第7章 一元一次不等式与不等式组（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第7章 一元一次不等式与不等式组思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次不等式的整数解 【解惑】使不等式成立的整数共有（   ） A．10000个 B．20000个 C．9999个 D．80000个 【融会贯通】 1．【新独家原创】满足的最小整数m是（　　） A．2020 B．2022 C．2023 D．2024 2．若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是 ． 3．已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 类型二、一元一次不等式组的整数解 【解惑】关于x的方程的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【融会贯通】 1．不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 3．已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 类型三、一元一次不等式组与方程组结合 【解惑】已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【融会贯通】 1．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 类型四、一元一次不等式的绝对值 【解惑】若满足等式，，则当取最大值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．对于实数x，规定：，例如：，；给出下列结论： ①； ②若，则满足条件的非负整数有2个； ③若，则； ④若，则或．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 3．若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 类型五、一元一次不等式中的最值 【解惑】已知实数x，y，m满足，，则代数式的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【融会贯通】 1．已知正整数a，b，c满足，，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ． 3．已知x，y，z为3个非负数，且满足，，若，则S的最小值为 ，最大值为 ． 类型六、一元一次不等式中的新定义运算 【解惑】定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【融会贯通】 1．对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．对于实数，定义一种运算“”为：，则不等式组的解集为 ． 3．对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 类型七、一元一次不等式比较大小应用 【解惑】阅读下列材料． 要比较两个数a，b的大小，可以通过比较与0的大小来解决：若，则；若，则；若，则．已知，，试比较x，y的大小． 【融会贯通】 1．【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式的大小，只要作出差．若，则：若．则：若，则． 【解决问题】 （1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______（填或）； （2）已知，当时，比较与的大小，并说明理由； 【学以致用】 （3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元／升，第二次油价为元/升（）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明． 2．（1）请认真阅读并完成填空： 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么______； ②如果，那么______； ③如果，那么______． 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”； （2）请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较与的大小． 3．阅读：通过作差的方式可以比较两个数的大小．例如比较a，b两数的大小：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．反之亦成立． 解决问题：甲、乙两个班分别从新华书店购进了A，B两种图书，A种图书的进价为4元/本，B种图书的进价为10元/本．现甲班购进m本A种图书和n本B种图书，乙班购进m本B种图书和n本A种图书． (1)分别用含m，n的式子表示甲、乙两个班的购书总费用． (2)若，请比较哪个班的购书总费用较少． 类型八、一元一次不等式中的新定义应用 【解惑】定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围． 【融会贯通】 1．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如的解为，不等式组，的解集为 ，因为，所以方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (2)若方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 2．新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，关于的不等式得的“关联方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求的取值范围． 3．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是___________；（填序号） ①；    ②；    ③． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 类型九、项目化学习 【解惑】【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 【融会贯通】 1．项目化学习 项目主题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，是指笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期． 项目背景： 某中学为丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划给学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝” 驱动任务： 探究甲、乙两种型号的“文房四宝”的售价． 收集数据： 综合实践小组的同学到文具店进行数据收集，数据如下表： 第一次 第二次 甲型号“文房四宝”（套） 乙型号“文房四宝”（套） 需付款（元） 问题解决： (1)求甲、乙型号“文房四宝”每套的售价； (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，求最多可购买甲型号“文房四宝”的套数． 2． 设计生日蛋糕包装盒 素材1 某兴趣小组在数学社团活动中进行了项目化学习研究“如何设计生日蛋糕包装盒？”． 为便于研究，他们提出合理假设：为圆形生日蛋糕设计包装盒，包装盒由一个顶部为正方形的无底长方体盒子和一个正方形的底部托盘组成，其中顶部正方形和底部托盘边长相同． 蛋糕装好后，用一根彩带从盒子上方缠绕一周，在底部打一个十字，再将彩带两端拉上来在盒子顶部打一个蝴蝶结，打包后的蛋糕如图1所示． 图1 素材2 已知6寸，8寸，10寸，12寸蛋圆形糕的直径分别为． 若要制作一个可以装上述4种尺寸且厚度均为的圆形蛋糕的包装盒．图2是该兴趣小组设计的正方形托盘的平面示意图，虚线圆圈是放置蛋糕的区域，正方形托盘的边沿到这个圆形区域的最短距离为，托盘高为． 图2 素材3 该兴趣小组利用边长为的正方形透明塑料板制作顶部为正方形的无底长方体盒子．在正方形透明塑料板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，如图3所示．将剩余部分折成一个无底长方体盒子．蛋糕顶部与盒子顶部的距离至少为． 设顶部正方形边长为，剪掉的小正方形边长为． 图3 任务1 （1）写出，之间的关系式； 任务2 （2）求的取值范围； 任务3 （3）若用一根长为的彩带打包，要求预留的彩带打蝴蝶结，则彩带是否够用？ 3．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 类型十、阅读理解 【解惑】【阅读理解】 已知，，是三个实数，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数． 如，； ，； 解决下列问题： (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值： (3)由（2）可得结论：“若，则______”（填，，的大小关系），运用这个结论解决问题：若，求的值． 【融会贯通】 1．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解：∵ ∴可化为 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①，② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为　　； (2)分式不等式的解集为　　； (3)解一元二次不等式． 2．【阅读理解】 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，如图所示． 观察数轴发现，以点为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)请直接写出下列绝对值不等式的解集： ①的解集是______； ②的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集：______． 3．阅读理解： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”时有如下方法： 解：∵，∴． 又∵，∴．∴． 又∵，∴．① 同理可得．② 由①+②得，．拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题． (1)已知，，，则的取值范围是_______ (2)已知关于x，y的方程组的解均为正数． ①求的取值范围； ②已知，求的取值范围． 【一览众山小】 1．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．我们把对非负数“四舍五入”到个位的值记为，例如，，…下列结论中：①；②；③；④满足的非负数只有三个．其中结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（   ） A．8组 B．9组 C．10组 D．11组 4．某种商品凡购买100（包括100）件以下的按零售价结算，购买101（包括101）件以上的按批发价结算．已知批发价每件比零售加低2元，某人原预购商品若干件，需按原零售价结算付a元，但若多买21件，则可按批发价结算恰好也是a元（a为整数），则 ． 5．某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了 名护士护理病人． 6．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 7．“满足的每一个数都是不等式的解，所以不等式的解集是．”请你判断这句话是否正确，并说明理由． 8．已知不等式组的解集是，求的取值范围． 9．某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台元，每月可以生产吨产品；型每台元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 10．已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”． (1)当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________． A． B． C． (2)不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________． (3)不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 一元一次不等式与不等式组思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次不等式的整数解 【解惑】使不等式成立的整数共有（   ） A．10000个 B．20000个 C．9999个 D．80000个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，化简绝绝对值，分类讨论是解题的关键． 分，，三种情况，去绝对值，解不等式即可． 【详解】解：当时，，解得，即，其整数解有3999个； 当时，恒成立，整数解有2001个； 当时，999，解得，即，整数解有3999个． 综上所述，使不等式成立的整数共有（个）． 故选：C． 【融会贯通】 1．【新独家原创】满足的最小整数m是（　　） A．2020 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，在对于不等式整数解，要先确定未知数的取值范围，再找到满足题意的整数解． 先求出不等式的解集，再找到最小整数解即可． 【详解】， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， ∴最小整数m是2023． 故选：C． 2．若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，首先确定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解：不等式的解集是：， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3， ∴， ∴a的取值范围是． ∴整数a的最小值是10． 故答案为：10． 3．已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 类型二、一元一次不等式组的整数解 【解惑】关于x的方程的解是非负整数，且关于y的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组和一元一次方程，熟练掌握不等式组和方程的解法是解题关键．先求出不等式组的解集，从而可得的取值范围，再解一元一次方程可得方程的解，根据方程的解是非负整数可得出满足条件的所有整数的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵这个不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， ， ， ， ∵这个方程的解是非负整数， ∴满足条件的所有整数的值为3和5， ∴满足条件的所有整数的和为， 故选：A． 【融会贯通】 1．不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，根据不等式组的解集确定整数解及其个数即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是：． 则整数解是1、2、3、4，共有4个． 故选：D． 2．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的综合，掌握不等式组的取值方法，加减消元法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键． 根据不等式的性质解不等式组，结合不等式组的取值方法得到，运用加减消元法解二元一次方程组得到，根据解为整数，分别代入计算得到满足条件的的值为0或6，由此即可求解． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 解得，， ， 解得，， ∵关于，的二元一次方程组的解为整数， ∴是的倍数，是的倍数， 当整数时，，符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，符合题意； ∴， 故答案为： ． 3．已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解二元一次方程组，先解方程组可得，再由为负数，为非正数，求得，再由不等式的解集为得到，最后取整数即可． 【详解】解：解方程组， 得， 因为为负数，为非正数， 所以， 解得， 因为， 所以． 要使不等式的解集为， 必须， 解得． 又因为3，且为整数， 所以． 故答案为：． 类型三、一元一次不等式组与方程组结合 【解惑】已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是求出．先解方程组得出，再根据为正数，为非负数判断①，把代入可判断②，将代入可判断③． 【详解】解：由得， 为正数，为非负数， ， ，故①错误； 当时，，， ，故②正确； 当时，，， 此时，故③正确， 正确的有②③， 故选：B． 【融会贯通】 1．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】提示：①+②，得，所以．因为，所以， 解得． 2．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 类型四、一元一次不等式的绝对值 【解惑】若满足等式，，则当取最大值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负性的性质，解不等式组，解二元一次方程组，由题意得出，则，，又，，从而求出，则的最大值为，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．对于实数x，规定：，例如：，；给出下列结论： ①； ②若，则满足条件的非负整数有2个； ③若，则； ④若，则或．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算，根据代数式求值，求不等式的整数解，利用平方根解方程，解绝对值方程，逐一进行判断即可． 【详解】解：①；正确 ②若，，，则满足条件的非负整数有0、1、2共3个；错误 ③若，则；或者；错误 ④若则，，，或者；正确； 以上结论正确的个数是2个； 故选B． 2．若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，可把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，取得最小值15，即可求出a的取值范围． 【详解】解：由绝对值的几何意义可得， 把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和， ∴当x位于第8个点时，即当x=-4时， 的最小值为15， ∵， ∴当关于的不等式有解时， a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得的最小值． 3．若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先去掉绝对值符号，再通过对b分类讨论得结论． 解即可． 【详解】解：∵方程||x-a|-b|=5有解， ∴方程|x-a|-b=±5， 即|x-a|=b±5， （1）当b=-5时，即|x-a|=0或|x-a|=-10， ①|x-a|=0时，方程有一个解； ②|x-a|=-10，此时方程无解． 所以当b=-5时，方程只有一个解； （2）当-5＜b＜5时，即b+5＞0，b-5＜0， ①b+5＞0时，方程有两个不相等解， ②b-5＜0时，方程无解． 所以当-5＜b＜5时，方程有两个不相等解； （3）当b=5时，即|x-a|=0或|x-a|=10 ①|x-a|=0时，方程有一个解； ②|x-a|=10，此时方程有两个不相等解． 所以当b=5时，方程有三个解； （4）当b＞5时，即b±5＞0， ①b+5＞0时，方程有两个不相等解， ②b-5＞0时，方程有两个不相等解． 所以当b＞5时，方程有四个不相等解． 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 类型五、一元一次不等式中的最值 【解惑】已知实数x，y，m满足，，则代数式的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减和乘法运算，平方数的非负性，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由，消去m得到，代入可得，再由结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：由得， 由得， ∴， 化简得：， ∴， ∵， ∴， ∴最小值为， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知正整数a，b，c满足，，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组的指数解问题，根据，得到，，结合a，b，c是正整数列不等式求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴，， ∵a，b，c是正整数， ∴，，， 解得：， ∵a，b，c是正整数， ∴当时是使a，b，c都是正整数的最小值， 故选：B． 2．已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ． 【答案】26 【分析】根据已知的式子可得，，即有，再根据a、b、c为非负实数，可得，即可得，，问题随之得解． 【详解】联立， 把a看作常数，解得，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴当时，；当时，； ∴． 故答案为：26． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组方法，解一元一次不等式组方法，用一个字母的代数式表示另一个字母，非负实数性质，代数式产生的最值，是解答本题的关键． 3．已知x，y，z为3个非负数，且满足，，若，则S的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 2 3 【分析】先解三元一次方程组得到，，根据x、y、z是三个非负实数，得到，再求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 得：，解得， ∵x、y、z是三个非负数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴S的最小值为2，最大值为3， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确求出，是解题的关键． 类型六、一元一次不等式中的新定义运算 【解惑】定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的关键． 由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合数轴上得到等式为，即，然后求解即可． 【详解】解：由新运算的定义可得可化为 ∴， ∵由数轴上表示的解集可知， ∴，解得． 故选：B． 【融会贯通】 1．对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可． 【详解】解：， ， 解得：，故①正确； 若，， 解得，故②正确； ， 解得：，故③错误； ， 当时，有最小值，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，平方根的定义，理解新定义运算法则是本题的关键． 2．对于实数，定义一种运算“”为：，则不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次不等式组，关键是掌握求不等式组的运算． 先运算，，化简关于的一元一次不等式组，再求不等式组可得的解集． 【详解】解：∵， ∵， ∴解时， 即为解：， 解得：， 故答案为：． 3．对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得． 【详解】解：根据题意可知， 解得： 有且只有一个正整数解 解不等式①，得： 解不等式②，得： 故答案为：． 类型七、一元一次不等式比较大小应用 【解惑】阅读下列材料． 要比较两个数a，b的大小，可以通过比较与0的大小来解决：若，则；若，则；若，则．已知，，试比较x，y的大小． 【答案】 【分析】计算，根据不等式的性质即可判断大小，此题主要考查代数式的大小比较，解题的关键是：根据题意计算，即可进行判断． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式的大小，只要作出差．若，则：若．则：若，则． 【解决问题】 （1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______（填或）； （2）已知，当时，比较与的大小，并说明理由； 【学以致用】 （3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元／升，第二次油价为元/升（）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当时，方式二加油更划算；当时，方式一加油更划算 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质并灵活运用是解此题的关键． （1）计算，由此即可得出答案； （2）计算，并根据作出判断即可； （3）计算两种方式加油的平均油价为：，再计算出，，分两种情况：当时，当时，分别进行计算即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ； （3）由题意可得： 两种方式加油的平均油价为：， ，， 当时，，，此时，， ，此时方式二加油更划算； 当时，，，此时，， ，此时方式一加油更划算； 综上所述，当时，方式二加油更划算；当时，方式一加油更划算． 2．（1）请认真阅读并完成填空： 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么______； ②如果，那么______； ③如果，那么______． 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”； （2）请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较与的大小． 【答案】（1）①；②；③；（2） 【分析】本题考查阅读理解，涉及等式和不等式的基本性质、整式加减运算等知识，读懂（1）中“求差法比较大小”，灵活运用是解决问题的关键． （1）根据等式和不等式的基本性质，移项即可得到答案； （2）由（1）中“求差法比较大小”，由，计算后与比较大小即可得到答案． 【详解】解：（1）根据等式和不等式的基本性质，移项可得： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； 故答案为：①；②；③； （2） ， ， ，即． 3．阅读：通过作差的方式可以比较两个数的大小．例如比较a，b两数的大小：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．反之亦成立． 解决问题：甲、乙两个班分别从新华书店购进了A，B两种图书，A种图书的进价为4元/本，B种图书的进价为10元/本．现甲班购进m本A种图书和n本B种图书，乙班购进m本B种图书和n本A种图书． (1)分别用含m，n的式子表示甲、乙两个班的购书总费用． (2)若，请比较哪个班的购书总费用较少． 【答案】(1)甲班购书总费用为元，乙班购书总费用为元 (2)乙班的购书总费用较少 【分析】（1）根据购书总费用种图书的进价购进种图书的数量种图书的进价购进种图书的数量即可得； （2）将两个班的购书总费用通过作差的方式比较大小即可得． 【详解】（1）解：甲班购书总费用为元， 乙班购书总费用为元． （2）解： ， ， ，即， ， 答：乙班的购书总费用较少． 【点睛】本题考查了列代数式、不等式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 类型八、一元一次不等式中的新定义应用 【解惑】定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键. （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； 【详解】（1）①， 解得：， ②， 解得：， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“子方程”是：①②， 故答案为：①②： （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 解方程得，， 方程是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， ∴； （3）方程， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的方程关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得：. 【融会贯通】 1．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如的解为，不等式组，的解集为 ，因为，所以方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (2)若方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 【答案】(1)的取值范围是 (2)的取值范围是 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （2）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组得：． 解方程得：， ∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：解方程得， 解方程得， ∵方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以的取值范围是． 2．新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，关于的不等式得的“关联方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①②； (2)； (3)． 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次不等式组，理解“关联方程”的概念，是解题的关键： （1）分别求出每个方程的解以及不等式组的解集，进行判断即可； （2）求出方程的解和不等式组的解集，根据“关联方程”的定义，得到的取值范围即可； （3）根据不等式组有个整数解，结合“关联方程”的定义，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：解，得：； 解，得：； 解，得：， 解，得：， 故①②是的关联方程； 故答案为：①②； （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 原不等式组的解集为， 关于的方程的解为， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， 在范围内， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， 的解集为， 此时不等式组有4个整数解， ， 解得， 关于的方程的解为， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， 在范围内 ， 解得， 综上所述，． 3．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是___________；（填序号） ①；    ②；    ③． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∴①是不等式组的“友好方程”， 故答案为：①； （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“友好方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程，都是关于x的不等式组的“友好方程”， ， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． 类型九、项目化学习 【解惑】【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么． 【答案】任务一：5，10任务二：31任务三：，，，图见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用和不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键． 任务一：直接解方程组即可； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可； 任务三：先列方程组求出，根据题意得出或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当时无法放置，当时能放置并画出放置方式即可． 【详解】解：任务一： 由①得：， 把代入②，得：， 原方程组的解是； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得： ， 解得：， 则图2中阴影部分的面积； 任务三：由题意得：， 解得：， 且a、b、c均为正整数， ， 解得：， 或2， 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时不能放置； 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时能放置，放置方式如下图： 【融会贯通】 1．项目化学习 项目主题： “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，是指笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期． 项目背景： 某中学为丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划给学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝” 驱动任务： 探究甲、乙两种型号的“文房四宝”的售价． 收集数据： 综合实践小组的同学到文具店进行数据收集，数据如下表： 第一次 第二次 甲型号“文房四宝”（套） 乙型号“文房四宝”（套） 需付款（元） 问题解决： (1)求甲、乙型号“文房四宝”每套的售价； (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，求最多可购买甲型号“文房四宝”的套数． 【答案】(1)甲型号“文房四宝”每套价格为元，乙型号“文房四宝”每套价格为元； (2)套． 【分析】（）设甲型号“文房四宝”每套价格为元，乙型号“文房四宝”每套价格为元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （）设购买甲型号“文房四宝”套，则购买乙型号“文房四宝”套，根据题意列出一元一次不等式即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型号“文房四宝”每套价格为元，乙型号“文房四宝”每套价格为元， 根据题意得， 解得， 答：甲型号“文房四宝”每套价格为元，乙型号“文房四宝”每套价格为元； （2）解：设购买甲型号“文房四宝”套，则购买乙型号“文房四宝”套， 根据题意得，， 解得， ∵取最大的正整数， ∴， 答：最多可购买甲型号“文房四宝”套． 2． 设计生日蛋糕包装盒 素材1 某兴趣小组在数学社团活动中进行了项目化学习研究“如何设计生日蛋糕包装盒？”． 为便于研究，他们提出合理假设：为圆形生日蛋糕设计包装盒，包装盒由一个顶部为正方形的无底长方体盒子和一个正方形的底部托盘组成，其中顶部正方形和底部托盘边长相同． 蛋糕装好后，用一根彩带从盒子上方缠绕一周，在底部打一个十字，再将彩带两端拉上来在盒子顶部打一个蝴蝶结，打包后的蛋糕如图1所示． 图1 素材2 已知6寸，8寸，10寸，12寸蛋圆形糕的直径分别为． 若要制作一个可以装上述4种尺寸且厚度均为的圆形蛋糕的包装盒．图2是该兴趣小组设计的正方形托盘的平面示意图，虚线圆圈是放置蛋糕的区域，正方形托盘的边沿到这个圆形区域的最短距离为，托盘高为． 图2 素材3 该兴趣小组利用边长为的正方形透明塑料板制作顶部为正方形的无底长方体盒子．在正方形透明塑料板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，如图3所示．将剩余部分折成一个无底长方体盒子．蛋糕顶部与盒子顶部的距离至少为． 设顶部正方形边长为，剪掉的小正方形边长为． 图3 任务1 （1）写出，之间的关系式； 任务2 （2）求的取值范围； 任务3 （3）若用一根长为的彩带打包，要求预留的彩带打蝴蝶结，则彩带是否够用？ 【答案】任务1：；任务2：；任务3：不够用，理由见解析 【分析】此题考查了平面展开一最短路径问题，展开图折叠成几何体，弄清题意是解本题的关键． 任务1：根据图3，结合题意列出a与h的关系式即可； 任务2：根据要制作一个可以装上述4种尺寸且厚度均为的圆形蛋糕的包装盒且正方形托盘的边沿到这个圆形区域的最短距离为，托盘高为，蛋糕顶部与盒子顶部的距离至少为，求出a的范围即可； 任务3：当a取最小值时，求出需要的彩带长度，判断即可． 【详解】解：任务1：根据题意得：， ∴，之间的关系式为：； 任务2：根据题意得：，， 即， 解得：； 任务3：根据题意得：， ∴彩带不够用． 3．在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)如果仅要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设需要甲种原料，则需要乙种原料，然后根据要求至少含有4200单位的蛋白质列出不等式求解即可； （2）根据购买甲、乙两种原料的费用不超过72元结合（1）所求，建立关于x的不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设需要甲种原料，则需要乙种原料， 由题意得， ∴， 解得； （2）解：由题意得， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键． 类型十、阅读理解 【解惑】【阅读理解】 已知，，是三个实数，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数． 如，； ，； 解决下列问题： (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值： (3)由（2）可得结论：“若，则______”（填，，的大小关系），运用这个结论解决问题：若，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)， 【分析】（1）根据新定义可得出，解不等式组即可求解； （2）先求得，根据新定义，列出不等式组，即可求解； （3）根据（2）的结论得出a、b、c的关系，然后列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：，， ∴， ∴， 解得 （3）解：根据（2）可得； 故答案为：； 根据题意，得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了求平均数，不等组的应用，解二元一次方程组，有理数大小比较，代数式求值，理解新定义运算是解题的关键． 【融会贯通】 1．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解：∵ ∴可化为 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①，② 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为　　； (2)分式不等式的解集为　　； (3)解一元二次不等式． 【答案】(1)或； (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过分析获得解决此类问题的方法． （1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可； （2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可； （3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可化为 ， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ① ，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得； ∴的解集为或； （2）解：∵， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ∴①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得； ∴的解集为或； （3）解：∵， ∴， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得 ①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解； ∴的解集为； 2．【阅读理解】 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，如图所示． 观察数轴发现，以点为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)请直接写出下列绝对值不等式的解集： ①的解集是______； ②的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集：______． 【答案】(1)①或；② (2)或； (3)或． 【分析】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 【详解】（1）解：①根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； ②的解集是， 故答案为： （2）由得到， 根据绝对值的定义，当时，或,分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或,分界点把数轴分为三部分： 点的左边及本身的点表示的数的绝对值大于等于15； 点，之间的点表示的数的绝对值小于15； 点右边的点及本身的点表示的数的绝对值大于等于15． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案是：或．． 3．阅读理解： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”时有如下方法： 解：∵，∴． 又∵，∴．∴． 又∵，∴．① 同理可得．② 由①+②得，．拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题． (1)已知，，，则的取值范围是_______ (2)已知关于x，y的方程组的解均为正数． ①求的取值范围； ②已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由，可得，，再求解，从而可得答案； （2）①先解方程组可得，再根据题意得，再解不等式组即可；②由，可得，可得，则，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴的取值范围是 （2）①∵ ∴解方程组得 根据题意得 解得 ②∵，∴ ∵① ∴ ∴② ①+②，得． 【点睛】本题考查的是二元一次方程与不等式组的联系，二元一次方程组的解法，不等式组的解法，选择合适的方法解题是关键． 【一览众山小】 1．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了逆命题、命题真假的判定、不等式的性质、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可． 【详解】解：A．该选项的逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；     B． 该选项的逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；     C． 该选项的逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；     D． 该选项的逆命题为：如果，那么是真命题，符合题意． 故选D． 2．我们把对非负数“四舍五入”到个位的值记为，例如，，…下列结论中：①；②；③；④满足的非负数只有三个．其中结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．对于①可直接判断，②可用举反例法判断，③、④我们可以根据题意所述利用不等式判断． 【详解】解：①由题意得，故①正确； ②如当时，，，所以，故②错误； ③当为非负整数时，不影响“四舍五入”，故，故③正确； ④为整数， 设为整数，则， 解得：， ，共3个，故④正确； 综上可得正确的有3个． 故选：C． 3．三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（   ） A．8组 B．9组 C．10组 D．11组 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为，，根据三个数之和小于33，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出这样的正整数有9组． 【详解】解：设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为，， 依题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为1，2，3，4，5，6，7，8，9， ∴这样的正整数有9组． 故选B． 4．某种商品凡购买100（包括100）件以下的按零售价结算，购买101（包括101）件以上的按批发价结算．已知批发价每件比零售加低2元，某人原预购商品若干件，需按原零售价结算付a元，但若多买21件，则可按批发价结算恰好也是a元（a为整数），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，读懂题意找准等量关系，根据题意求出的取值范围是解本题的关键． 设零售价为x件，则批发为件，每件零售价为y元，则批发价为元，根据题意列出方程，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：设零售价为x件，则批发为件，每件零售价为y元，则批发价为元， 根据题意得：， 即：， ∵为正整数， ∴为2的倍数， 根据题意知：， ∴， 则， 解得：，且为2的倍数 ∴时，， ∴． 故答案为：． 5．某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了 名护士护理病人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确列出不等式组．设这个医院安排了名护士护理病人，根据题意列不等式组即可求解． 【详解】解：设这个医院安排了名护士护理病人， 根据题意可得：， 解得：， 为整数， ， 故答案为：． 6．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 分别解出每个不等式，然后根据不等式组的解集是，即可得到一个关于m的不等式，从而求解． 【详解】解：， 由得，， 由得，， 关于的不等式组的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 7．“满足的每一个数都是不等式的解，所以不等式的解集是．”请你判断这句话是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题考查了不等式解集及解不等式，熟练掌握不等式解集的定义是解题的关键； 可先求不等式的解集，再根据解集的定义判断该说法是否正确即可． 【详解】解：， ， 即， 所以，不等式的解集是， 满足的数，确实都是不等式的解，但不等式的解不只是满足的数，还有满足的数也是不等式的解，而不等式的解集是指不等式的所有解组成的集合， 所以仅说不等式的解集是是不正确的． 8．已知不等式组的解集是，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤．先分别求解两个不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 因为该不等式组的解集是， 所以， 所以． 9．某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台元，每月可以生产吨产品；型每台元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台 (3)选购型设备台，型设备台 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可列二元一次方程组，求解即可得到结果． （2）设型设备台，型设备台，根据题意可列一元一次不等式，求解可得的值，对应四种采购方案． （3）根据题意可列一元一次不等式，求解可得的两个值，分别计算当，时，对应的总资金，即可得出最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：根据题意可列， 解得， ∴，． （2）解：设型设备台，型设备台， 根据题意可列：， 解得：， 取正整数， ， 有四种方案： ①型设备台，型设备台； ②型设备台，型设备台； ③型设备台，型设备台； ④型设备台，型设备台； （3）解：由题意得：， 解得：， ， 取正整数， 或， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 应选购型设备台，型设备台． 10．已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”． (1)当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________． A． B． C． (2)不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________． (3)不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________． 【答案】(1)B (2) (3)3，5，7 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，理解不等式组的“关联解”定义以及熟练掌握一元一次不等式组的解法是解此题的关键． （1）先求出每个不等式组的解集， 再根据不等式组的“关联解”定义判断即可； （2）先求出不等式组的解集是，求出，根据题意得出不等式组并求出即可． （3）先求出不等式组的解集是，根据“关联解”定义得出解出a的范围，结合是整数即可求出结论． 【详解】（1）解：A．， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，不存在， B．， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当，时，存在， C． 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当存在， 当时，不存在， 故选：B； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 若，且， ， ， ， ， 故答案为：； （3）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 若，且， ， ， ， 解得：， ， ， ， 是整数，， ． 故答案为：3,5,7. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$