4.3.2 等比数列的前n项和公式 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前n项 和公式 在印度有一个古老的传说:舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相:西萨 班 达依尔。国王问他想要什么,他对国王说:“陛下,请您在这张棋盘的第1个小格里,赏给我1粒麦子,在第2个小格里给2粒,第3小格给4粒,以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒,都赏给您的仆人吧!”国王觉得这要求太容易满足了,就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时,国王才发现:就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来,也满足不了那位宰相的要求。 那么,宰相要求得到的麦粒到底有多少呢? 情境探究 思考1.每一格的麦子数有什么特点? 思考2.发明者所要的麦粒数如何用式子来表示? 从第二格开始,每一格中的麦子数都是前一个的两倍,构成等比数列. 情境探究 思考3.如何计算最终结果? 让我们先从比较简短的式子来找找是否存在规律. 猜想S64应该等于多少? 结合式子特征验证猜想: 观察式子,式子中每一个数都是前一个的两倍,可以将式子中每个数都变为原来的2倍从而构造相同项. 在印度有一个古老的传说:舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相:西萨 班 达依尔。国王问他想要什么,他对国王说:“陛下,请您在这张棋盘的第1个小格里,赏给我1粒麦子,在第2个小格里给2粒,第3小格给4粒,以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒,都赏给您的仆人吧!”国王觉得这要求太容易满足了,就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时,国王才发现:就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来,也满足不了那位宰相的要求。 那么,宰相要求得到的麦粒到底有多少呢? 情境探究 思考4.萨 班 达依尔的要求有多离谱? 如果按标准的一千粒麦子的质量约为40 g计算,此处麦子的重量超过7000亿吨,按目前世界小麦年度产量约为8亿吨,也就是全球不消耗麦子的情况下,按现在的产量要生产大约875年. 拓展思考 设等比数列{an}首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,类比情景探究中的求和方法,尝试推导等比数列前n项和公式 错位相减法 注意:1.当我们在条件中在无法确定公比q的值时,一定要分类讨论先研究q =1的情况 2.求和公式中的n是指数列的项数,该数列有几项,n的值就是几 例题讲解 例1:判断下列等比求和的结果是否正确 首项为1,公比为-2 一共n+1项 √ 例题讲解 针对训练 1.我国明代数学著作《算法统综》中有这样一个问题:“远望巍魏塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有多少盏灯? 针对训练 (舍) 针对训练 例题讲解 例题讲解 针对训练 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=( ) A.2 B. C. D.3 解析:方法一:由=3,得S6=3S3. 设数列{an}的公比为q,由题意知q≠-1, 所以S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列, 所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),解得S9=7S3, 所以=. 故选B. 针对训练 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=( ) A.2 B. C. D.3 解析:方法二:设数列{an}的公比为q, 所以S6=S3+q3S3,S9=S6+q6S3=S3+q3S3+q6S3,于是==3,即1+q3=3, 所以q3=2. 于是===.故选B. 针对训练 2.王老师在手机店购买一部手机,价值10 000元,王老师以分期付款的形式进行支付。还款计划以月利率为1%,每月以复利计息,王老师从购买后第二个月开始等额还贷,分6个月付清,试问每月应支付多少元?(1.016≈1.061,1.015≈1.051) 解:一方面,手机本金10 000元,将此本金以相同的条件存储6个月,则它的本利和为S1=104 (1+0.01)6=104 1.016(元). 另一方面,设每个月还贷a元,分6个月还清,到贷款还清时,其本利和为 课堂小结 等比数列前n项和公式 推导方法:错位相减法 利用公式求和,要注意以下几点: 1.公式中的n表示项数,与Sn的下标保持一致 2.在q未知的情况下,要对q是否等于1进行分类讨论 3.在项数比较少的情况下,可考虑用列举求和的方法化简计算 例2.已知数列是等比数列. (1)若,,求; (2)若,,,求; (3)若,,,求. S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+…+a=eq \f(a[ 1+0.01 6-1],1.01-1)=a(1.016-1) 102(元). 由S1=S2,得a=eq \f(1.016 102,1.016-1),得a≈1 739,故每月应支付1 739元. $$