5.2反比例函数同步练习2024-2025学年 青岛版数学九年级下册

5.2反比例函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象必经过点（    ）． A． B． C． D． 2．已知点在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．图象分布在二、四象限 D．图象经过原点 3．若点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）在反比例函数（k>0）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2 C．x3＞x2＞x1 D．x2＞x3＞x1 4．计划修建铁路1200km，则铺轨天数与平均每天铺轨量之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 5．已知矩形的面积为16，则矩形的宽y是长x的（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．不能确定 6．已知一次函数与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是(   ) A． B． C．或 D． 7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）经过▱ABCD的顶点B、D，点A的坐标为（0，﹣1），AB∥x轴，CD经过点（0，2），▱ABCD的面积是18，则点D的坐标是（　　） A．（﹣2，2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（﹣6，1） 8．2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 9．下列各点中，在函数的图象上的是（    ）． A． B． C． D． 10．已知正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，若A点的坐标为（1，2），则B点的坐标为（    ） A．（1，－2） B．（－1，2） C．（－1，－2） D．（2，1） 11．如图，一次函数y1＝k1x＋b（k1，b为常数，且k1≠0）的图象与反比例函数（k2为常数，且k2≠0）的图象都经过点A（2，3），则当x＞2时，y1与y2的大小关系为（　　）． A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．以上说法都不对 12．同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，点A在双曲线y＝上，点D在双曲线y＝上，且AD∥x轴，B、C在x轴上，则矩形ABCD的面积为 ． 14．如图，点A在反比例函数y＝（x＜0，k1＜0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴于点D，交AB于点E．若△ABC与△DBC的面积之差为3，＝，则k1的值为 ． 15．已知，都在反比例函数的图象上，若，则的值为 . 16．分别以矩形的边OA，OC所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，点的坐标是(4，2)，将矩形折叠使点落在G(3，0)上，折痕为，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为 ．    17．反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋k的图象在第一象限交于点B(4，n)，则k＝ ，n＝ ． 三、解答题 18．如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝的图像经过点C． (1)直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式； (2)点P在反比例函数y＝的图像上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标． 19．已知y是x的反比例函数，且当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求y值； （3）当时，求x值． 20．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强． (1)当气体的体积为时，它的压强是多少？ (2)当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？ 21．长方形相邻的两边长分别x，y，面积为30，用含x的式子表示y. 22．如图，点A为双曲线（）上一点，轴且交直线于点B． （1）若点B的纵坐标为2，比较线段AB和OB的大小关系； （2）当点A在双曲线图像上运动时，代数式“”的值会发生变化吗？请你作出判断，并说明理由． 23．如图，一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=（x＞0）的图象上，顶点B在函数y2=（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，求的值．    24．如图1，一次函数的图像与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点，连接． (1)___________，___________． (2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，C是线段上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接，，．若四边形的面积为3，求点C的坐标． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《5.2反比例函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B C C C A B C 题号 11 12 答案 A C 1．A 【分析】把点（3，4）代入反比例函数y＝，可求函数解析式为y＝，再对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：把点（3，4）代入反比例函数y＝，， ∴m2+2m﹣1＝12，即反比例函数的解析式为y＝． A、2×6＝12，反比例函数图象经过此点，故本选项正确； B、2×（﹣6）＝﹣12≠12，反比例函数图象不经过此点，故本选项错误； C、4×（﹣3）＝﹣12≠12，反比例函数图象不经过此点，故本选项错误； D、3×（﹣4）＝﹣12≠12，反比例函数图象不经过此点，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式和图象上点的坐标特点，利用待定系数法求反比例函数解析式，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 2．A 【分析】将点代入，求出m值，再根据反比例函数的图象和性质判断即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，则，故A正确，B错误， 图象分布在第一、三象限，故C错误， 而反比例函数图象不经过原点，故D错误， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，图象和性质，解题的关键是根据点的坐标求出比例系数． 3．D 【分析】根据反比例函数的性质，直接判断x1，x2，x3的大小关系即可． 【详解】解：∵反比例函数（k>0）， ∴函数图像在第一，三象限，且在每个象限内，y随x增大而减小， ∵点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）在反比例函数（k>0）的图象上，， ∴x2＞x3＞x1， 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 4．B 【分析】本题考查反比例函数的应用．铺轨天数铁路长每日铺轨量，把相关数值代入即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：铺轨天数铁路长每天铺轨量， ， 故选：B． 5．C 【详解】由矩形面积公式可得，故为反比例函数． 6．C 【分析】构建方程组，利用一元二次方程的根的判别式进行求解． 【详解】解：由，消去得到：， 一次函数与反比例函数的图象有2个公共点， △， 即， 或， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 7．C 【分析】由点A的坐标为（0，﹣1），可得点B的坐标为（-k，﹣1），由CD经过点（0，2）， 可知AD=3，D(，2)，然后根据平行四边形的面积等于18可求出k的值，进而求出点D的坐标. 【详解】∵点A的坐标为（0，﹣1），AB∥x轴， ∴点B的坐标为（-k，﹣1）， ∴AB=-k， ∵CD经过点（0，2）， ∴AD=3，D(，2). ∵-k×3=18， ∴k=-6， ∴D(-3，2). 故选C. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图像上点的坐标特征及面积法求线段的长.由平行四边形的面积是18求出k的值是解答本题的关键. 8．A 【分析】由总量=vt，求出v即可． 【详解】解（1）∵vt=106， ∴v=， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 9．B 【分析】将各选项的点的坐标分别代入函数解析式计算可求解． 【详解】解：将代入得，A、D选项不符合题意； 将代入得，B选项符合题意； 将代入得，C选项不符合题意； 故选B 【点睛】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，将各点坐标代入解析式计算是解题的关键． 10．C 【分析】解答这类题一般解这两个函数的解析式组成的方程组即可． 【详解】解：由已知可得，解这个方程组得， ，则得， 则这两个函数的交点为（1，2），（﹣1，﹣2）， 因为已知A点的坐标为（1，2），故B点的坐标为（﹣1，﹣2）． 故选：C． 【点睛】正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，同学们要熟记才能灵活运用． 11．A 【详解】∵题目中两个函数的图象都经过点A(2，3)， ∴当x＞2时，y1＞y2， 故选A． 12．C 【分析】由于本题不确定的符号，故可以直接由的正负性进行分类，分析确定一次函数与反比例函数的图象经过的象限，然后与各选择项比较，从而确定答案． 【详解】当 时，一次函数经过一､三､四象限，反比例函数经过一､三象限，如图①所示； 当 时，一次函数 经过一､二､四象限，反比例函数经过二､四象限，如图②所示． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键． 13．3 【分析】延长DA交y轴于点E，由矩形的性质及反比例函数系数k的几何意义可得出S矩形EOBA＝1、S矩形EOCD＝4，将其代入S矩形ABCD＝S矩形EOBA﹣S矩形EOBA中即可求出结论． 【详解】延长DA交y轴于点E，如图所示． ∵四边形ABCD为矩形，且AD∥x轴， ∴AE⊥y轴，DE⊥y轴，AB⊥x轴，DC⊥x轴． 又∵点A在双曲线y＝上，点D在双曲线y＝上， ∴S矩形EOBA＝1，S矩形EOCD＝4， ∴S矩形ABCD＝S矩形EOBA﹣S矩形EOBA＝4﹣1＝3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用反比例函数系数k的几何意义找出S矩形EOBA＝1、S矩形EOCD＝4是解题的关键． 14．﹣9 【分析】依题意分别设出CE，DE的长，表示出C，B，A三点坐标，用表示出的点表示出两三角形面积代入求值即可． 【详解】解：设CE＝2t，则DE＝3t， ∵点B，C在反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）的图象上，AB∥x轴，CD⊥x轴， ∴C（，5t），B（，3t）， ∴A（，3t）， ∵△ABC与△DBC的面积之差为3， ∴， ∴k1＝﹣9． 故答案为﹣9． 【点睛】本题考查了反比例函数反比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 15． 【分析】把A、B两点的坐标代入解析式，再根据即可求解. 【详解】把，代入得： ∵ ∴ 故答案为-12 【点睛】本题考查的是反比例函数，整体代入思想是解答本题的关键. 16．3 【分析】设CE的长为a，利用折叠的性质得到EG=BE=4-a，ED=3-a，在Rt△EGD中，利用勾股定理可求得a的值，得到点E的坐标，即可求解． 【详解】过G作GD⊥BC于D，则点D(3，2)，    设CE的长为a， 根据折叠的性质知：EG=BE=4-a，ED=3-a， 在Rt△EGD中，， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为(，2)， ∵反比例函数的图象恰好经过点E， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，反比例函数图象上点的特征，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 17． 2 【分析】先把(4，n)代入y＝，即可求出n的值，再把(4，n)代入y＝kx＋k，即可求出k的值． 【详解】把(4，n)代入y＝，得 ， ∴. 把(4，2)代入y＝kx＋k，得 ， 解得. 故答案为 ，2. 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数图像上点的坐标特征，函数图像点的坐标满足相应的函数关系式. 18．(1)C（3，1）； (2)点P的坐标为（1，3）或（−3，−1） 【分析】（1）根据“AAS”证明△ABO≌△BCD，得出CD＝OB＝3，BD＝OA＝2，即可求得C点的坐标，将点C的坐标代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数解析式； （2）由解析式设出P点的坐标，根据三角形面积公式得出方程，解方程可求得P点坐标． 【详解】（1）解：∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵CD⊥OB， ∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°， ∴∠ABO＋∠CBD＝∠CBD＋∠DCB＝90°， ∴∠ABO＝∠DCB， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝2， ∴OD＝3−2＝1， ∴C点的坐标为（3，1）， ∴k＝3×1＝3， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：设P（，m）， ∵CD⊥y轴，CD＝3， 由△PCD的面积为3得：， ∴×3|m−1|＝3， ∴m−1＝±2， ∴m＝3或m＝−1， 当m＝3时，，当m＝−1时，， ∴点P的坐标为（1，3）或（−3，−1）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积的计算，根据旋转的性质，证明△ABO≌△BCD，是解题的关键． 19．（1）（2）（3） 【分析】（1）用待定系数法设反比例函数，再代入x、y的值即可解题； （2）将代入（1）中的解析式即可解题； （3）将代入（1）中的解析式即可解题． 【详解】（1）设把， 代入解析式的左右两边，解得，故函数解析式是； （2）把代入右边，解得； （3）把代入的左边，解得． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、代数式求值等知识，是典型考点，掌握相关知识是解题关键． 20．(1)当气体的体积为时，它的压强是 (2)当气球内气体的体积应不小于时，气球才不会爆炸 【分析】（1）先求出气球内气体的压强与气体的体积的反比例函数关系式，然后代入进行求解即可； （2）先求出当时，的值，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 由题意得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴当气体的体积为时，它的压强是； （2）解：当时，， ∵， ∴V随p的增大而增大， ∴要使气球不会爆炸，则， ∴当气球内气体的体积应不小于时，气球才不会爆炸． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意得到是解题的关键． 21．y＝. 【分析】根据矩形面积公式得出xy之间的关系即可． 【详解】∵长方形相邻两边长分别为x、y，面积为30，∴xy=30，∴y，则用含x的式子表示为y． 【点睛】本题考查了列函数关系式，得出xy的关系是解题的关键，属于基础题，比较简单． 22．（1）；（2）不会发生变化，值为4 【分析】（1）根据题意求得A、B点的坐标，即可求得AB和OB的长，即可比较线段AB和OB的大小关系； （2）设A（a，b），则B（−b，b），ab＝2．所以利用两点间的距离公式可以求得线段AB、OA的长度；然后可以的值． 【详解】解：（1）∵点B的纵坐标为2，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）代数式不会发生变化． 理由：设，∵A为双曲线上一点， ∴， ∵轴且交直线于点B， ∴点B纵坐标为b，∴， ∴， ∴代数式“”的值恒定不变． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，利用点A的横坐标表示出点B的坐标是解题的关键． 23． 【分析】设AC=a，则OA=2a，OC=a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，即可求的值． 【详解】设AB与x轴交点为点C    Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°， ∴∠OAC=60°， ∵AB⊥OC， ∴∠ACO=90°， ∴∠AOC=30°， 设AC=a，则OA=2a，OC==a， ∴A(a，a)， ∵A在函数y1=（x＞0）的图象上， ∴k1=a×a=a2， Rt△BOC中，OB=2OC=2a， ∴BC==3a， ∴B（a，-3a）， ∵B在函数y2=（x＞0）的图象上， ∴k2=-3a×a=-3a2， ∴==-， 故答案为：-． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，正确写出A．B两点的坐标是本题的关键． 24．(1)1， (2)或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：①当点O为直角顶点时；②当点B为直角顶点时；分别求解即可； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上， ∴，即． ∵一次函数的图像过点， ∴，解得． 故答案为：1，； （2）解：存在．理由如下： 若是以为直角边的等腰直角三角形，则需要分两种情况讨论： ①当点O为直角顶点时， 如图，过点O作且，分别过点B、作y轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ②当点B为直角顶点时， 如图，过点B作，且，连接， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴． 综上，点P的坐标为或． （3）解：∵点C在线段AB上（不与点A，B重合）， ∴设点， 则点， 则， 解得，（舍去）， 故点C的坐标为． 【点睛】此题是一道反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了待定系数法、三角形全等的判定与性质、图形的面积计算等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识、添加辅助线构造全等三角形与分类讨论的思想是解答此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$