8.1.2 三角形的内角和与外角和 教案-2024-2025学年华东师大版七年级数学下册

第8章 三角形 8.1.2 三角形的内角和与外角和 1.理解三角形内角和定理的内容,能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题. 2.能运用三角形外角的两条性质进行相关的几何计算和证明,并体会几何图形中的不等关系. 3.会用简单的说理来计算与三角形相关的角的度数. 重点:三角形内角和与外角和定理. 难点:与三角形内外角有关的计算. 一、情境导入 多媒体展示:(三兄弟之争)在一个直角三角形村庄里,住着三个内角,平时它们非常团结,有一天,老三不高兴了,对老大说:“凭什么你的度数最大,我也要和你一样大!”老大说:“这是不可能的,否则我们这个家就要被拆散,围不起来了!”“为什么呢?”老二、老三纳闷起来…… 同学们,你们知道其中的道理吗? 二、合作探究 探究点一:三角形的内角和 【类型一】 判断三角形的形状 一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,这个三角形一定是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法判定 解析:设这个三角形的三个内角的度数分别是x,2x,3x,根据三角形的内角和为180 ,得x+2x+3x=180 ,解得x=30 ,∴这个三角形的三个内角的度数分别是30 ,60 ,90 ,即这个三角形是直角三角形.故选A. 方法总结:在解决有关比例问题时,通常先设比例系数,然后列方程求解. 【类型二】 求三角形内角的度数 已知,如图,D是 ABC中BC边延长线上一点,DF⊥AB交AB于F,交AC于E.若∠A=46 ,∠D=50 ,求∠ACB的度数. 解析:在直角三角形DFB中,根据三角形内角和定理,求得∠B的度数,再在 ABC中求∠ACB的度数即可. 解:在 DFB中,∵DF⊥AB,∴∠DFB=90 .∵∠D=50 ,∴∠B=90 -∠D=40 .在 ABC中,∵∠A=46 ,∠B=40 ,∴∠ACB=180 -∠A-∠B=94 . 方法总结:求三角形的内角,必然和三角形内角和定理有关,解决问题时要根据图形特点,在不同的三角形中,灵活运用三角形内角和定理求解. 【类型三】 三角形的内角与角平分线、高的综合运用 如图, ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=40 ,∠C=70 ,求∠DAE的度数. 解析:由三角形的内角和可得∠BAC的度数,再由角平分线可求得∠BAE=∠EAC=∠BAC,在直角三角形ACD中,可求得∠DAC的度数,最后由∠DAE=∠EAC-∠DAC即可求∠DAE的度数. 解:∵∠B=40 ,∠C=70 ,∴∠BAC=180 -∠B-∠C=70 .∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠EAC=35 .在 CAD中,∵AD⊥BC,∴∠ADC=90 .∴∠DAC=180 -90 -70 =20 .∴∠DAE=∠EAC -∠DAC =35 -20 =15 . 方法总结:本题是常见的几何计算题,解题的关键是利用三角形的内角和定理和角平分线的性质,找出角与角之间的关系并结合图形解答. 探究点二:三角形的外角和及其性质 【类型一】 利用三角形外角的性质比较角的大小 如图,∠A,∠1,∠2的大小关系为( ) A.∠A>∠1>∠2 B.∠A>∠2>∠1 C.∠2>∠1>∠A D.∠2>∠A>∠1 解析:根据外角的性质即可知.∵∠1>∠A,∠2>∠1,∴∠2>∠1>∠A.故选C. 方法总结:根据三角形外角的性质(三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角)来比较角的大小. 【类型二】 三角形外角和定理 如图,∠1,∠2,∠3是 ABC的外角,若∠1∶∠2∶∠3=4∶3∶2,则∠ABC的度数为( ) A.60 B.80 C.90 D.100 解析:设∠1,∠2,∠3的度数分别为4x,3x,2x,则4x+3x+2x=360 ,解得x=40 .∴∠2=3x=120 .∴∠ABC=180 -120 =60 .故选A. 方法总结:三角形中与外角和有关的计算,掌握三角形的外角和等于360 是解题的关键. 【类型三】 利用三角形外角的性质求角度 如图所示,P为 ABC内一点,∠BPC=150 ,∠ABP=20 ,∠ACP=30 ,求∠A的度数. 解析:延长BP交AC于E或连接AP并延长,构造三角形的外角,再利用外角的性质即可求出∠A的度数.(也可利用内角和为180 来计算转换) 解:如图,延长BP交AC于点E,则∠BPC,∠PEC分别为 PCE, ABE的外角,∴∠BPC=∠PEC+∠PCE,∠PEC=∠ABE+∠A.∴∠PEC=∠BPC-∠PCE=150 -30 =120 .∴∠A=∠PEC-∠ABE=120 -20 =100 . 方法总结:利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法. 三、板书设计 三角形的内角和与外角和 1.三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180 . 2.三角形内角和定理的证明. 3.三角形外角的性质: (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和; (2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 4.三角形的外角和定理:三角形的外角和等于360 . 本节课通过一段对话设置疑问,巧设悬念,激起学生获取知识的求知欲,充分调动学生学习的积极性,使学生由被动接受知识转为主动学习,从而提高学习效率.然后让学生自主探究,在教学过程中充分发挥学生的主动性,让学生提出猜想.在教学中,教师通过必要的提示指明了学生思考问题的方向,在学生提出验证三角形内角和与外角的性质时,教师注意让学生上台演示自己的操作活动和说明自己的想法,这样更有助于学生接受和理解. 学科网(北京)股份有限公司 $$