2025年中考数学第一轮专题复习讲义《第6讲 一元二次方程及其应用》

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第二单元　方程(组)与不等式(组) 《第6讲 一元二次方程及其应用》 【知识梳理】 1.一元二次方程的概念及一般形式 (1)一元二次方程:方程的两边都是整式，只含有　一　个未知数，并且未知数的最高次数是　二　次，这样的方程叫做一元二次方程.  (2)一般形式:　ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为已知数，a≠0)　.  2.一元二次方程的解法 (1)开平方法:它适合于(x＋a)2＝b(b　≥　0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程.  (2)配方法:化二次项系数为　1　→把常数项移到方程的另一边→在方程两边同时加上一次项系数　一半的平方　→把方程整理成(x＋a)2＝b的形式→运用开平方法解方程.  (3)公式法:把方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若b2－4ac≥0，则x＝ 　.  (4)因式分解法:将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 3.一元二次方程根的判别式 (1)根的判别式:关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为　b2－4ac　.  (2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式与根的关系: b2－4ac＞0⇔方程　有两个不相等的　实数根;  b2－4ac＝0⇔方程　有两个相等的　实数根;  b2－4ac＜0⇔方程　没有　实数根;  b2－4ac≥0⇔方程有实数根. 4.一元二次方程的应用 (1)列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题的步骤相似. (2)一元二次方程应用的常见类型有:①增长(降低)率问题;②握手(送礼物)问题;③降价增量问题;④利用勾股定理解决的几何问题;⑤面积问题. 5.一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝　－　，x1·x2＝ 　.  【考题探究】 类型一　一元二次方程的有关概念 【例1】[2025·预测]关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　D　) A.0 B.±3 C.3 D.－3 【解析】 (m－3)x2＋m2x＝9x＋5， (m－3)x2＋(m2－9)x－5＝0， 由题意，得m－3≠0，m2－9＝0， 解得m＝－3. 变式1 [2024·深圳]一元二次方程x2－3x＋a＝0的一个解为x＝1，则a＝　2　.  【解析】 将x＝1代入一元二次方程，得1－3＋a＝0，解得a＝2. 类型二　一元二次方程的解法 【例2】[2024·安徽]解方程:x2－2x＝3. 解:x2－2x＋1＝3＋1， (x－1)2＝4， ∴x－1＝±2， ∴x－1＝2或x－1＝－2， ∴x1＝3，x2＝－1. 变式2 解下列方程: (1)(x－1)2＝4. 解:两边开平方，得x－1＝2，或x－1＝－2， 解得x1＝3，x2＝－1. (2)[2024·滨州]x2－4x＝0. 解:∵x2－4x＝0， ∴x(x－4)＝0， ∴x＝0，或x－4＝0， 解得x1＝0，x2＝4. (3)(2x＋3)2＝(3x＋2)2. 解:移项，得(2x＋3)2－(3x＋2)2＝0， ∴(2x＋3＋3x＋2)[2x＋3－(3x＋2)]＝0， 即(5x＋5)(1－x)＝0， 则5x＋5＝0，或1－x＝0， 解得x1＝－1，x2＝1. (4)2x2＋1＝3x. 解:移项，得2x2－3x＋1＝0， ∴(x－1)(2x－1)＝0， 解得x1＝1，x2＝. 类型三　一元二次方程根的判别式 【例3】[2025·预测]已知关于x的方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m＋1＝0.当m为何自然数时， (1)方程只有一个实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程有两个不相等的实数根? 解:(1)∵方程只有一个实数根， ∴m－2＝0，且m－1≠0，解得m＝2. (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴b2－4ac＝4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)＝0，且m－2≠0， 解得m＝3. (3)∵方程有两个不相等的实数根， ∴b2－4ac＝4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)＞0，且m－2≠0， 解得m＜3且m≠2. 又∵m为自然数，∴m＝0或1. 变式3－1 [2024·北京]若关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为(　C　) A.－16 B.－4 C.4 D.16 变式3－2 [2024·广安]若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(　A　) A.m＜0且m≠－1 B.m≥0 C.m≤0且m≠－1 D.m＜0 【解析】 ∵关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，∴ 解得m＜0且m≠－1. 变式3－3 [2023·杭州]设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ①b＝2，c＝1;②b＝3，c＝1;③b＝3，c＝－1;④b＝2，c＝2. 解:由题意可知，只能选择条件②③. 选择条件②的解答: 选择条件②，得一元二次方程为x2＋3x＋1＝0，解得x1＝，x2＝. 选择条件③的解答: 选择条件③，得一元二次方程为x2＋3x－1＝0，解得x1＝，x2＝. 类型四　一元二次方程的应用 【例4】某网络学习平台2022年的新注册用户数为100万，2024年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x(x＞0)，则x＝　30%　(用百分数表示).  【解析】 由题意，得100(1＋x)2＝169， 解得x1＝0.3＝30%，x2＝－2.3(不合题意，舍去)， ∴新注册用户数的年平均增长率为30%. 变式4－1 [2024·牡丹江]一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(　C　) A.20% B.22% C.25% D.28% 【解析】 设每次降价的百分率为x， 由题意，得48(1－x)2＝27， 解得x1＝＝25%，x2＝(舍去)， ∴每次降价的百分率为25%. 变式4－2 [2024·通辽改编]如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m，不超出墙)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其它材料制成)，则BC的长为多少? 　变式4－2图 解:设BC的长为x(m)，则AB的长为(10＋1－x)m， 由题意，得(10＋1－x)x＝15， 解得x1＝5，x2＝6＞5.5(舍去). 答:BC的长为5 m. 类型五　一元二次方程根与系数的关系 【例5】[2024·泸州]已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是　14　.  变式5－1 [2024·乐山]若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0的两根为x1，x2，且＝3，则p的值为(　A　) A.－ B. C.－6 D.6 【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0的两根为x1，x2， ∴x1＋x2＝－2，x1x2＝p. 又∵＝3， ∴＝3，即＝3， 解得p＝－. 变式5－2 [2024·遂宁]已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0. (1)求证:无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且－x1x2＝9，求m的值. 解:(1)x2－(m＋2)x＋m－1＝0， 这里a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1， ∴Δ＝b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋4m＋4－4m＋4＝m2＋8＞0， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)如果方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1. ∵－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9， ∴(m＋2)2－3(m－1)＝9. 整理，得m2＋m－2＝0， ∴(m＋2)(m－1)＝0， 解得m1＝－2，m2＝1， ∴m的值为－2或1. 【课后作业】 1.[2023·新疆]用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是(　D　) A.(x＋6)2＝28 B.(x－6)2＝28 C.(x＋3)2＝1 D.(x－3)2＝1 2.[2024·贵州]一元二次方程x2－2x＝0的解是(　B　) A.x1＝3，x2＝1 B.x1＝2，x2＝0 C.x1＝3，x2＝－2 D.x1＝－2，x2＝－1 3.[2024·自贡]关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是(　A　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【解析】 ∵Δ＝m2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根. 4.[2024·内江]某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么符合题意的方程是(　B　) A.0.64(1＋x)＝0.69 B.0.64(1＋x)2＝0.69 C.0.64(1＋2x)＝0.69 D.0.64(1＋2x)2＝0.69 5.[2024·河北]淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝(　C　) A.1 B.－1 C.＋1 D.1或＋1 【解析】 根据题意，得a2－2a＝1，解得a＝1±. 又∵a＞0，∴a＝＋1. 6.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛(每支队伍与其他队伍比赛一场)，如果单循环比赛共进行了45场，那么参加比赛的队伍有(　D　) A.7支 B.8支 C.9支 D.10支 【解析】 设共有x支队伍参加比赛， 由题意，得＝45， 解得x1＝10，x2＝－9(不合题意，舍去)， ∴参加比赛的队伍有10支. 7.[2024·绥化]小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是(　B　) A.x2＋6x＋5＝0 B.x2－7x＋10＝0 C.x2－5x＋2＝0 D.x2－6x－10＝0 【解析】 设原来的方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，由题意知，－＝6＋1＝7，＝－2×(－5)＝10， ∴b＝－7a，c＝10a， ∴原来的方程为ax2－7ax＋10a＝0，即x2－7x＋10＝0. 8.[2024·南充]已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为　－4　.  9.[2023·怀化]已知关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0的一个根为－1，则m的值为　－1　，另一个根为　2　.  【解析】 将x＝－1代入原方程可得1－m－2＝0，解得m＝－1. ∵方程的两根之积为＝－2， ∴方程的另一个根为－2÷(－1)＝2. 10.已知一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长为　12　.  【解析】 解方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4. 易知5－3＜x＜5＋3， 即2＜x＜8， ∴x＝4，即三角形的第三边长为4， ∴这个三角形的周长为3＋4＋5＝12. 11.在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根:如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根. (1)用含a，b的代数式表示AD的长: 　.  (2)图中线段　AD　的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根.  第11题图 【解析】 (1)∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b， ∴AB＝， ∴AD＝AB－BD＝. (2)线段AD的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根.理由如下: 设AD＝x，则AB＝AD＋BD＝x＋. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得b2＋， 整理，得x2＋ax＝b2， ∴线段AD的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根. 12.(1)[2023·眉山]若关于x的一元二次方程x2－2x＋m－2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＜3　.  (2)[2024·河南]若关于x的方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　.  (3)[2024·云南]若一元二次方程x2－2x＋c＝0无实数根，则实数c的取值范围是　c＞1　.  【解析】 (1)∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m－2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2)2－4×1×(m－2)＝12－4m＞0，解得m＜3. (2)∵关于x的方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(－1)2－4××c＝0， 解得c＝. 13.解下列方程: (1)x2－3x－2＝0. 解:∵a＝1，b＝－3，c＝－2， ∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝9＋8＝17， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝. (2)(x＋2)(x－6)＝－16. 解:原方程化为一般形式为x2－4x＋4＝0， ∴(x－2)2＝0，∴x1＝x2＝2. 14.如图，在长为 50 m、宽为 38 m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为 1 260 m2，道路的宽应为多少? 　　　第14题图 解:设道路的宽应为x(m)， 由题意，得(50－2x)(38－2x)＝1 260， 解得x1＝4，x2＝40(不合题意，舍去)， ∴x＝4. 答:道路的宽应为4 m. 15.[2024·婺城区模拟]设关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0.已知①b＝2，c＝1;②b＝－2，c＝－3;③b＝1，c＝2.请在上述三组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程. 解:∵Δ＝b2－4c≥0时，一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个实数根， ∴选择①，当b＝2，c＝1时，这个方程有两个实数根， 此时方程为x2＋2x＋1＝0， 解得x1＝x2＝－1. 选择②，原方程可化为x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1. 16.[2024·南充]已知x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值. 解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， ∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝4k2－4k2＋4k－4＝4k－4＞0， 解得k＞1. (2)∵1＜k＜5， ∴整数k的值为2，3，4. 当k＝2时，方程为x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3; 当k＝3或4时，易知方程的解不是整数. 综上所述，k的值为2. 17.[2024·内江]已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. (1)填空:x1＋x2＝　p　，x1x2＝　1　.  (2)求，x1＋的值. (3)已知＝2p＋1，求p的值. 拓展:(4)已知实数s，t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值. 解:(2)∵x1＋x2＝p，x1x2＝1， ∴＝p. ∵关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2， ∴－px1＋1＝0，∴x1－p＋，即x1＋＝p. (3)由根与系数的关系，得x1＋x2＝p，x1x2＝1. ∵＝2p＋1， ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1， ∴p2－2＝2p＋1，解得p1＝3，p2＝－1. 当p＝3 时，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0; 当p＝－1 时，Δ＝p2－4＝－3＜0， ∴p＝3. (4)∵实数s，t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t， ∴s，t可看做方程2x2－3x－1＝0的两个不相等的实数根， ∴s＋t＝，st＝－， ∴(s－t)2＝(s＋t)2－4st＝2－4×＝，∴s－t＝±， ∴＝±. 学科网（北京）股份有限公司 $$