精品解析：河南省许昌市禹州市第三高级中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题

高一年级期末考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 5. 声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列各式值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为实数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在上具有单调性 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 已知某个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为__________. 13. 已知且，则__________. 14. 已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为__________. 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数且的图象过坐标原点. （1）求的值； （2）设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 16. 已知. （1）求； （2）求 17 已知函数. （1）设函数，实数满足，求； （2）若在时恒成立，求的取值范围. 18. 为了预防冬季流感，某学校对教师用过氧乙酸熏蒸进行消毒，已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示． （1）从药物释放开始，写出y与t的函数关系式； （2）据测定，当教室空气中含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室； （3）若空气中每立方米的含药量不少于0.5毫克，且连续16分钟时，才有消毒效果，根据所得函数模型，问这样消毒是否达到预期的效果． 19. 已知函数且的图象过点. （1）求不等式的解集； （2）已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级期末考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的交运算求集合. 【详解】由. 故选：B 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由量词命题的否定判断即可． 【详解】特称命题的否定是全称命题， 是：， 故选：B． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将弦化切后计算即可得. 【详解】由，故， 则有. 故选：C. 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求得的一个三角函数值，再结合角所在象限可得． 【详解】由题意点坐标为，因此是第一象限角，又，∴， 又，∴． 故选：D． 5. 声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可计算出、，而后代入计算即可得. 【详解】由题意可得，故， 则当时，有， 解得. 故选：B. 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求解． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 7. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数性质可将转化为，由函数单调性计算即可得. 【详解】， 则， 由，故， 故， 又，随增大而增大， 故在上单调递减，又， 故可转化为， 则有，即，即，故. 故选：D. 8. 已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数恰有4个零点，即方程， 即有4个不同的实数根， 即直线与函数的图象有四个不同的交点． 又 做出该函数图象如图所示， 由图得，当时，直线与函数图象有4个不同的交点， 故函数恰有4个零点时， b的取值范围是故选D． 考点：1、分段函数；2、函数的零点． 【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据诱导公式、二倍角公式、两角和的正弦公式计算后判断． 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C， ，故C错误； 对D，，故D正确； 故选：BD． 10. 已知为实数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断AC；利用特值法判断BD. 【详解】对于A，若，可知，由不等式的性质可得，故A正确； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，∵，∴，又，∴，故C正确； 对于D，∵，取，则， 此时，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在上具有单调性 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用赋值法结合函数性质逐个判断即可得． 【详解】对A：令，则有，即，故A正确； 对B：令，则有，即， 由，故，即，故B正确； 对C：函数的定义域为，则函数的定义域为， 令，则有， 即，即， 故函数为奇函数，故C正确； 对D：令，则有， 即，即有， 则当时，有，即， 故在上不具有单调性，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 已知某个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】将圆心角转化为弧度制后借助弧长公式计算即可得. 详解】rad，故. 故答案为：2. 13. 已知且，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】结合对数运算性质计算即可得. 【详解】由，则， 即有，故，则或， 又，故. 故答案为：9. 14. 已知函数若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由与的图象关于直线对称，得出函数与的图象在时有交点，在时有解，令（），由单调性求出的范围或最大值即可得． 【详解】与图象关于直线对称，因此函数的图象上存在关于直线的对称点， 则函数与的图象在时有交点， 即在时有解，在时有解， 令（），设，则， ，，∴， 从而，∴在上是增函数， 由题意，所以的最大值是． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：两个函数的图象关于直线对称，则它们互为反函数，而函数图象上存在两个点关于直线对称可以转化为反函数（需有反函数的部分）的图象与函数图象（函数的另一部分）有公共点，从而转化为方程有解． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数且的图象过坐标原点. （1）求的值； （2）设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】（1） （2）或3 【解析】 【分析】（1）利用的图象过坐标原点得到关于的方程，解之即可得解； （2）利用指数函数的单调性，分类讨论的取值范围，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【小问1详解】 因为的图象过坐标原点， 所以，解得. 【小问2详解】 若，则在上单调递减， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 若，则在上单调递增， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 综上，的值为或3. 16. 已知. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角关系式求得，然后由两角差的正切公式求解； （2）由两角差的正切公式求得，再利用二倍角公式、同角关系化为齐次式，再得关于的式子，代入求值． 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 ， 所以. 17. 已知函数. （1）设函数，实数满足，求； （2）若在时恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性进行求解； （2）分类讨论，分别求出在上的最小值，从而得出结论，注意利用勾形函数的性质得出单调性． 【小问1详解】 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 则是奇函数，从而， 因为，所以，得， 所以. 【小问2详解】 若，则在上单调递增， 因为在时恒成立，所以，解得，所以. 若，由可得，当且仅当，即时等号成立， 则在上单调递减，在上单调递增. 若，则，解得，与矛盾； 若，则，解得，所以. 综上所述，的取值范围是. 18. 为了预防冬季流感，某学校对教师用过氧乙酸熏蒸进行消毒，已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示． （1）从药物释放开始，写出y与t的函数关系式； （2）据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室； （3）若空气中每立方米的含药量不少于0.5毫克，且连续16分钟时，才有消毒效果，根据所得函数模型，问这样消毒是否达到预期的效果． 【答案】（1）； （2）小时； （3）达到． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象以及题意即可求出； （2）解不等式即可求出； （3）根据不等式的解集区间长度与分的关系即可判断． 【小问1详解】 当时，设（为待定系数），根据点在直线上，所以；同理，当时，，解得：，故从药物释放开始，y与t的函数关系式为：． 【小问2详解】 由题意可知，，解得：，即消毒小时后，学生才能回到教室． 【小问3详解】 由可得，或，解得：，所以空气中每立方米的含药量不少于0.5毫克，且连续时间，所以，根据所得函数模型，这样消毒达到了预期的效果． 19. 已知函数且的图象过点. （1）求不等式的解集； （2）已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值. 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出值及函数，再解对数不等式即得. （2）利用函数的单调性脱去法则并变形，转化为一元二次不等式恒成立求解即得. 小问1详解】 依题意，，解得，则， ， 不等式，即，解得， 则有，即， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，，又在上单调递增， 则当时，不等式恒成立，等价于恒成立， 即恒成立，当时，，得， 设函数，其图象开口向上，对称轴方程为， 而，即， 又对任意恒成立，则， 于是在上的最小值为， 原问题转化为：存在，使得，即， 由于，则，要使成立，只需， 解得，又，所以的最小值为6. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$