2025年中考数学压轴题训练——二次函数与特殊四边形综合

2025年中考数学压轴题训练——二次函数与特殊四边形综合 1．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点C是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点C作x轴的垂线交直线于点D，当，求此时C点的坐标； (3)将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点E为点B的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点B，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点G的坐标． 2．等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”． (1)已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与轴的两个交点坐标为，，则此抛物线的顶点是_____； (2)如图，抛物线是“美丽抛物线”，顶点，与轴交于两点，在轴上方的抛物线上找一点，且，请求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是平面内一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线分别与轴、轴交于，和点，对称轴为直线． (1)求的值及，两点的坐标； (2)已知点在直线上运动． ①问当点在上什么位置时，与，距离之和最短，最短为多少？ ②抛物线上是否存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 4．如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)设P为抛物线上一动点，点P在直线上方时，过P作轴，交于点E，过E作轴于F，求的最大值及此时点P的坐标： (3)若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点和点，与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作轴，交直线于点Q，设点P的横坐标是m．求线段的长度n关于m的函数关系式； (3)若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，B两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)经过，两点的直线交抛物线的对称轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上，点在轴上，是否存在这样的点与点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标． 9．如图，已知二次函数的图像经过，两点． （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）当为何值时，？ （3）在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于，两点（点在对称轴的左侧），过点，作轴的垂线，垂足分别为，．当矩形为正方形时，求点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C1：y＝x2＋3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C2．C2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线C2的解析式； （2）若抛物线C2的对称轴与x轴交于点C，与抛物线C2交于点D，与抛物线C1交于点E，连结AD、DB、BE、EA，请证明四边形ADBE是菱形，并计算它的面积； （3）若点F为对称轴DE上任意一点，在抛物线C2上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请求出点G的坐标，如果不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形； （3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，二次函数的图象经过A(2，0)，B（0，-6）两点. (1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积. (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P．使得以O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由. 13．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设D（m，n），矩形ABCD的周长为l，写出l与m的关系式，并求出l的最大值； （3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否还存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出F点的坐标． 15．如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与y轴交于点C． （1）求该抛物线的关系式，并判断的形状； （2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、B、C、D四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标 ； （3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． 16．如图，抛物线（＞0）与y轴交于点C,与x轴交于A 、B两点，点A在点B的左侧，且 （1）求此抛物线的解析式； （2）如果点D是线段AC下方抛物线上的动点，设D点的横坐标为x，△ACD的面积为S，求S与x的关系式，并求当S最大时点D的坐标； （3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点的平行四边形？若存在求点P坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． (1)求b，c的值； (2)如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值． (3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点B（1，0）点，与y轴交于点C（0，3），对称轴l与x轴交于点F，点E是直线AC上方抛物线上一动点，连接AE、EC． (1)求抛物线的解析式； (2)当四边形AECO面积最大时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年2月10日初中数学作业》参考答案 1．(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，设 则点即可得到，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式得：；当或为对角线时，列方程求出值解题． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：设直线AB的解析式为， 则，解得， ∴直线的表达式为： 设则点 ∴， 解得： 则点或 （3）解：将抛物线沿射线平移个单位，即向左平移个单位向上平移个单位，则， ∴点对应的点， 设点， 点， 当为对角线时，由中点坐标公式得：， 则， 即点； 当或为对角线时， 同理可得： 或， 解得：或， 即点或； 综上， 或或． 2．(1) (2) (3)存在，或或，理由见详解 【分析】（1）根据题意，可得中点为，对称轴直线为，结合“美丽抛物线”的定义即可求解； （2）根据题意可得的中垂线为直线，由新定义可得，根据中点坐标得到，即可求出，设抛物线解析式为，把顶点坐标代入可得二次函数解析式，设，则有，，根据，列式求解即可； （3）根据平行四边形的性质，由中点坐标的计算方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴中点为，对称轴直线为， ∵抛物线是“美丽抛物线”， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：根据题意可得的中垂线为直线， ∴，即， 解得，， ∴， 设抛物线解析式为，把顶点坐标代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∵点是轴上方抛物线上一点， ∴设， 如图所示，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得，， 解得，， ∴，则， ∴； （3）解：存在，理由如下， 已知，设， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴对角线的中点坐标相同， 第一种情况，以为对角线， ∴， 解得，， ∴； 第二种情况，以为对角线， ∴， 解得，， ∴； 第三种情况，以为对角线， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查定义新运算，平行四边形的性质，中点坐标的计算，解直角三角形的运用，二次函数图象的性质，掌握解直角三角形的计算，二次函数与平行四边形的综合运用，中点坐标的计算方法是解题的关键． 3．(1) (2)①当时，与，距离之和最短，最短为； ②抛物线上存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标 【分析】（1）根据对称轴直线可得，由此得到二次函数解析式，根据二次函数与坐标轴的交点的计算可得的坐标； （2）①如图所示，连接交对称轴直线于点，则有的最小值即为的值，运用勾股定理可得，运用待定系数法可得直线的解析式，当时可得点的坐标，由此即可求解；②设，根据平行四边形的性质，运用对角线中点坐标，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴直线， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 令，则， ∴， 令，则，即， 解得，， ∴； （2）解：①如图所示，连接交对称轴直线于点， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的最小值即为的值， 由（1）可得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时， ∴当时，与，距离之和最短，最短为； ②存在，理由如下， 点是抛物线上的一点，点的横坐标为， 设， 第一种情况，以为对角线，四边形是平行四边形， ∴对角线的中点的横坐标为， ∴对角线的中点的横坐标为， 解得，， 则， ∴； 第二种情况，以为对角线，四边形是平行四边形， ∴， 解得，， 此时点与点重合，不符合题意； 第三种情况，以为对角线，四边形是平行四边形， ∴， 解得，， 则， ∴； 综上所述，抛物线上存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数对称轴直线的计算方法，二次含与坐标轴交点的计算方法，轴对称最短路径的计算，二次函数与平行四边形的综合，中点坐标的计算方法是解题的关键． 4．(1) (2)的最大值为4， (3)存在，点N的坐标为或 【分析】（1）将两点代入，即可求解； （2）求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，根据，，即可求解； （3）由，得抛物线的对称轴直线为，设点M的坐标为，点N的坐标为，分类讨论当线段为平行四边形的边时，当线段为平行四边形的对角线时两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由题意得，，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， 由得 设直线的解析式为，过点，两点， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， ∴， ， ∴， ∴当，的最大值为4，此时； （3）解：∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴直线为， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ①当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线，如图所示， 由对角线互相平分可得， ，解得 ， ∴此时点N的坐标为； 或当点M在N下方时，则与为平行四边形的对角线，如图所示， ，解得，此时，不成立； ②当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线，如图所示， 由对角线互相平分可得， ，解得 ， ∴此时点N的坐标为； 综上可得，存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形，此时点N的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与线段、特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键. 5．(1)，抛物线的对称轴为直线； (2)，的最大值为 (3)存在，点M的坐标为或．理由见解析 【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴计算公式进行求解即可； （2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以，则抛物线的对称轴为直线． （2）解：由抛物线表达式得：C点坐标为， 设直线的表达式为，将点B的坐标代入上式得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为． （3）解：存在，理由如下： 当时，点， 设点，而点； 四边形是菱形，则， 即，解得：， 即点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． 6．(1) (2) (3)或或． 【分析】本题主要考查的是二次函数综合运用、一次函数图象的平移、平行四边形性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将点和点代入抛物线求得a、b的值即可解答； （2）先求出直线的表达式为：，则点，，据此即可解答； （3）分是边、是对角线两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线可得： ，解得：， ∴． （2）解：∵， ∴， 如图：设点且， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴点， ∴，即． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 点，点，设点，，点， ①当是边时，点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到B， 同样点向右平移3个单位向上平移3个单位得到，即，， 解得：或4， ∴M点的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点公式得：， 解得：， ∴M点的坐标为． 综上，M点的坐标为或或． 7．(1) (2) (3)存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或． 【分析】（1）由点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，利用配方法可求出顶点E的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标；设，直线解析式为，得出直线解析式为，，依据，利用二次函数的性质解答即可得解∶ （3）设点M的坐标为，点N的坐标为，分四边形为平行四边形、四边形为平行四边形及四边形为平行四边形三种情况，利用平行四边形的性质找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：将，，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，有， 解得：，， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设过两点的直线解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为， 点纵坐标为， ， 如图，与交于点，    设， 直线的解析式为， 代入坐标，得：， 解得：， 直线解析式为， 点的纵坐标为：， ，， 当时，最大， 的纵坐标为：， 此时点的坐标为：； （3）解：存在这样的点与点，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形， 理由如下：设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况考虑：    ①如图2，当四边形为平行四边形时， 得：， 解得：， 此时点的坐标为：； ②如图3，当四边形为平行四边形时， 得：， 解得：， 此时点的坐标为：； ③如图4，当四边形为平行四边形时， 得：， 解得：， 此时点的坐标为：； 综上所述，存在这样的点与点，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是∶(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法，求出点D，E的坐标；(3)分四边形为平行四边形、四边形为平行四边形及四边形为平行四边形三种情况求出点M的坐标． 8．(1) (2)， (3)存在，， 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质： （1）令，时，分别代入，求得点，，的坐标，设抛物线的表达式为，将代入，即可求得答案； （2）作于点，交于，可得，可得，根据二次函数的图像和性质，即可求得答案； （3）设，可得，，根据，可求得，结合， 即可就得答案． 【详解】（1）解：令时，代入， ∴ ． ∴． 令时，代入， ∴ ． ∴ ． ∵对称轴为直线， ∴． 设抛物线的表达式：，将代入，得 ． ∴． ∴抛物线的表达式为：． （2）如图所示， 作于点，交于． ∴，．     ∴． ∴． ∴当时， ． ∴． （3）存在，理由如下： 设． ∵，， ∴，． ∵以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，即． ∴． ∴． ∴． ∵， ， ∴，． ∴． 9．（1），直线；（2）当时，；（3）点坐标为： 【详解】解：（1）二次函数的图像经过，两点． ， 解得：， ， ， ， ， 对称轴为：直线． （2）当， ， ， ，， 抛物线与轴交点坐标为：，，，， 当时，； （3）当矩形为正方形时， 假设点坐标为， 点坐标为，， 即：，， 对称轴为：直线，到对称轴距离等于到对称轴距离相等， ， 解得：，（不合题意舍去）， 时，， 点坐标为：． 10．解：（1）∵将抛物线C1：y＝x2＋3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C2， ∴抛物线C1的顶点（0，3）向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到（1，－4）． ∴抛物线C2的顶点坐标为（1，－4）． ∴抛物线C2的解析式为，即． （2）证明：由解得， ∵点A在点B的左侧，∴A（－1，0），B（3，0），AB=4． ∵抛物线C2的对称轴为，顶点坐标D为（1，－4），∴CD=4．AC=CB=2． 将代入y＝x2＋3得y＝4，∴E（1， 4），CE=DE． ∴四边形ADBE是平行四边形． ∵ED⊥AB，∴四边形ADBE是菱形． ． （3）存在．分AB为平行四边形的边和对角线两种情况： ①当AB为平行四边形的一边时，如图， 设F（1，y）， ∵OB=3，∴G1（－2，y）或G2（4，y）． ∵点G在上， ∴将x=－2代入，得；将x=4代入，得． ∴G1（－2，5），G2（4，5）． ②当AB为平行四边形的一对角线时，如图， 设F（1，y），OB的中点M，过点G作GH⊥OB于点H， ∵OB=3，OC=1，∴OM=，CM=． ∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM=．∴OH=2． ∴G3（2，－y）． ∵点G在上， ∴将（2，－y）代入，得，即． ∴G3（2，－3）． 综上所述，在抛物线C2上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形，点G的坐标为G1（－2，5），G2（4，5），G3（2，－3）． 【详解】试题分析：（1）根据平移的性质，写出平移后的顶点坐标即可得出抛物线C2的解析式． （2）求出点A、B、D、E的坐标，即可根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形的判定得到证明；从而根据菱形的性质求出面积． （3）分AB为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可． 11．解：（1）由题意得， 解得：b=2，c=﹣3， 则解析式为：y=x2+2x﹣3； （2）由题意结合图形 则解析式为：y=x2+2x﹣3， 解得x=1或x=﹣3， 由题意点A（﹣3，0）， ∴AC=，CD=，AD=， 由AC2+CD2=AD2， 所以△ACD为直角三角形； （3）由（2）知ME取最大值时ME=，E（，﹣），M（，﹣）， ∴MF=，BF=OB﹣OF=． 设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形， 则BP∥MF，BF∥PM． ∴P1（0，﹣）或P2（3，﹣）， 当P1（0，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣， ∴P1不在抛物线上． 当P2（3，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣， ∴P2不在抛物线上． 综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【详解】试题分析：（1）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），由抛物线的顶点的坐标公式可得方程组，解方程组即可得b，c的值，从而得解析式； （2）把y=0代入y=x2+2x﹣3，可得方程0=x2+2x﹣3，解得x=1或x=﹣3，即可得点A的坐标，根据勾股定理求得AC，CD，AD的长，再由勾股定理的逆定理即可△得ACD为直角三角形； （3）要使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：�AB为平行四边形，这时必须满足的条件是AB平行且等于EF，那么只需将E点的坐标向左或向右平移AB长个单位即可得出F点的坐标，然后将得出的F点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的F点；�AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分可知F点必在对称轴上，即F点与D点重合，即可得点F的坐标. 试题解析： 解：（1）由题意得， 解得：b=2，c=﹣3， 则解析式为：y=x2+2x﹣3； （2）把y=0代入y=x2+2x﹣3，可得0=x2+2x﹣3 解得x=1或x=﹣3， ∴A（﹣3，0）， ∴AC=，CD=，AD=， 由AC2+CD2=AD2， 所以△ACD为直角三角形； （3）∵A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB=4， ∵点E在抛物线的对称轴上， ∴点E的横坐标为﹣1， 当AB为平行四边形的一边时，EF=AB=4， ∴F的横坐标为3或﹣5， 把x=3或﹣5分别代入y=x2+2x﹣3，得到F的坐标为（3，12）或（﹣5，12）； 当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分， ∴F点必在对称轴上，即F点与D点重合， ∴F（﹣1，﹣4）． ∴所有满足条件的点F的坐标为（3，12），（﹣5，12），（﹣1，﹣4）． 考点：二次函数综合题. 12．（1）（4，2）；（2）6；（3）存在， P1（2，6），P2（2，－6） 【分析】（1）题利用待定系数法求出解析式； （2）以AC为三角形的底，OB为三角形的高，求出三角形的底与高就可以求出，三角形面积； （3）分两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）将A（2，0）、B（0，﹣6）两点代入则： ，解得：， ∴解析式为y=x2+4x﹣6， ∵y=x2+4x﹣6=， ∴顶点坐标为：（4，2）； （2）令x2+4x﹣6=0，∴x2﹣8x+12=0，∴解得：x1=2，x2=6，∴另一个交点C（6，0）， ∴AC=2，∴S△ABC=×2×6=6； （3）存在．分两种情况讨论： ①显然过B作BP//OC交对称轴于点P，则四边形OBPC是矩形，此时P(2，－6)； ②过O作OP//BC交对称轴于点P，∵OB//PC，∴四边形OBCP是平行四边形，∴CP=OB=6，∴P(2，6)． 综上所述：P（2，6）或P（2，－6）． 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的性质，以及平行四边形的判定方法，题目难度不大，非常典型． 13．（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5） 【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值； （3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标． 【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5； （2）∵AD=5，且OA=1， ∴OD=6，且CD=8， ∴C（﹣6，8）， 设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8， 代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3， ∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8）， ∵C（﹣6，8）， ∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位， ∴m的值为7或9； （3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线对称轴为x=2， ∴可设P（2，t）， 由（2）可知E点坐标为（1，8）， ①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图， 则∠BEF=∠BMP=∠QPN， 在△PQN和△EFB中 ∴△PQN≌△EFB（AAS）， ∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4， 设Q（x，y），则QN=|x﹣2|， ∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6， 当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7， ∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）； ②当BE为对角线时， ∵B（5，0），E（1，8）， ∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4）， 设Q（x，y），且P（2，t）， ∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5， ∴Q（4，5）； 综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）． 14．（1）y=﹣x2+4x；（2）l=﹣2（m﹣1）2+10，周长l有最大值10；（3）存在，F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4） 【分析】（1）根据条件确定出M的坐标为（4，0），顶点P的坐标为（2，4），然后设顶点式代入计算即可； （2）根据点D的坐标（m，n），用m表示出矩形ABCD的长和宽，然后代入矩形的周长计算公式化简即可； （3）分OM是平行四边形的边和OM是平行四边形的对角线两种情况讨论，然后利用抛物线的性质和平行四边形的性质可确定出满足条件的点F的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4， ∴顶点P的横坐标为4÷2=2，M的坐标为（4，0）， ∵顶点P到x轴的距离是4， ∴顶点P的纵坐标为4， ∴顶点P的坐标为（2，4）， 设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+4，则a（4﹣2）2+4=0， 解得a=﹣1， ∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+4，即y=﹣x2+4x； （2）∵D（m，n）在抛物线上， ∴n=﹣m2+4m，BC=4﹣2m， ∴矩形ABCD的周长为 l=2（4﹣2m+n）=2（4﹣2m﹣m2+4m）=﹣2（m2﹣2m+1）+10=﹣2（m﹣1）2+10， 即l=﹣2（m﹣1）2+10， ∴当m=1时，周长l有最大值10； （3）①OM是平行四边形的边时， 点F的横坐标为2﹣4=﹣2，纵坐标为：﹣（﹣2）2+4×（﹣2）=﹣4﹣8=﹣12， 此时点F（﹣2，﹣12）， 或点F的横坐标为2+4=6，纵坐标为：﹣62+4×6=﹣36+24=12， 此时，点F（6，﹣12）， ②OM是平行四边形的对角线时，EF所在的直线经过OM的中点， ∴EF都在抛物线的对称轴上， ∴点F与点P重合，此时点F（2，4）， 综上所述，点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形． 15．（1）抛物线的解析式为y=-x2+x+1；△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°（2）D（，1）；（3）点P（，-）或（-，-9） 【详解】试题分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可确定抛物线的解析式；进而可得到C点坐标，进而可求出AC、BC、AB的长，然后再判断△ABC的形状； （2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，点C关于抛物线对称轴的对称点符合点D的要求，由此可求出点D的坐标； （3）在（1）题已将证得∠ACB=90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑： ①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标． ②以AC、BP为底，BC为高；方法同①． 试题解析：（1）由题意得： ， 解得； ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1； ∴C（0，1）； ∴AC2=+1=，BC2=1+4=5，AB2=（2+）2=； ∴AC2+BC2=AB2，即△ABC是直角三角形，且∠ACB=90° （2）由（1）的抛物线知：其对称轴方程为x=； 根据抛物线和等腰梯形的对称性知：点D（，1）； （3）存在，点P（，-）或（-，-9）； 若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底； ∵B（2，0），C（0，1）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+1； 设过点A且平行于BC的直线的解析式为y=-x+h， 则有：（-）×（-）+h=0，h=-； ∴y=-x-； 联立抛物线的解析式有： 解得： 或 ∴点P（，）； 若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底， 同理可求得P（-，-9）； 故当P（，）或（-，-9）；时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形． （根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可） 考点：二次函数综合题． 16．解： （1）由已知可得C（0，-3）， ∵，∠COB=90°，∴， ∴B（1,0） ----------------- 1分 ∵抛物线（＞0）过点B， ∴m+3m-3="0" ， ∴m= ∴抛物线的解析式为 ------- 2分 （2）如图，∵抛物线对称轴为，B（1,0）∴A（-4,0）连接OD， ∵点D在抛物线上 ∴设点D（x ，），则 = = ---------------------------3分 ∴S= -------------------------- 4分 ∴当x=-2时，△ACD的面积S有最大值为6. 此时，点D的坐标为（-2，）． ----------------------- 5分 （3）①如图2，当以AC为边，CP也是平行四边形的边时， CP∥AE，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，此时P（-3，-3）. 【详解】试题分析：根据题意得出点C的坐标，根据tab∠OCB的值得出点B的坐标，然后将点B代入解析式得出m的值；根据题意得出A、B两点的坐标，连接OD，设出点D的坐标，将△ACD的面积转化成△AOD的面积+△DOC的面积－△AOC的面积，得出函数解析式，然后化成顶点式求出最值；本题根据平行四边形的性质分三种情况分解进行讨论，得出点P的坐标． 试题解析：（1）由已知可得C（0，-3），∵，∠COB=90°，∴ ，∴B（1,0） ∵抛物线（＞0）过点B，∴m+3m-3="0" ， ∴m= ∴抛物线的解析式为 、如图1，∵抛物线对称轴为，B（1,0）∴A（-4,0） 连接OD，∵点D在抛物线上∴设点D（x ，），则 == ∴S= ∴当x=-2时，△ACD的面积S有最大值为6． 此时，点D的坐标为（-2，）． （3）①如图2，当以AC为边，CP也是平行四边形的边时，CP∥AE，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，此时P（-3，-3）． ②如图3，当以AC为对角线，CP为边时，此时P点的坐标是（-3，-3） ③如图4、图5，当以AC为边，CP是平行四边形的对角线时，点P、C到x轴的距离相等，则=3，解得，此时P（，3）（如图4）或（，3）（如图5） 综上所述，存在三个点符合题意，分别是（-3，-3），（，3）， （，3）． 考点：二次函数的综合应用． 17．(1)y＝﹣x2﹣2x+3； (2)﹣，； (3)存在，M坐标为（1，4）或（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）或（﹣，） 【分析】（1 ）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解析式； （2 ）求出直线BC的解析式y＝x+3，过P点作PQ⊥x轴交BC于Q，由已知可得P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），则S△PBC＝﹣（m+）2+，当m＝﹣时，S△PBC有最大值，此时P（﹣，）； （3 ）平移后抛物线解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5，联立﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣6x﹣5，求出D（﹣2，3），则BD＝，设M（t，t+3），分三种情况：当四边形BDMN为菱形时，由DB＝DM，得10＝（t+2）2+t2，求出M（1，4）；当四边形BDNM为菱形时，由BD＝BM，得10＝（t+3）2+（t+3）2，求出M（﹣3，）或M（﹣﹣3，﹣）；当四边形BMDN为菱形时，设BD的中点为G，则G（﹣，），由勾股定理得BM2＝BG2+GM2，即2（t+3）2＝（）2+（t+）2+（t+）2，求出M（﹣，）． 【详解】（1）解：将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得， ∴y＝﹣x2﹣2x+3； （2）解：令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+n， 则有， 解得， ∴y＝x+3， 过P点作PQ⊥x轴交BC于Q， 由已知可得P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3）， ∴S△PBC＝×3×（﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3）＝（﹣m2﹣3m）＝﹣（m+）2+， ∵－3＜m＜0，－＜0， ∴当m＝﹣时，S△PBC有最大值， 此时P（﹣，）； （3）解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， 将抛物线向左平移2个单位长度，则y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5， 联立得：﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣6x﹣5， ∴x＝﹣2， ∴D（﹣2，3）， ∵B（﹣3，0）， ∴BD＝， ∵M点在直线BC上， 设M（t，t+3）， 当四边形BDMN为菱形时，如图1， ∴DB＝DM， ∴10＝（t+2）2+t2， ∴t＝1或t＝﹣3（舍）， ∴M（1，4）； 当四边形BDNM为菱形时，如图2， ∴BD＝BM， ∴10＝（t+3）2+（t+3）2， ∴t＝﹣3或t＝﹣﹣3， ∴M（﹣3，）或M（﹣﹣3，﹣）；    当四边形BMDN为菱形时，如图3， 设BD的中点为G，则G（﹣，）， ∵GM⊥BD， ∴BM2＝BG2+GM2， ∴2（t+3）2＝（）2+（t+）2+（t+）2， ∴t＝﹣， ∴M（﹣，）； 综上所述：M点的坐标为（1，4）或（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）或（﹣，）． 【点睛】本题考查几何图形与二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、二次函数图象的平移、菱形的性质、三角形的面积公式、勾股定理、解一元二次方程等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论和数形结合思想求解是解答的关键． 18．(1)y＝﹣x2﹣2x+3 (2)E（﹣，） (3)存在，（﹣，）或（，﹣）或（，﹣） 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可； （2）连接OE，设E（m，﹣m2﹣2m+3）,令,求得点的坐标，进而根据S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC列出关系式，而的面积是定值，进而当S△AEC最大时，四边形AECO面积最大，根据二次函数的性质求得最值即可； （3）分是平行四边形的边和平行四边形的对角线分析，①EF是平行四边形的边，根据平行四边形的对称性，满足条件的点Q的纵坐标为±，代入二次函数解析式，即可求得点的坐标，②当EF为对角线时，满足条件的点Q的纵坐标为，同①解方程即可 【详解】（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B（1，0），与y轴交于点C（0，3），则： ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3． 故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）． 当﹣x2﹣2x+3=0时 x1=-3,x2=1 ∴OA＝OC＝3， , 当取得最大值时，即四边形AECO面积最大 ∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC ＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×3 ＝﹣（m+）2+， ∵﹣＜0， ∴m＝﹣时，△AEC的面积最大，即四边形AECO面积最大 ∴E（﹣，）； （3）存在．如图2中，因为点P是x轴上，点Q在抛物线上 ①EF是平行四边形的边，根据平行四边形的对称性，满足条件的点Q的纵坐标为±， 对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝时，﹣x2﹣2x+3＝，解得x＝﹣（舍弃）或﹣， ∴Q1（﹣，）． 当y＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝﹣，解得x＝， ∴Q2（，﹣），Q3（，﹣）． ②当EF为对角线时, ﹣x2﹣2x+3＝，解得x＝﹣（舍弃）或﹣， ∴Q1（﹣，）． 综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，﹣） 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，已知函数值求自变量的值，分类讨论是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$