精品解析：辽宁省朝阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

辽宁省朝阳市高一年级期末联合考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教B版必修第一册，第二册第四章~第六章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以． 故选:B． 2. 已知，则（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】直接代入即可. 【详解】令，则. 故选：B. 3. 某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（ ） A. 150 B. 130 C. 120 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】由条件，根据分层抽样的性质列方程求该企业职工人数. 【详解】设该企业职工人数为， 由分层抽样性质可得， 解得， 所以该企业职工人数为. 故选：A. 4. “且”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质以及举反例即可得到答案. 【详解】由“且”，则“且”，故充分性满足； 反之，若“且”，取，显然成立， 但并不满足“且”，故不满足必要性. 故选：A. 5. 如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意，为线段的中点， 则 ． 故选：D． 6. 某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】记另3名同学分别为a，b，c， 所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种． 小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种， 综上，小王和小张都没有挑出的概率为． 故选：B. 7. 著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 8. 已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由必要条件定义可得，由此可得在恒成立，结合二次函数性质列不等式可得的关系，结合不等式性质求结论. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以成立. 令，得在恒成立， 所以，所以， ，又， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于平面向量的说法错误的是（ ） A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则 C. 若，则不是共线向量 D. 若，则一定存在实数，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由方向可判断A，由相等向量概念可判断B，由共线向量的概念可判断C，由且时，可判断D； 【详解】是共线的单位向量，则或，A错误； 向量相等，即大小相等，方向相同，B正确； 若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误； 若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误． 故选：ACD． 10. 已知，，.则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得的范围，整理可得，利用基本不等式可判断AC；利用二次函数的性质可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断D. 【详解】因为，，，所以，所以， 对于A：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，即，故B正确； 对于C：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B，由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D． 【详解】当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确； 因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误； 因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； 当时，，所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则________. 【答案】（答案不唯一）. 【解析】 【分析】举例，再分析其定义域与单调性即可. 【详解】举例，其定义域为定义域为，且为减函数， 故答案为：（答案不唯一）. 13. 某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是________. 【答案】85 【解析】 【分析】根据平均数、方差的计算公式求解即可. 【详解】设更正前甲,乙,丙...的成绩依次为， 则， 即， 所以， ， 即， 所以. 更正后的平均分， 更正后的方差 . 故答案为：. 14. 已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法结合二次函数的零点计算即可 【详解】易知，令， 则满足条件需关于的方程在上有两个不相等的实数根， 由，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． （1）求双方需要进行第三局比赛的概率； （2）若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由互斥事件和事件概率加法公式可得； （2）将所求事件转化为这互斥事件的和事件，再由概率加法公式可求. 【小问1详解】 若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局， 因为前两局比赛中，双方各先手一次， 故双方需要进行第三局比赛的概率． 【小问2详解】 记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥， 由， ， ， 得． 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），的值分别为，，或，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． 【小问1详解】 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. 【小问2详解】 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 17. 对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在及以下的部分，收费标准为3元；季度用水量超过但不超过的部分，收费标准为4元；季度用水量超过的部分，收费标准为6元． （1）求某户居民用水费用（单位：元）关于季度用水量（单位：）的函数关系式； （2）为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了2024年第三季度本市1000户居民每户的季度用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这1000户居民中，季度用水费用超过200元的有400户，求直方图中的值以及季度用水量的第75百分位数． 【答案】（1）； （2），季度用水量的第75百分位数为． 【解析】 【分析】（1）根据题设依次写出、、对应解析式，进而写出分段函数形式； （2）根据频率直方图求参数，由百分位数的定义求季度用水量的第75百分位数. 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，； 所以与之间的函数关系式为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，即季度用水量超过的占， 结合频率分布直方图知，解得． 设第分位数为， 因为季度用水量低于的所占比例为，低于的占， 所以第分位数在内，故，解得， 即季度用水量的第分位数为． 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）判断在上的单调性并利用定义法证明； （3）求在上的最大值. 【答案】（1）； （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，即 因为，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. 19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. （1）当时，计算； （2）证明：，，，都有； （3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）5 （2）证明：因为， ， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算即可； （2）根据新定义及对数的运算性质证明； （3）根据新定义化简函数解析式，再由对数型复合函数的性质求值域即可得解. 【小问1详解】 解：当时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由新运算可知， . 令，则在上单调递减， 由于在上的值域为，所以，则， 所以在上单调递增，则，即， 整理得，，所以， 将代入，得， 同理得，. 所以，是函数在上的两个不同的零点， 则，解得, 所以， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市高一年级期末联合考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教B版必修第一册，第二册第四章~第六章第1节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 9 B. 8 C. 3 D. 1 3. 某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（ ） A. 150 B. 130 C. 120 D. 100 4. “且”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于平面向量的说法错误的是（ ） A. 若是共线的单位向量，则 B. 若，则 C. 若，则不是共线向量 D. 若，则一定存在实数，使得 10. 已知，，.则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则________. 13. 某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是________. 14. 已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． （1）求双方需要进行第三局比赛的概率； （2）若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 17. 对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在及以下的部分，收费标准为3元；季度用水量超过但不超过的部分，收费标准为4元；季度用水量超过的部分，收费标准为6元． （1）求某户居民用水费用（单位：元）关于季度用水量（单位：）的函数关系式； （2）为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了2024年第三季度本市1000户居民每户的季度用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这1000户居民中，季度用水费用超过200元的有400户，求直方图中的值以及季度用水量的第75百分位数． 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）判断在上的单调性并利用定义法证明； （3）求在上的最大值. 19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. （1）当时，计算； （2）证明：，，，都有； （3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $