ， 由,，得,，所以,，D正确． 故选：ABD． 3．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）（多选）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 1． 单选题 1．（24-25 广东湛江·阶段练习）化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 2．（24-25 北京朝阳·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 3．（2024广东）在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【解析】由已知得，， 故，且，所以四边形是梯形．故选：C. 4．（22-23 甘肃张掖·阶段练习）已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为向量与的夹角为，所以， 所以，故选：A. 5．（2024吉林长春·阶段练习）已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设向量，的夹角为，，由，为单位向量，得， 由，得，解得，所以.故选：C 6．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【解析】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 7．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量为， ，解得. 故选：A. 8．（2024·重庆 ）已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，即，则， 因为，则，则，则， 则，则. 故选：B. 9．（2024·北京 ）设为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为为非零向量，若，则， 所以，，则， 反之若，所以， 所以，由于为非零向量，故， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 10．（2024黑龙江）已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，化简得， 解得或（舍去），则， 因为， ， 所以， 又，所以． 故选：D. 2． 多选题 11．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 【答案】AC 【解析】因为，， 所以，即，解得，A正确； 因为，所以B错误； 因为，所以与的夹角为，C正确，D错误． 故答案为：AC 12．（23-24高一下·福建福州·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，根据在方向上的投影向量定义即得，故B正确； 对于C，由，解得，因，故，即C错误； 对于D，由，得，即，故，即D错误. 故选：AB. 13．（2024·安徽安庆 ）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，因为，是单位向量， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，是单位向量， 所以在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为，所以， 又因为，所以，故C错误；对于D，因为，所以， 所以，所以，故D错误；选：AB． 14．（2025山东菏泽 ）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量夹角为60° 【答案】AC 【解析】，又因为，所以，故，所以A正确，D不正确； ，故，所以B不正确，，所以，正确． 故选：． 15．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）若向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．的最大值为 【答案】AB 【解析】因为，所以①， 因为，所以②， 得，，即. 对于A，因为，所以由①得，，解得， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 又因为，所以，所以，综上，，故B正确； 对于C，由，得， 因为，所以，， 可得，或解得，或，故C错误； 对于D，由，得， 因为，所以，则， 所以的最大值不是，故D错误.故选：AB. 3． 填空题 16．（23-24高一下·河北保定·期末）已知向量的夹角为，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，可得， 又因为且向量的夹角为，所以， 可得，解得或， 因为，所以（舍去），所以． 故答案为：． 17．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【解析】，，， 则，解得， 故， 故向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 18．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知向量与是非零向量，且满足与的夹角为120°，，则在上的投影向量为 ； 【答案】 【解析】根据题意可得， 再由投影向量定义可得在上的投影向量为： 故答案为： 19（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知向量满足，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】设与的夹角为，由，可得，即， 即，又，即，即， 又，所以故答案为：. 20（24-25高一上·北京延庆·期末）已知，，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 6 2 【解析】设的夹角为，则， 因为，，所以 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以的最大值为6，最小值为2. 故答案为：①6；②2. 21．（23-24高一下·江苏无锡·期中）向量满足，且，则 ． 【答案】3 【解析】由，得， ， 则， 即，整理得， 即，所以. 故答案为：3 4． 解答题 22．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【解析】（1）； （2）； （3）. （4）； （5）； （6）. 23（2024吉林长春·期末）已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 24．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以； （2）因为向量与的夹角为，且， 所以， 若，即，解得， 当与共线时，此时满足，解得， 此时与共线，且方向相反， 故与夹角为钝角时，且， 所以的取值范围是． 25（2024·上海）设是不共线的两个非零向量. （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数的值； （3）若，且三点共线，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）.（3）. 【解析】证明：（1），所以. 又因为为公共点，所以三点共线. （2）设，则 解得或 所以实数的值为. （3）， 因为三点共线，所以与共线. 从而存在实数使，即， 得解得所以. 26（2023下·全国·高一期末）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．    (1)若，求； (2)若，且，求实数k的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)k不存在 (3) 【解析】（1）由已知，，且与的夹角为60°， 可得 因为，故； 又，所以可得； （2）因为，且， 所以 化简得，显然不成立， 故k不存在； （3）因为，故， 所以， . 所以的值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$