28.2.解直角三角形及其应用 作业设计-2024-2025学年人教版数学九年级下册

28.2解直角三角形及其应用 教材版本 所在章节 人教版 九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 28.2.2应用举例 作业功能 巩固、诊断、提升、拓展、应用 知识要点 锐角三角函数、解直角三角形、数学建模思想 课标要求 内容要求： 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 学业要求： 知道直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数，能用锐角三角函数解决简单的实际问题。 教材分析 本节课是解直角三角形的应用举例的第3课时，属于复习课。在本章第一节介绍了锐角三角函数的定义，在此概念基础上引入解直角三角形，并通过例题和练习举例解直角三角形在实际生活中的应用。本节课在此内容之上，结合数学活动“测量旗杆的高度”，复习巩固解直角三角形的实际应用，形成建立几何模型解决实际问题的一般观念。 学情分析 知识状况: 学生已经掌握了锐角三角函数的概念，能够利用锐角三角函数解直角三角形，在应用举例的前两课时，已经学习了俯角仰角问题、方向角问题和坡度问题，能够利用解直角三角形的知识分析、解决简单的实际问题。 能力状况: 九年级学生具备了一定的数学抽象能力，能将实际问题抽象为数学问题，进行分析解决；但对于条件较复杂和隐蔽的实际问题，仍需要教师启发引导。 心理状况: 本节内容与学生作品和生活结合紧密，学生的求知欲望和兴趣较浓厚，充满好奇、思维活跃。 设计理念 本作业设计以新课程标准的理念为指导，以发展学生数学核心素养为导向，遵循“精心设计、合理布置、动态调整、优化评价”的原则，落实“双减”政策的要求，对数学作业进行梯度化、适量化、丰富化的设计，在发挥作业对课堂教学知识巩固作用的基础上优化作业的设计，力求提升作业的有效性与针对性，利用作业，让学生的思维可视化，使作业真正成为教师为学生号脉把关的有效载体，成为学生自我检测、自我评价、自我提升的助推器。 作业设计思路： 本节课是解直角三角形的应用的复习课，内容与实际生活联系紧密，所以在课前给学生布置了前置任务——设计方案测量学校旗杆高度。在课堂教学中展示学生不同的设计方案，通过小组交流讨论，从中抽象出数学模型，作为课中作业，及时反馈学生的学情，进行教学调整。最后，设置课后作业检测教学目标的达成度，将作业内容分为基础题、变式题和发展题三个层次，温故知新，满足不同基础孩子的学习需求；在题型设置上，包含常见的选择题、填空题和解答题，还增加了思维推展和数学活动形式的开放题型，把学生引领到丰富多彩的社会生活中，让学生在生活中理解课本的知识内涵，并运用课本知识去解决一些实际问题。 作业编制过程如下图： 作业目标 知识目标： 复习锐角三角函数和解直角三角形的知识，能够根据不同已知条件解直角三角形，在实际情境中能利用解直角三角形的知识分析问题，解决问题并规范作答。 关键能力与核心素养目标： 通过解决实际问题的过程，即先从实际问题中抽象出数学问题，再解决数学问题得到数学问题的答案，最后将数学问题的答案回到实际问题，使学生进一步体会数学模型思想和数学建模过程，培养应用意识，发展他们的数学抽象能力以及分析问题、解决问题的能力。 作业类型 课前作业：设计方案测量旗杆高度，时间不限； 课中作业：师生交流讨论，建立几何模型，预计30分钟； 课后作业：共10小题。1-8题为必做题，预计30分钟；9题为思维拓展题，10题为数学活动，这两题选作，时间不限。 第一部分 课前作业 作业内容 设计意图、核心素养和题目来源 学习解直角三角形之后，请你设计几种方案测量学校旗杆高度，并论证其可行性。可选用工具：测角仪，皮尺，无人机（可测角）。 设计意图： 本题依据教材中第二十七章《相似》的数学活动“测量旗杆的高度”进行改编，选用工具与课本中的不同，启发学生在学习解直角三角形的知识后还可以有不同的测量、计算方案。将此作为课堂前置任务，驱动学生思考，也为课堂交流展示奠定基础。 核心素养： 抽象能力，模型观念，应用意识，创新意识 题目来源： 改编自人教版数学九年级下册54页数学活动1“测量旗杆的高度”。 第二部分 课中作业 作业内容 设计意图、核心素养和题目来源 一、学生方案1 小组讨论交流： 1. 此方案中包含哪些几何模型？ 2. 已知几何模型中的哪些量可以解直角三角形，思路是什么？ 【答案】 一个直角三角形和一个矩形 二、学生方案2 小组讨论交流： 1.此方案中包含哪些几何模型？ 2.已知几何模型中的哪些量可以解直角三角形，思路是什么？ 【答案】 两个直角三角形和矩形 三、学生方案3 小组讨论交流： 1.此方案中包含哪些几何模型？ 2.已知几何模型中的哪些量可以解直角三角形，思路是什么？ 【答案】 两个直角三角形和矩形 四、教师方案 如图，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为45°，再用一架无人机从点C处起飞，沿直线CD以1.9 m/s的速度匀速垂直上升，4 s后无人机飞行至点D，在此处测得旗杆底端B的俯角为29°，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1，参考数据：sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55) 小组讨论交流： 1.此方案中包含哪些几何模型？ 2.如何计算旗杆的高度？ 【答案】 两个直角三角形 解：CD=1.9×4=7.6， 在Rt△DCB中，∠DBC=29°， ∴tan29°=，即， 解得CB≈13.82. 在Rt△ABC中，∠ACB=45°， ∴tan45°=，即， 解得AB≈13.8 答：旗杆AB的高度约为13.8米. 设计意图： 展示学生方案，引起学生兴趣；此方案包含的数学模型为直角三角形和矩形，引导学生思考已知哪些量可解直角三角形，求出其余元素；探索解直角三角形中分析问题和解决问题的一般思路，为接下来的分析提供方向。 核心素养： 抽象能力，几何直观，模型观念 题目来源： 学生方案 设计意图： 根据方案1的经验，学生容易发现方案2中的数学模型，通过类比迁移得出解此直角三角形的思路。 核心素养： 抽象能力，几何直观，模型观念 题目来源： 学生方案 设计意图： 巩固学生已有经验，在此基础上提升思维难度，每个直角三角形都不满足两个已知量，但其元素间存在等量关系，故引入方程。辨析哪种情况下需要借助方程，哪种情况可直接解，帮助学生建立解决此类问题的一般思路。 核心素养： 抽象能力，几何直观，模型观念 题目来源： 学生方案 设计意图： 补充学生方案中没有涉及到的方法，开拓学生思路；将此方案编制为一道完整的实际问题，让学生学以致用，体会建立几何模型解决实际问题的一般适用性，规范作答步骤。 核心素养： 抽象能力，几何直观，模型观念 题目来源： 教师自编 第三部分 课后作业 作业内容 设计意图、核心素养和题目来源 1.（基础题）在△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sin A=,则AB的长是（ ） A. B. C.60 D.80 【答案】D 设计意图： 复习直角三角形的三边关系和边与角的关系，练习解直角三角形。 核心素养： 运算能力，推理能力，几何直观 题目来源: 2021年云南数学中考真题 2.（基础题）已知一个斜坡的坡角为α，坡度为1︰2.5，那么下列结论中，正确的是 （ ） A.tanα=2.5 B.tanα= C.cosα= D.sinα= 【答案】B 设计意图： 复习坡度的定义，即铅直高度与水平距离的比值，为接下来与坡度相关的解直角三角形应用题目做知识准备。 核心素养：运算能力，几何直观 题目来源：自编 3.（基础题）计算：2sin60°·tan45°= ． 【答案】 设计意图： 复习锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，温故知新，是解直角三角形的必备知识。 核心素养：运算能力 题目来源:自编 4.（基础题）已知△ABC中，AB=AC=6，cos B=，则边BC的长度为 . 【答案】4 设计意图： 复习作高构造直角三角形进而求解的常用方法。 核心素养： 运算能力，推理能力，几何直观 题目来源：自编 5.（变式题）如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6m的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB=1.5m,BE=2.3m，求拉线CE的长．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414,≈ 1.732) 【答案】 设计意图： 此题指向学生方案1中的几何模型，通过练习深化认识，透过不同的实际情境认识几何模型的一般适用性。 核心素养： 运算能力，几何直观，应用意识 题目来源: 改编自人教版数学九年级下册复习题28第8题. 6.（变式题）如图，测量船从灯塔P的北偏东60°方向的A处沿正南方向航行，一段时间后到达灯塔P南偏东45°方向的B处，若AP为100 n mile，求BP的长.（结果保留整数.参考数据：） 【答案】 解：如图，作PC⊥AB，垂足为C ∴∠APC=30°，∠BPC=45°， AP=100 n mile 在Rt△APC中，cos∠APC=， ∴PC=PA·cos∠APC= n mile 在Rt△PCB中，cos∠BPC=， ∴PB= n mile 答：BP的长是123 n mile. 设计意图： 此题指向学生方案2中的几何模型，在不同的实际情境中，结合方位角，考察学生对几何模型的掌握情况。 核心素养： 运算能力，几何直观，应用意识 题目来源: 改编自人教版数学九年级下册76页例5. 7.（变式题）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角为45°，然后沿着坡度为 i=1：的坡面AD走了300m到达D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC．（结果保留根号） 【答案】 设计意图： 此题包含的几何模型较复杂，结合坡度和仰角的概念，考察学生综合分析，转化条件解直角三角形的能力。 核心素养：运算能力，几何直观，应用意识 题目来源: 选自五年中考三年模拟数学九年级下册 8.（发展题）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN.综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度(EF与MN之间的距离)，已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度．(用非特殊角的三角函数或根式表示即可) 【答案】 解:如图,过点C,D分别作CP⊥MN,DQ⊥MN,垂足分别为P,Q,设河宽为x米. 由题意知,△ACP为等腰直角三角形, ∴AP=CP=x,BP=x-20, 在Rt△BDQ中,∠BDQ=55°, ∴tan55°==, ∴x·tan55°=x+40, ∴x=. 答:河宽为米. 设计意图： 此题的几何模型可看作学生方案3中的模型平移所得，两个三角形均不满足两个已知量，需要借助方程表示它们之间的相等关系，进而求出三角形中的元素。此题为往年呼和浩特市中考题，让学生体会考察方式和难度，积累经验。 核心素养： 运算能力，几何直观，应用意识 题目来源: 呼和浩特市2021年中考数学20题 9.（思维拓展题）（选作） “欲穷千里目，更上一层楼”，小涣从家里5楼爬到6楼(顶楼),声称就能看到千里之外,你同意他的观点吗? 追问1:你能用数学的语言(例如画一张图等) 描述这个问题吗? 追问2:上述问题已知是什么,要说明的问题是什么? 追问3:为了解决上述问题,需要假设具体的数据,你打算做怎样的假设? 追问4:请你总结一下解决上述问题的一般步骤. 【答案】 设计意图： 由一句古诗引发学生思考，创设了一个真实问题情景,由于题意含糊,条件隐蔽,学生不易将其转化为数学问题，所以设置了4个追问，逐步启发学生找到其中的数学信息，将其转化为数学问题。在解决问题过程中,培养学生用数学的眼光看实际问题,用数学的语言描述问题,用数学的思维分析和解决问题的核心素养,培养学生的建模思想和质疑的理性精神。 核心素养： 抽象能力，运算能力，几何直观，模型观念，应用意识，创新意识 题目来源： 改编自人教版数学九年级下册74页例3. 10.（数学活动） 请你运用所学知识设计一个方案测量学校教学楼的高度. 设计意图 ： 本题改编自教材中的章末数学活动“利用测角仪测量塔高”,教材中提示了利用测角仪如何测量塔高的具体操作方法。本题改编为与学生实际生活更贴近的测量教学楼的高度，具备可操作性，先让学生设计测量方案，为接下来开展数学活动课程打下基础。 核心素养： 模型观念，应用意识，创新意识 题目来源： 改编自人教版数学九年级下册81-82页数学活动2“利用测角仪测量塔高”。 效果分析 课前作业大约有60%的学生可以利用解直角三角形的知识设计一到两种测量方案，不到40%的学生仍沿用相似三角形的知识设计，还有少数学生完全没有思路。学生在设计方案时存在画图不规范，数据不严谨或过度理想化的情况，在实际开展数学活动时要着重关注培养学生这些方面的能力。 课中作业是学生在课堂上以小组讨论交流的形式完成，绝大多数同学都能参与其中并积极思考，但要关注小组活动的效率，合理安排交流时长。 课后作业分为必做题和选作题，必做题部分是常规题型，包括基础题、变式题和发展题，难度层层递增。发展题部分设置了一道中考真题，大多数学生能够通过经验和思考构造直角三角形，建立几何模型解决问题，但要注意解答过程的规范性；思维拓展题学生很感兴趣，但是大多数学生的困难点在于不能从实际问题中抽象得出数学问题的具体数据，只有少数学生能够尝试假设并得出结论；数学活动任务从实际生活中来，学生已经有了解决类似问题的经验，可以迁移应用到此问题中，困难点在于具体实施测量，以及如何收集、整理和分析数据，这也是在接下来数学活动课程具体实施中需要发展的学生能力。 评价方式 依据新课程标准对于教学评价的建议，即评价方式丰富、维度多元、主体多样和定性与定量相结合，本作业的评价方式从以下几个方面实施： 课前作业以小组交流展示的方式学生互评，讨论方案的可行性并给出完善建议，推举出优秀方案作为课堂教学的案例，进行全班展示。 课中作业主要以小组交流汇报的形式完成，可在学习单中设计自我评价、组内互评、课堂反思和教师评价栏目，采取等级与评语相结合的方式，让作业成为师生交流的平台，让学生感受到欣赏与认可。 课后作业中的必做题，需要学生进行书面规范作答，在评价时可用约定好的不同的标记代替“√”和“×”，标记闪光点部分达到赏识和激励的目的，对于错误之处用不同的标记让学生明白错因，找到订正的方向。注重作业订正，在订正原题的基础上，可再找一道同类题加深理解，培养学生锲而不舍的研究精神。对于思维拓展题和数学活动，根据学生的思路给予适当的引导，鼓励学生深入思考，挑战自我，并搭建展示的平台，在班级内交流分享，点燃学生思维的火花，提供动手操作的机会，在实践中积累数学活动经验。 案例反思 在作业设计与评价的实践过程中，有以下几点思考：第一，巩固型作业内容和新授的作业内容的比例如何分配才能取得最佳效果；第二，如何在控制总量的前提下让作业尽量体现层次性和丰富性；第三，对于不同班级、不同学情的学生，作业设计如何体现差异性和灵活性。这些问题都有待在教学实践中不断思考和完善。 第 2 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$