精品解析：河南省焦作市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

普通高中2024—2025学年（上）高一年级期末考试 数学（北师大版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】当时，，故不是不等式的解， 不等式可化为，因为，故， 所以且， 所以且， 又， 所以. 故选：B. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. p和q都是真命题 B. p是假命题，q是真命题 C. p是真命题，q是假命题 D. p和q都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】利用特例法判断命题的真假；判断指数函数与二次函数在上有一个交点，即可判断命题的真假. 【详解】因为时，所以命题为假命题； 因为时，；时，，且指数函数与二次函数都是连续函数， 所以指数函数与二次函数在上有一个交点，所以，故命题为真命题． 综上是假命题，是真命题． 故选：B． 3. 某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时，可认定为轻微肥胖；当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（ ） A. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件 B. 严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件 C. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件 D. 严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可. 【详解】由题意可得严重肥胖一定能推出肥胖指数大于24，但肥胖指数大于24，不大于28时不能推出严重肥胖， 因此严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件． 故选：A． 4. 已知幂函数的图象分别经过两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数解析式中可得，表示出，然后逐个分析判断. 【详解】把两点分别代入可得， 所以，， 对于A，，若，则， 得，此方程无解，所以不成立，所以A错误， 对于B，，所以B正确， 对于C，， 因为在上递减，且， 所以，即，所以，所以不成立，所以C错误， 对于D，若，则，得，显然不成立，所以，所以D错误. 故选：B． 5. 已知函数，其中，则下列说法中错误的是（ ） A. 若为偶数，则与的值域相同 B. 若为奇数，则与的值域相同 C. 若为偶数，则与的定义域相同 D. 若为奇数，则与的定义域相同 【答案】C 【解析】 【分析】分为偶数和为奇数结合对数函数的性质分析判断即可. 【详解】（1）当为偶数时， 的定义域为，的定义域为， 所以与的定义域不相同， 为偶函数，当时，，所以与的值域相同． （2）当为奇数时，与的定义域均为，且， 所以与的定义域与值域均相同． 所以选项C错误. 故选：C． 6. 已知函数则满足不等式的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析单调性得到在上单调递增，然后根据单调性解不等式即可. 【详解】当时，，由复合函数的单调性可知在上单调递增； 当时，因为，易得在上单调递增， 又因为当时，，所以在上单调递增， 因此可化为，解得， 故实数的取值范围为． 故选：A． 7. 某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（ ） A. 参与甲项目与参与乙项目不互斥 B. 参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C. 参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D. 参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 8. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将转化为三条直线分别与交点的横坐标，然后结合图象可求得结果. 【详解】由，得，由此可得是方程的根， 则是直线与曲线交点的横坐标； 由，得，则是方程的根， 则是直线与曲线交点的横坐标； 由，得，，则是方程的根， 则是直线与曲线交点的横坐标． 直线，和交于点，曲线经过点， 由函数图象可得． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论正确的是（ ） A. 极差为4 B. 平均数为1 C. 方差为1 D. 75%分位数为2 【答案】BC 【解析】 【分析】写出测试结果标记后得到数据，再利用极差，平均数，方差，百分位数的计算公式即可求解. 【详解】将8次测试结果标记后得到数据0，0，0，1，1，1，2，3， 对于A：极差为，故A错误； 对于B：平均数为，故B正确； 对于C：方差为 故C正确； 对于D ：，按从小到大排列的第6个数为1，第7个数为2， 故分位数为，故D错误． 故选：BC． 10. 已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域是，则 B. 若的最大值为1，则 C. 若在上单调递增，则 D. 若在上单调递减，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数函数和二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】对于A，若的定义域是，则的解集为，所以，故A正确； 对于B，令，由二次函数的性质可知当时取最大值， 因为单调递增，且最大值为1，得的最大值为4， 所以当时，，解得，故B错误； 对于C，易知在上单调递增，所以，解得，故C正确； 对于D，易知在上单调递减，所以解得，故D正确； 故选：ACD 11. 已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若对于，则函数是奇函数 C. D. 若当时，，则在区间上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，令得到或0；B选项，根据得到，令得到，然后利用奇函数的定义判断；C选项，时不成立；D选项，根据时，利用作商的思路得到对任意的，都有，然后结合单调性的定义判断. 【详解】对于A项，令，则，则或0，故A错误； 对于B项，因为，所以， 由，且，所以， 令，则，所以， 所以，故是奇函数，故B正确； 对于C项，若，令可得，故C错误； 对于D项，若当时，，则不满足，所以， 设0，则，所以， 所以，即对任意的，都有， 所以在上单调递增．又，所以在，上单调递增，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某次九省联考考试结束后，相关部门为了分析考生的数学成绩，采用随机抽样的方式从某地区抽取了3000名高三学生的数学成绩，则此次抽样的样本为_______． 【答案】某地区3000名高三学生的数学成绩 【解析】 【分析】根据随机抽样样本的定义判断. 【详解】总体为所有参加此次考试考生的数学成绩；样本为某地区3000名高三学生的数学成绩. 故答案为：某地区3000名高三学生的数学成绩． 13. 已知a>0，则的最小值为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 因此， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为12. 故答案为：12 14. 已知函数是偶函数，则_______. 【答案】6 【解析】 【分析】因为函数为偶函数，对函数变形，由奇函数奇函数=偶函数，即可求得a的值. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，所以为奇函数， 因此，即，经检验适合题意. 故答案为：6. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 对下列两个式子进行求值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算性质计算即可； （2）利用对数的运算性质计算即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 因为， ， 所以原式 16. 设集合． （1）当时，求集合的非空真子集的个数； （2）若，求整数的所有可能取值． 【答案】（1）14 （2）1和2 【解析】 【分析】（1）把代入并求出，进而求出其非空真子集的个数. （2）利用集合的包含关系，列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 当时，，则， 所以非空真子集的个数为. 【小问2详解】 依题意，，由，得，解得， 所以整数的所有可能取值为1和2． 17. 某林场在海拔（单位：米）0至2500米内均种植树木，从中随机抽取100棵树，将其海拔分布情况绘制成如图所示的频率分布直方图，再从海拔在的树中采用分层随机抽样的方式抽取5棵深入检查，用频率估计概率． （1）根据频率分布直方图，估计该林场树木海拔的中位数； （2）从参与深入检查的5棵树中随机选择3棵，求有且仅有2棵海拔在内的概率． 【答案】（1）1125米 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图判断海拔在的频率为0.4，海拔在的频率为0.8，则中位数在内，进而可估计该林场树木海拔的中位数； （2）从海拔在的树中采用分层随机抽样的方式抽取5棵，则从中抽取棵，从）中抽取棵，利用列举法，结合古典概型概率公式可得答案． 【小问1详解】 计算各组对应的频率，海拔在为， 海拔在为，海拔在为， 故海拔在的频率为0.4， 海拔在的频率为0.8， 所以中位数在内， 故该林场树木海拔的中位数为（米） 【小问2详解】 从海拔在的树中采用分层随机抽样的方式抽取5棵深入检查， 故从的树中抽取（棵）， 从）的树中抽取（棵）， 设抽取的海拔在的树为，海拔在的树为， 故从这5棵树中随机选择3棵的可能结果有， ，，共10种， 其中有且仅有2棵海拔在内的可能结果有，，共6种， 故有且仅有2棵海拔在内的概率为． 18. 为探究与的关系，研究人员提出了用的函数模型刻画数据．其中与的几组对应数据如下表： 1 2 3 12 48 156 （1）运用上述函数模型，求当时的值； （2）若当时，恒成立，求的最小值． 【答案】（1）480 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意将表格中的数据代入函数模型，建立方程组，解得函数中的参数，可得答案； （2）利用分离参数整理不等式，再利用换元法构造函数，根据二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 将表格数据代入，得，解得 故该函数模型的表达式为， 把代入，得． 【小问2详解】 由题意得当时，恒成立，即， 故两边同时除以，得到， 不妨设，故原式化为，整理得， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故只需当时，成立即可，把代入得， 解得，故的最小值为． 19. 已知函数． （1）当时，试用函数单调性的定义证明：在上单调递增． （2）若，函数． ①证明：函数的图象关于直线对称； ②求在上的值域（用含的式子表示区间）． 【答案】（1）当时，，任取，且， 则， 又， ， 故， 故在上单调递增． （2）①证明：由题意得， ， 故， 故函数的图象关于直线对称． ②． 【解析】 【分析】（1）任取，且，作差，利用单调性的定义证明即可； （2）①利用证明图象关于直线对称；②根据函数在的单调性和的对称性求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②因为，所以当时，， 易知函数在上单调递增， 又由（1）知函数在上单调递增， 故函数在上单调递增， 又函数的图象关于直线对称， 故函数在上单调递减， 易知， ， 故在上的值域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高中2024—2025学年（上）高一年级期末考试 数学（北师大版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. p和q都是真命题 B. p是假命题，q是真命题 C. p是真命题，q是假命题 D. p和q都是假命题 3. 某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时，可认定为轻微肥胖；当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（ ） A. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件 B. 严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件 C. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件 D. 严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件 4. 已知幂函数的图象分别经过两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，其中，则下列说法中错误的是（ ） A. 若为偶数，则与的值域相同 B. 若为奇数，则与的值域相同 C. 若为偶数，则与的定义域相同 D. 若为奇数，则与的定义域相同 6. 已知函数则满足不等式的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（ ） A. 参与甲项目与参与乙项目不互斥 B. 参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C. 参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D. 参与甲项目与参与丙项目相互独立 8. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论正确的是（ ） A. 极差为4 B. 平均数为1 C. 方差为1 D. 75%分位数为2 10. 已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域是，则 B. 若的最大值为1，则 C. 若在上单调递增，则 D. 若在上单调递减，则 11. 已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若对于，则函数是奇函数 C. D. 若当时，，则在区间上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某次九省联考考试结束后，相关部门为了分析考生的数学成绩，采用随机抽样的方式从某地区抽取了3000名高三学生的数学成绩，则此次抽样的样本为_______． 13. 已知a>0，则的最小值为_______． 14. 已知函数是偶函数，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 对下列两个式子进行求值． （1）； （2）． 16. 设集合． （1）当时，求集合的非空真子集的个数； （2）若，求整数的所有可能取值． 17. 某林场在海拔（单位：米）0至2500米内均种植树木，从中随机抽取100棵树，将其海拔分布情况绘制成如图所示的频率分布直方图，再从海拔在的树中采用分层随机抽样的方式抽取5棵深入检查，用频率估计概率． （1）根据频率分布直方图，估计该林场树木海拔的中位数； （2）从参与深入检查的5棵树中随机选择3棵，求有且仅有2棵海拔在内的概率． 18. 为探究与的关系，研究人员提出了用的函数模型刻画数据．其中与的几组对应数据如下表： 1 2 3 12 48 156 （1）运用上述函数模型，求当时的值； （2）若当时，恒成立，求的最小值． 19. 已知函数． （1）当时，试用函数单调性的定义证明：在上单调递增． （2）若，函数． ①证明：函数的图象关于直线对称； ②求在上的值域（用含的式子表示区间）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $