6.1 平面向量的概念-2024-2025学年高一下学期数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

6.1 平面向量的概念 考点一 向量与数量的区分 【例1-1】（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【解析】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 【例1-2】（23-24山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C. 【一隅三反】 1．（23-24高一下·全国·课后作业）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【解析】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向. （2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量， （1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量. 故选：A. 2．（2024湖北）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(    ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【解析】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量； 速度、位移既有大小又有方向，是向量． 故选：D． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）指出下列各种量中的向量： （1）密度；    （2）体积；    （3）速度；    （4）能量； （5）电阻；    （6）加速度；    （7）功；    （8）力矩． 你能找出更多向量的例子吗？ 【答案】见 解析 【解析】向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量． 密度、体积、能量、电阻、功都只有大小，没有方向，不是向量； 而速度、加速度、力矩既有大小，又有方向，为向量． 生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等． 考点二 向量的几何表示 【例2】（23-24山东）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 【答案】答案见解析； 【解析】（1）从向东作长度为3m的有向线段：    （2）从向西作长度为3m的有向线段：    （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：    （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：    【一隅三反】 1．（23-24甘肃）画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： (1)由A地向东北方向航行15km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； (3)由C地向正南方向航行20km到达D地． 【答案】答案见详解 【解析】（1）根据的比例尺，即图上，作图如下，    （2）根据的比例尺，即图上，作图如下，    （3）根据的比例尺，即图上，作图如下，    2．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)． 【解析】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 3．（2024上海）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【解析】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为 考点三 零向量与单位向量 【例3-1】（2024湖北鄂州）下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 【答案】D 【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误； 两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误； 零向量与任意向量共线，D正确． 故选：D. 【例3-2】（2023·新疆巴音郭楞）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【解析】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. 故选：C 【一隅三反】 1．（24-25北京）下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确； ②零向量的方向任意，故错误； ③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； ④任意向量与零向量都共线，正确； 故选：D 2．（2024高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 3．（2024新疆巴音郭楞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【解析】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. 故选：C 考点四 相等向量与平行向量 【例4】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 【答案】(1)23； (2)存在，4； (3)9. 【解析】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有23个. （2）存在，由正六边形的性质知，， 所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个. （3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上， 所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个. 【一隅三反】 1．（2024陕西）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【解析】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 2．（2024云南）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 【答案】(1)有9个 (2)， (3)，，，，，， (4) 【解析】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形， 所以， 所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个. （2）与相等的向量有、. （3）与共线的向量有，，，，，，. （4）因为为平行四边形，所以且， 所以与相等的向量为. 3．（2024福建）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中： (1)写出与相等的向量； (2)写出的负向量； (3)写出与平行的向量； (4)写出与长度相等的向量． 【答案】(1)，， (2)，，， (3)，，，，，，，， (4)，，，， 【难度】0.94 【解析】（1）两向量相等是指两向量方向相同，长度相等，由图可得与相等的向量为：，，； （2）向量的负向量是指与方向相反，长度相等的向量，由图可得的负向量为：，，，； （3）两向量平行，是指两向量方向相同或相反，由图可得平行的向量为： ，，，，，，，，. （4）由图，因图形为正六边形，则，故与长度相等的向量为：，，，，. 1． 单选题 1．（2024新疆·期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（    ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 【答案】D 【解析】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确； 向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确. 故选：D 2．（2024湖北）下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确； 故选：C 3．（24-25 陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】   对于A，如图正方形中，若，则，但，故A错误； 对于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比较大小，故B错误； 对于C，因两向量相等包括长度相等，方向相同，故C正确； 对于D，如上图中，，但，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高一上·北京·阶段练习）若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【解析】对于①，若与方向相反，则与共线， 对于②，由，只能确定两向量的大小相等，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线， 对于③，由或，可得或，由零向量与任意向量共线可得与共线， 对于④，由与都是单位向量，只能确定两向量的大小都为，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线. 故选：B. 5．（2024北京·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 【答案】C 【解析】A选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确； B选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确； C选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C正确； D选项，当时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确． 故选：C． 6．（2024 北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 【答案】A 【解析】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动， 且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确； 根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同， 故两个单位向量不一定相等，故②错误； 向量与互为相反向量，故③错误. 故选：A. 2． 多选题 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 故选：ABC. 8．（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 【答案】AC 【解析】对于A，向量与向量是共线向量，则可能平行，因此不一定在同一条直线上，即A错误； 对于B，若，则或，即B正确； 对于C，向量不能比较大小，因此错误，即C错误； 对于D，由平面向量的共线定理可知D正确. 故选：AC 9．（24-25 云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【解析】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 10．（2025海南）下列命题中正确的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】A，由平行向量和共线向量可知，故A正确； B，因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，故B错误； C，因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故C错误； D，因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行， 因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，故D正确. 故选：AD. 3． 解答题 11．（23-24 安徽淮北 ）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)3 【解析】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：    （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：    （3）   . 12．（23-24高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【答案】，，，这三个向量不相等，马在点走一步的向量为：． 【解析】，，，这三个向量的方向不同，不相等， 如图，马在点走一步的向量为：．    13．（23-24 黑龙江 ）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 【答案】答案见解析 【解析】（1） 由题意，故即为所求，其中； （2） 由题意，故即为所求，其中； （3） 由题意，故即为所求，其中. 14．（24-25河南）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1） 分别为的中点，，且，与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 平面向量的概念 考点一 向量与数量的区分 【例1-1】（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【例1-2】（23-24山东菏泽·阶段练习）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【一隅三反】 1．（23-24高一下·全国·课后作业）给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．（2024湖北）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(    ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 3．（23-24高一·上海·课堂例题）指出下列各种量中的向量： （1）密度；    （2）体积；    （3）速度；    （4）能量； （5）电阻；    （6）加速度；    （7）功；    （8）力矩． 你能找出更多向量的例子吗？ 考点二 向量的几何表示 【例2】（23-24山东）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 【一隅三反】 1．（23-24甘肃）画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： (1)由A地向东北方向航行15km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； (3)由C地向正南方向航行20km到达D地． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 3．（2024上海）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 考点三 零向量与单位向量 【例3-1】（2024湖北鄂州）下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 【例3-2】（2023·新疆巴音郭楞）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【一隅三反】 1．（24-25北京）下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 2．（2024高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 3．（2024新疆巴音郭楞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 考点四 相等向量与平行向量 【例4】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 【一隅三反】 1．（2024陕西）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 2．（2024云南）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 3．（2024福建）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中： (1)写出与相等的向量； (2)写出的负向量； (3)写出与平行的向量； (4)写出与长度相等的向量． 1． 单选题 1．（2024新疆·期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（    ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 2．（2024湖北）下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25 陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一上·北京·阶段练习）若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 5．（2024北京·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 6．（2024 北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 2． 多选题 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 8．（23-24高一下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 9．（24-25 云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 10．（2025海南）下列命题中正确的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 3． 解答题 11．（23-24 安徽淮北 ）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．       13．（23-24 黑龙江 ）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 14．（24-25河南）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$