2025年中考数学第一轮专题复习 讲义《第4讲 数的开方与二次根式》

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第一单元　数与式 《第4讲 数的开方与二次根式》 【知识梳理】 1.平方根、算术平方根与立方根 (1)平方根:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根,记做　±　.  (2)算术平方根:若一个非负数的平方等于a,则这个数叫做a的算术平方根,记做 　,0的算术平方根是　0　.  (3)立方根:一般地,一个数的　立方　等于a,这个数就叫做a的立方根,也叫做a的三次方根,记做 　.  2.二次根式的有关概念 (1)二次根式:形如(a≥0)这样表示　算术平方根　的代数式叫做二次根式.  (2)最简二次根式:在根号内不含　分母　,不含开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式.  3.二次根式的性质 (1)两个重要性质: ①()2＝　a　(a　≥　0).  ②＝　|a|　＝  (2)积的算术平方根:＝ ×　(a≥0,b≥0).  (3)商的算术平方根: ＝ 　(a　≥　0,b　＞　0).  4.二次根式的运算 (1)加减法:先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式合并. (2)乘法:×＝ 　(a　≥　0,b　≥　0).  (3)除法:＝ 　(a　≥　0,b　＞　0).  (4)分母有理化的常见方法:＝ 　(a＞0);＝ 　,＝ 　(a≥0,b≥0,a≠b).  【考题探究】 类型一　平方根、算术平方根与立方根 【例1】下列说法中,正确的是(　C　) A.0.09的平方根是0.3 B.＝±4 C.0的立方根是0 D.1的立方根是±1 变式1 [2025·预测]5的平方根是　±　,25的平方根是　±5　,的算术平方根是 　.  类型二　二次根式的概念与性质 【例2】 [2023·金华]要使有意义,则x的值可以是(　D　) A.0 B.－1 C.－2 D.2 变式2 [2024·烟台]若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是　x＞1　.  类型三　二次根式的运算 【例3】计算: ＋5÷. 解:原式＝＝2. 变式3－1 计算: (1)(2)2－(). 解:原式＝(2)2＋()2－4－2 ＝8＋3－4－2 ＝9－5. (2). 解:原式＝＋4 ＝ ＝－. (3)＋6x－4x. 解:原式＝×2＋6x×－4x ＝x＋2x－4x ＝－x. 变式3－2 如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝2,BC＝.求斜边上的高线CD的长. 变式3－2图 解:在Rt△ABC中,AB＝, 则CD＝. 类型四　二次根式的化简求值 【例4】[2024·湖州模拟]先化简,再求值:÷,其中m＝. 解:原式＝÷ ＝· ＝ ＝. ∵m＝,∴2m＋3＝, ∴(2m＋3)2＝()2, 即4m2＋12m＋9＝5, ∴m2＋3m＝－1, ∴原式＝ ＝ ＝－. 变式4－1 分母有理化的结果为(　B　) A.＋1 B. C. D. 变式4－2 先化简,再求值:－x－4y,其中x＝,y＝. 解:原式＝5－4. 当x＝,y＝时,原式＝1. 类型五　二次根式的非负性 【例5】[2024·成都]若m,n为实数,且(m＋4)2＋＝0,则(m＋n)2的值为　1　.  【解析】 ∵m,n为实数,且(m＋4)2＋＝0, ∴m＋4＝0,n－5＝0,解得m＝－4,n＝5, ∴(m＋n)2＝(－4＋5)2＝12＝1. 变式5 已知实数x,y满足y＝＋2,则(y－x)2 024的值为　1　.  【课后作业】 1.[2024·绥化]若式子有意义,则m的取值范围是(　C　) A.m≤ B.m≥－ C.m≥ D.m≤－ 2.[2024·内江]16的平方根是(　D　) A.2 B.－4 C.4 D.±4 3.下列计算中,正确的是(　A　) A.＝2 B.＝－2 C.＝±2 D.＝±2 4.下列式子中,属于最简二次根式的是(　A　) A. B. C. D. 5.[2024·湖南]计算×的结果是(　D　) A.2 B.7 C.14 D. 6.下列各式计算正确的是(　B　) A.＝2＋3 B.＝2×3 C.＝32 D.＝0.7 7.[2024·盐城改编]矩形相邻两边长分别为 cm, cm,设其面积为S(cm2),则S在哪两个连续整数之间(　D　) A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5 【解析】 S＝×(cm2). ∵,∴4＜＜5, ∴S在4和5之间. 8.计算×的结果是(　B　) A.0 B.1 C.2 D. 9.[2024·安徽]我国古代数学家张衡将圆周率取值为,祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小:　＞ (填“＞”或“＜”).  10.[2024·滨州]写出一个比大且比小的整数:　2或3　.  11.[2023·黄冈]请写出一个正整数m的值使得是整数:m＝　2(答案不唯一)　.  12.的平方根是　±2　.  13.[2023·内江]若a,b互为相反数,c为8的立方根,则2a＋2b－c＝　－2　.  14.计算: (1)[2024·威海] ×＝　－2　.  (2)[2024·天津](＋1)(－1)＝　10　.  15.若|a－2|＋＝0,则ab＝　－4　.  【解析】 ∵|a－2|＋＝0, ∴a－2＝0,a＋b＝0, 解得a＝2,b＝－2, ∴ab＝2×(－2)＝－4. 16.若3－的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2＋a)·b的值是　2　.  【解析】 ∵1＜＜2, ∴1＜3－＜2. 又∵3－的整数部分为a,小数部分为b, ∴a＝1,b＝3－－1＝2－, ∴(2＋a)·b＝(2＋)(2－)＝2. 17.[2024·河北]已知a,b,n均为正整数. (1)若n＜＜n＋1,则n＝　3　.  (2)若n－1＜＜n,n＜＜n＋1,则满足条件的a的个数总比b的个数少　2　个.  【解析】 (2)∵n－1＜＜n, ∴(n－1)2＜a＜n2, ∴a的取值范围是n2－(n－1)2＝n2－n2＋2n－1＝2n－1. ∵n＜＜n＋1, ∴n2＜b＜(n＋1)2, ∴b的取值范围是(n＋1)2－n2＝n2＋2n＋1－n2＝2n＋1. ∵(2n＋1)－(2n－1)＝2, ∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个. 18.计算: (1)[2024·甘肃] × . 解:原式＝3－3＝0. (2). 解:原式＝×2＝4. 19.先化简,再求值: (1)a(a＋2b)－(a＋1)2＋2a,其中a＝＋1,b＝－1. 解:原式＝a2＋2ab－a2－2a－1＋2a ＝2ab－1. 当a＝＋1,b＝－1时, 原式＝2(＋1)(－1)－1＝2－1＝1. (2)[2023·宜昌]÷＋3,其中a＝－3. 解:原式＝·＋3 ＝·＋3 ＝a＋3. 当a＝－3时,原式＝－3＋3＝. 20.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即若一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积S满足公式: S＝ . 现已知△ABC的三边长分别为1,3,,求△ABC的面积. 解:不妨令a＝1,b＝3,c＝, 则S＝ ＝. 21.如图,C为线段BD上的一个动点,分别过点B,D在BD两侧作BA⊥BD,DE⊥BD,连结AC,CE.已知AB＝5,DE＝9,BD＝8,设BC＝x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长. (2)当点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小? (3)根据(2)中的结论,请构图求出代数式的最小值. 第21题图 解:(1)AC＋CE ＝ ＝ ＝. (2)当点C在直线AE上时,AC＋CE的值最小. (3)如答图,作BD＝12,过点B作BA⊥BD,过点D作DE⊥BD,使AB＝2,ED＝3,点A,E在直线BD两侧,连结AE交BD于点C. 第21题答图 已知BC＝x,则AC＋CE的长即为代数式的值,当点C在直线AE上时,AC＋CE的值最小,为AE的长. 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF, 则DF＝AB＝2,AF＝BD＝12, ∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5, ∴AE＝＝13, 即的最小值为13. 学科网（北京）股份有限公司 $$