精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

乌鲁木齐市第101中学2024-2025学年高二第一学期期中 数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. 6 D. －6 3. 三角形的三个顶点为，则的中线的长为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 4. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧ACB与弦AB围成的弓形面积为（ ） A. B. C. 4 D. 5. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 正方体，点E是上底面的中心，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论中错误的是（　　　　） A. AE∥平面C1BD B. 四面体ACEF的体积不为定值 C. 三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D. 四面体ACDF的体积为定值 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：，点P为直线l：上的动点，则（ ） A. 圆C上没有点到直线l的距离为 B. 已知点，圆C上的动点N，则的最小值为 C. 过点P作圆C的一条切线，切点为Q，则可以为30° D. 过点P作圆C的两条切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两直线与之间的距离为___________. 13. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 14. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线相交于点，则 （1）求过点且平行于直线的直线 （2）求过点且垂直于直线的直线 16. 已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝. （1）求直线CD的方程； （2）求圆P的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，侧面底面ABCD，，点E是PD的中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面PAD所成角的正弦值． 18. 为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党的知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两名同学都回答错误的概率是，乙、丙两名同学都回答正确的概率是.若各同学回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率. 19. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2.且被直线截得的弦长为. （1）圆的方程； （2）设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第101中学2024-2025学年高二第一学期期中 数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程得直线的斜率，得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， 则，且，所以. 故选：C. 2. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. 6 D. －6 【答案】D 【解析】 【分析】空间中两向量平行，其对应坐标成比例，故可求之. 【详解】因为，所以，解得. 故选：D. 3. 三角形的三个顶点为，则的中线的长为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】求出边的中点坐标，根据两点间的距离公式即可求得答案. 【详解】设边的中点为D，则D点坐标为，即， 故的中线的长为， 故选：B 4. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧ACB与弦AB围成的弓形面积为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得锯盘的半径，进而有，再应用扇形、三角形的面积公式求弓形面积. 【详解】设锯盘的半径为，则，则， 所以，则，即， 所以图中弧ACB与弦AB围成的弓形面积. 故选：B 5. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知点与圆心的距离大于圆的半径，由此可以列出与有关的不等式，从而解不等式即可求解. 【详解】一方面：将圆：化为标准方程可得， 首先有圆心，其次圆的半径满足，解得， 另一方面：又因为点在圆：的外部， 所以，即，解得； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 6. 正方体，点E是上底面的中心，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量对应线段的关系，结合加减、数乘的几何意义用表示求出参数，即可得答案. 【详解】由， 所以，故. 故选：D 7. 已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得圆心和半径，利用两点间距离公式和勾股定理求得最短弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为 由于，，所以在圆内. 在所有过点的弦中，最短的弦是垂直于的弦， ， 所以最短弦长为. 故选：B 【点睛】本小题主要考查圆的弦长有关计算，属于基础题. 8. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论中错误的是（　　　　） A. AE∥平面C1BD B. 四面体ACEF的体积不为定值 C. 三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D. 四面体ACDF的体积为定值 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的性质定理，判断A选项是否正确，根据锥体体积计算公式，判断BCD选项是否正确. 【详解】对于A选项，易得平面与平面平行，所以平面成立，A选项结论正确. 对于B选项，由于长度一定，所以三角形面积为定值.到平面的距离，也即到平面的距离一定，所以四面体体积为定值，故B选项结论错误. 对于C选项，由于长度一定，所以三角形面积为定值. 到平面的距离，也即到平面的距离一定，所以三棱锥体积为定值，故C选项结论正确. 对于D选项，由于三角形面积为定值，到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值. 综上所述，错误的结论为B选项. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用面面平行证明线面平行，考查三棱锥（四面体）体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为， 则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：AC 10. 在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 由面面平行和线面平行的性质可判断A；由面面垂直和线面垂直的性质可判断B；由面面垂直和线面平行的性质可判断C；由面面垂直和线面垂直的性质可判断D. 【详解】对于A，若，可得或，故A错误； 对于B，若，可得或，故B错误； 对于C，若，则，或，或与相交，故C错误； 对于D，若，则，正确. 故选：D. 【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的关系，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题. 11. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：，点P为直线l：上的动点，则（ ） A. 圆C上没有点到直线l的距离为 B. 已知点，圆C上的动点N，则的最小值为 C. 过点P作圆C的一条切线，切点为Q，则可以为30° D. 过点P作圆C的两条切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先判断直线与圆的位置关系，再求圆心到直线距离得判断A；由关于对称，得到，即可求最值，注意取值条件判断B；由最大时，只需，进而确定的范围判断C；令，得到都在直线上，结合求定点判断D. 【详解】由的圆心，半径， 则到的距离为，即直线与圆相离， 所以，故圆C上存在点到直线l的距离为，A错； 由关于对称，则，可得， 由，故， 又，则， 当且仅当三点共线时取等号，故的最小值为，B对； 由最大时，只需，此时，即， 所以，则可以为，即可以为为30°，C对； 如下图，令，则， 由在切线上，则，同理， 显然都在直线上，又， 所以，即，易知直线恒过点，D对. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两直线与之间的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线之间的距离公式直接求解. 【详解】直线，与之间的距离为 故答案为：. 13. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求得，根据向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 14. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线相交于点，则 （1）求过点且平行于直线的直线 （2）求过点且垂直于直线的直线 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，利用两直线平行得到所求直线斜率后，即可求出结果； （2）利用两直线垂直得到所求直线的斜率后，即可求出结果. 【小问1详解】 由解得，即， 因为直线的斜率为， 所以过点且平行于直线的直线的斜率为， 所以直线为：，化简得. 【小问2详解】 因为直线的斜率为， 所以点且垂直于直线的直线的斜率为 所以直线为：，化简得. 16. 已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝. （1）求直线CD的方程； （2）求圆P的方程. 【答案】（1）x＋y－3＝0（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40 【解析】 【分析】 （1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出的值，即得圆P的方程. 【详解】（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）. 所以. 则直线CD的方程为y－2＝－（x－1）， 所以直线CD的方程为x＋y－3＝0. （2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.① 又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2， 所以（a＋1）2＋b2＝40.② 由①②解得或 所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）. 所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40. 【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，侧面底面ABCD，，点E是PD的中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面PAD所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接，交于，连接，底面ABCD是菱形，故为的中点， 由点E是PD的中点，则，面，面， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，交于，连接，易得，再由线面平行的判定定理证结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角余弦值，进而求其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由侧面底面ABCD，，即， 侧面底面ABCD，侧面，则底面ABCD， 底面ABCD是菱形，，如图作，则可构建空间直角坐标系， 则， 所以， 令分别为平面与，平面PAD的一个法向量， ，取，则， ，取，则， 所以平面与平面PAD所成角的余弦值为，故其正弦值为. 18. 为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党的知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两名同学都回答错误的概率是，乙、丙两名同学都回答正确的概率是.若各同学回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率. 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据相互独立事件的概率乘法公式，列出方程组，即可求解； （2）根据独立事件的概率乘法公式，分别求得0名同学回答正确和1名同学回答正确的概率，结合对立事件的概率公式，即可求解. 【小问1详解】 记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C， 则，，， 即，所以，， 所以乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率为和. 【小问2详解】 有0名同学回答正确的概率， 有1名同学回答正确的概率， 所以不少于2名同学回答正确这道题的概率. 19. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2.且被直线截得的弦长为. （1）圆的方程； （2）设是直线上动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求所有定点坐标. 【答案】（1）； （2）∵是直线上一点.设 ∵为圆的切线，∴，即过、、三点的圆是以为直径的圆 设圆上任一点，则 ∵， ∴ 即 故解得或 因此经过、、三点的圆必过定点和. 【解析】 【分析】（1）由已知结合垂径定理列式求得值，则圆的方程可求； （2）由已知设出点坐标，再由已知可知过，，三点的圆是以为直径的圆，设圆上任意一点，则，整理可得圆系方程，联立即可求得经过，，三点的圆所过定点的坐标． 【详解】（1）设圆心，则圆心到直线的距离 由题意可得，即，解得或（舍） 所以圆的方程为 （2）略 【点睛】本题考查利用弦长求圆的方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查圆系过定的问题，同时考查了计算能力，是中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $