精品解析：山东省日照市2024-2025学年高二上学期1月期末校际联合考试数学试题

2023级高二上学期期末校际联合考试 数学 2025.1 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为抛物线，所以 由抛物抛物线焦点坐标公式可知， 焦点坐标是． 故选:A 2. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，根据向量运算的平行四边形法则或三角形法则求解． 【详解】在平行六面体，连接AC，如图， 则, 故选A． 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，解题的关键是结合图形并根据向量加法的平行四边形或三角形法则求解，属于基础题． 3. 已知之间的一组数据： 1 2 3 4 5.5 4 3.5 3 若与满足回归方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求，结合线性回归方程必过样本中心点运算求解. 【详解】由表可得， 因为线性回归方程过样本中心点， 则，解得. 故选：B. 4. 已知直线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解. 【详解】已知直线与直线平行， 则当且仅当，解得或. 故选：C. 5. 如图所示，直四棱柱底面是正方形，分别是的中点，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则， 可得， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，则， 所以点C到平面的距离为. 故选：D． 6. 为解决“卡脖子”问题，实现7nm芯片国产化，让中国制造走向世界，某公司两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，B组生产的芯片合格率为，现公司决定再将这些产品送专家鉴定后量产，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用全概率公式即可得解. 【详解】设事件“从组中抽取芯片”，事件“抽到合格的芯片”， 则，，， 则. 故选：C. 7. 如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】确定可以建设桥梁的位置有几个地方，进而求出建设3个桥梁的所有可能选法，去掉不符合题意的选法，即可得答案. 【详解】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来， 共有个位置可以建设桥梁， 从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法， 但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意， 故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案. 故选：B. 8. 已知椭圆的左焦点为为坐标原点，若在上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用椭圆定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设椭圆的焦距为，右焦点为 ，直线交于点M， 连接，因为为正三角形，， 所以M为 的中点，所以， 故 ，易知 ，  所以， ，由椭圆的定义知  ， 即，得  . 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断A；根据复数相等列方程组可解p、q，然后可判断B；由虚部概念可判断C；利用两圆面积相减可判断D. 【详解】A中，令，则，故A错误； B中，若点Z的坐标为，则，所以， 整理得，所以，解得， 所以，故B正确； C中，易知的虚部为，故C错误； D中，记，则 所以， 圆的面积为，圆的面积为， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD 10. 下列选项中正确的有（ ） A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 B. C. 已知随机变量服从正态分布，则 D. 若数据的方差为8，则数据的方差为2 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，结合相关系数的定义，即可求解；对于B：根据条件概率公式运算求解即可；对于C，结合正态分布的对称性，即可求解；对于D，结合方差的性质，即可求解． 【详解】对于选项A：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：随机变量服从正态分布， 则，故C错误； 对于选项D：设数据，，，的方差为，因为数据，，，的方差为8， 则，解得，故D正确． 故选：BD. 11. 如图，已知正方体的棱长为是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C. 若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆 D. 若直线与直线所成角为，则的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：由平面，可得即为到直线的距离，由抛物线的定义即可判断；B：由题意可得中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆，计算可判断；C：由与平面所成的角为，计算可得为定值，可判断点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，从而可判断；D：由与所成的角可得，可得点的轨迹方程，从而可判断． 【详解】对于A，平面，即为到直线的距离， 在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等， ∴点的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，故A正确； 对于B，若，则, 可得中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆， 其面积为，故B正确； 对于C，与平面所成的角为，则，可得， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故C错误； 对于D，如图，建立空间直角坐标系， ， 设，则，， 因为， 化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确； 故选：ABD﹒ 【点睛】关键点点睛：D选项中，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式列式求解是解题关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理可得的展开式的通项公式，由通项公式结合条件可得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 令可得 所以的展开式中的系数是 故答案为： 13. 假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布，对于的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用表示这100包中质量位于区间的包数，则随机变量的方差是______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得，分析可知，利用二项分布的性质求方差. 详解】由题意可知：，且， 则，可得， 由题意可知：， 所以随机变量的方差. 故答案为：9. 14. 如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程得到韦达定理，结合焦半径公式可得，进而根据线面垂直，以及二面角的定义得，根据锐角三角函数计算长度，可得，利用两点距离公式即可求解. 【详解】，设直线为，， 联立与可得， 则，则， 故，解得， 故，解得， 故， 如图，以为坐标原点，为轴，在平面内垂直于的直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 过作平面于，过作于，连接， 由于轴，且轴，，故轴平面， 平面，故轴，则 由于在直角坐标系中， 故， 因此在直角三角形中，， 因此在空间直角坐标系中，， 故， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据题意联立方程求焦点坐标，结合空间直角坐标系结合二面角分析求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求过点与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意利用待定系数法求出，即可得解； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径求出，即可得解. 【小问1详解】 设圆标准方程为， 由题意得， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，符合题意， 当直线斜率存在时，设该斜率为，此时直线方程为， 即，圆心到该直线的距离为， 即，解得， 此时直线方程为， 故所求直线方程为和. 16. 为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 （1）在犯错误概率不超过的前提下，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ （2）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为，求的分布列． 参考数据：，其中． 附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）可以认为购买电动汽车与车主性别有关 （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定的列联表求出的观测值，再与临界值表比对作答； （2）利用分层抽样求出男女性人数，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出方差作答. 【小问1详解】 零假设：购买电动汽车与车主性别无关， 由表中数据得：， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为购买电动汽车与车主性别有关. 【小问2详解】 按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有人，女性有5人， 则的可能值为，可得： ， 所以的分布列为： 0 1 2 17. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，是的中点，，平面． （1）求与平面所成角的正弦值； （2）若平面于点，求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角； （2）求平面的法向量，可得直线的方向向量，进而求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 因为为等边三角形，是中点，则， 且平面， 以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面，则直线的方向向量可以为， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面的法向量可以为， 则， 由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 18. 为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生． （1）求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率； （2）在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关． 在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为． （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明之间的线性相关关系． 【答案】（1） （2）（ⅰ）分布列见详解；（ⅱ），随机变量之间具有负相关关系 【解析】 【分析】（1）设相应事件，结合计数原理求，根据古典概型即可得结果； （2）（i）分析可知随机变量的可能取值为0，1，2，4，求相应概率即可得分布列；（ⅱ）根据题意可得，，设，求其分布列和期望，结合题意分析判断. 【小问1详解】 记“甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务”为事件A，样本空间为， 则，， 所以. 【小问2详解】 由题意可知：随机变量的可能取值为0,1,2,4， 则， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 4 由题意可知：，即， 因为，则， 令， 可知随机变量的可能取值为， 则， 可得随机变量的分布列为 0 可得， 因为，所以随机变量之间具有负相关关系. 19. 已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）设是曲线上不同的两点，是的中点，直线的斜率分别为．证明：为定值； （3）直线与曲线的右支交于点（在的上方），过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线与交于点；过点且斜率4为的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线与交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可得，可知动点的轨迹为是以为焦点的双曲线，即可得结果； （2）设，，根据M，N为双曲线C上的两点，列由点差法得到，利用斜率公式进行求证即可； （3）设直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立，易得，结合韦达定理，求出，再利用韦达定理进行求证． 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 因为，， 则， 可知动点的轨迹为是以为焦点的双曲线，且，则， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得，整理得， 则，得证. 【小问3详解】 设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，， 联立，消去y并整理得， 因为该方程有两个正根，则，解得，或（舍） 由韦达定理得， 直线的方程为， 因为，即，① 直线的方程为， 因，即，② 联立①②，两式相加得，两式相减得， 因为， 则， ， 所以， 则都在直线上，故共线． 【点睛】思路点睛：直线与双曲线的位置关系，联立直线与双曲线方程，得到根与系数的关系，利用坐标关系可求解点的横纵坐标关系、直线上两点距离、三角形面积、定值定点等几何性质问题，但需要注意计算技巧处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二上学期期末校际联合考试 数学 2025.1 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简 A. B. C. D. 3. 已知之间的一组数据： 1 2 3 4 5.5 4 3.5 3 若与满足回归方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 5. 如图所示，直四棱柱底面是正方形，分别是的中点，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 为解决“卡脖子”问题，实现7nm芯片国产化，让中国制造走向世界，某公司两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，B组生产的芯片合格率为，现公司决定再将这些产品送专家鉴定后量产，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，湖面上有4个相邻的小岛，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 8. 已知椭圆的左焦点为为坐标原点，若在上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 下列选项中正确的有（ ） A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 B. C. 已知随机变量服从正态分布，则 D. 若数据的方差为8，则数据的方差为2 11. 如图，已知正方体棱长为是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C. 若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆 D. 若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是______．（用数字作答） 13. 假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布，对于的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用表示这100包中质量位于区间的包数，则随机变量的方差是______． 14. 如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求过点与圆相切的直线方程. 16. 为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构调查了该地区90位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 （1）在犯错误概率不超过的前提下，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ （2）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为，求的分布列． 参考数据：，其中． 附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，是的中点，，平面． （1）求与平面所成角的正弦值； （2）若平面于点，求二面角的余弦值． 18. 为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生． （1）求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率； （2）在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关． 在参加志愿服务活动4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为． （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明之间的线性相关关系． 19. 已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）设是曲线上不同的两点，是的中点，直线的斜率分别为．证明：为定值； （3）直线与曲线的右支交于点（在的上方），过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线与交于点；过点且斜率4为的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线与交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$