精品解析：河南省豫东名校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第五章第4节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 设函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若角的终边上有一点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 函数与表示同一个函数 C. 函数的最小值为3 D. 若关于x的不等式的解集为或，则 11. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为______． 13. 若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是______． 14. 设，，且，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 16. （1）已知，求的值； （2）若，且，求的值． 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若函数在区间上的值域为，求m的取值范围． 18. 已知函数（且）在上的最大值和最小值之和为20，函数是奇函数． （1）求a和b的值； （2）用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增； （3）若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 19. 对于函数，若存在实数k，使得等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． （1）若函数（且）是型函数，求a的值； （2）已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，． ①若，求的解析式； ②若对任意的恒成立，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第五章第4节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义求解即得. 【详解】因，， 则. 故选：B 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的真数大于零和分式函数的分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】由题意知解得且， 所以函数的定义域为． 故选：D 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合特例及平方数和绝对值的定义，根据充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】若，，满足，但不成立； 若，则，则成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周长和面积列方程组求得扇形的半径和弧长，代入求角公式即可得解. 【详解】设扇形的半径为r，所对弧长为l，则有解得故． 故选：A 5. 设函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：依题意，，则，解得， 即函数的定义域为， 显然函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为． 故选：D 6. 若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数的周期性求得解析式，进而求得其增区间，再由在区间上单调递增求解. 【详解】解：由题意知，解得，所以， 令，，解得，， 当时，可得在上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以， 即m的取值范围是． 故选：B 7. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分， 和讨论求解. 【详解】解：当时，， 则在时无解； 当时，在R上单调递增； 当时，，则的解集为； 当时，， 则在时恒成立， 综上，不等式的解集为． 故选：B 8. 已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算法则及换底公式，利用糖水不等式比较大小即可. 【详解】由题意知， 又． 综上，． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若角的终边上有一点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据的终边上有一点，分和，利用三角函数的定义求解. 【详解】解：若的终边上有一点， 当时，，， 此时； 当时，，， 此时． 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 函数与表示同一个函数 C. 函数的最小值为3 D. 若关于x的不等式的解集为或，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据指数函数的性质求得定点判断A，根据同一函数的概念判断B，根据基本不等式的应用条件判断C，根据二次不等式的解集及韦达定理求解即可判断D. 【详解】对于A，因（且）恒过定点，故函数的图象恒过定点，故A正确； 对于B，函数与的定义域为， 且，，故它们为同一个函数，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，但方程无解，等号不成立，故C错误； 对于D，依题意关于x的方程有两根为和2，故必有 解得所以，故D错误． 故选：AB 11. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】赋值法求解判断AC，通过赋值得，然后利用奇函数的定义判断B，由题设可得，结合时，，利用函数单调性的定义即可判断D. 【详解】因为，所以令，得，故A正确； 令，得，所以， 令，得，所以， 令，得，又，所以， 又因为定义域为R，所以函数是奇函数，故B错误； 令，得， 令，，得， 所以，故C正确； 当时，由，可得， 又，所以， 任取， 所以， 又，所以，，故， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值，以及赋变量，再根据单调性的定义及奇偶函数的定义判断即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为______． 【答案】（答案不唯一．满足即可） 【解析】 【分析】根据幂函数的性质选择符合题意的即可. 【详解】当时,幂函数在上单调递增， 又，满足题意. 故答案为：（答案不唯一．满足即可） 13. 若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据原命题的否定是真命题，令，由求解参数范围即可. 【详解】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令， 所以， 解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 14. 设，，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到，从而，再分，， ，，，求解. 【详解】解：因为，所以， 所以． 当，时，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立； 当，时，此时．不成立； 当时，，此时； 当，时，，，不成立； 当，时，，，不成立； 综上，的最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求解集合A，将代入化简集合B，然后利用交集和补集运算求解即可. （2）根据集合关系列不等式直接求解即可. 【小问1详解】 由题意知， ， 当时，，所以， 所以． 【小问2详解】 ，， 若，显然， 则或， 解得或， 即a的取值范围是. 16. （1）已知，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式将目标式子化为，然后化为正切函数代入求值即可； （2）结合利用已知求出和，即可得解. 【详解】（1）由题意知 ． （2）因为，， 解得，或，， 又，所以，，所以. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若函数在区间上的值域为，求m的取值范围． 【答案】（1），的单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的周期公式求解；令求得单调减区间； （2）由时，得到，令，画出上的图象，利用数形结合法求解. 【小问1详解】 解：函数的最小正周期； 令，，解得，． 即的单调递减区间为． 【小问2详解】 当时，， 令，即， 画出上的图象如图， 因为在的值域为， 所以， 解得，即m的取值范围为． 18. 已知函数（且）在上的最大值和最小值之和为20，函数是奇函数． （1）求a和b的值； （2）用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增； （3）若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2）证明：任取，且， 所以 ， 又，所以，，，所以， 即， 所以函数在R上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据指数函数的单调性求得最值，利用最值列式求出，根据奇函数的定义求得，然后利用奇函数的定义进行检验. （2）根据单调性定义按照步骤证明即可. （3）根据指数运算化简及零点的概念，将问题转化为有两个不同的实数解，令，则在上有两个不同的实数解，然后利用二次方程根的分布列不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 所以函数在上的最大值与最小值之和为，解得． 所以，的定义域为R，又函数是奇函数， 所以，解得， 当时，， 所以， 所以函数是奇函数，满足题意． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 令，则在上有两个不同的实数解， 令，又，所以 解得，即m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 19. 对于函数，若存在实数k，使得等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． （1）若函数（且）是型函数，求a的值； （2）已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，． ①若，求的解析式； ②若对任意的恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据新函数定义可得，然后利用指数运算求解即可. （2）①根据新函数定义可得，，即可求出时的函数解析式，然后利用求解的函数解析式，即可得解； ②满足；当时，运用换元法，分离参数利用函数单调性求得；当时，根据新定义得，运用换元法，令，，分离参数利用基本不等式求得，最后求交集即可. 【小问1详解】 因为函数（且）是型函数， 所以对定义域中每一个实数x都成立，即， 又且，所以． 【小问2详解】 ①因为是型函数，所以， 当时，，又，所以； 令，得， 所以， 又当时，， 所以， 解得， 所以当时，； 当时，， 所以． 综上， ②因为是型函数，所以， 当时，，又，所以，满足； 当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，所以恒成立， 而函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号，所以； 当时，， 则， 由，得， 令，则当时，， 又，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，所以， 综上，m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $