第7章 一元一次不等式与不等式组（基础+中等类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第7章 一元一次不等式与不等式组思维导图 【类型覆盖】 类型一、不等式与一元一次不等式(组)的定义 【解惑】已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【融会贯通】 1．下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若是关于的一元一次不等式，则 ． 3．若是关于x的一元一次不等式，则 ． 类型二、列不等式(组) 【解惑】下列根据语句列出的不等式错误的是（    ） A．“的3倍与1的和是正数”，表示为 B．“的与的的差是非负数”，表示为 C．“与的和不大于的”，表示为 D．“两数的和的3倍不小于这两数的积”，表示为 【融会贯通】 1．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于．据此情境，可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 2．根据数量关系“x的2倍与3的和小于4”，列不等式为 ． 3．小明要从A地到B地，两地相距，已知他步行的平均速度为，跑步的平均速度为．若他要在不超过的时间内到达，则他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为，则列出的不等式为 ． 类型三、不等式的性质 【解惑】若，且为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．由，得，其依据是 ． 3．已知，则 （填“”或“”）． 类型四、不等式的解集在数轴上表示出来 【解惑】不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为： ． 3．关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为 ． 类型五、一元一次不等式(组)求参 【解惑】若方程的解是负数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 3．已知，则关于x的不等式组的整数解共有 个． 类型六、一元一次不等式(组)有、无解 【解惑】若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是 ． 3．若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 类型七、一元一次不等式的行程问题 【解惑】某段隧道全长有一辆汽车以每小时到的速度通过该隧道．下列各项中，可能是该车通过隧道所用时间的是.( ) A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 2．一艘轮船从某江上游的A地匀速驶到下游的B地用了5小时，从B地匀速返回A地用了不到6小时．已知这段时间内，江水的流速为，轮船在静水里的往返速度不变．那么在上述情况下，轮船的速度v应满足的条件为 ． 3．从甲地到乙地有一段平路与一段上坡路，若骑自行车，平路每小时 15千米，上坡每小时10千米，下坡每小时18千米，因此从甲地到乙地需29分钟，从乙地到甲地需25分钟. (1)求甲、乙两地的全程是多少千米； (2)小明以上述速度从乙地去甲地，骑行了8分钟后接到电话，需比计划提前5分钟到达甲地(接电话的时间不计).求小明接电话后骑车的速度至少是每小时多少千米. 类型八、一元一次不等式的利润问题 【解惑】一批火龙果的进价是每千克10元，在销售中估计有的正常损耗，商家要想获得至少的利润，那么这批火龙果的售价至少为每千克（    ） A．15元 B．14元 C．13元 D．12元 【融会贯通】 1．某年7月份全国多地出现极端高温天气，网友戏称，三分之一个中国进人了“烧烤”模式，市民出行纷纷撑伞防晒．某商家抓住这一商机，以20元的进价购进一批太阳伞，以30元的标价出售，为了让利给顾客，商家准备打折销售，但要保持利润率不低于，则至多打（   ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 2．某商场销售大熊猫毛绒玩具，已知进价为120元，标价为180元，为了促销，商家决定打折销售，但利润率不能低于，则最多打 折（利润率） 3．某商店店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款电风扇，如表中是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 3台 5台 1800元 第二天 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） (1)求A、B两款电风扇的销售单价； (2)若该商店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款电风扇共30台，求A款电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，在销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 类型九、解一元一次不等式(组) 【解惑】解不等式组：，并把解集表示在数轴上．    【融会贯通】 1．解不等式组： 2．解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 3．解下列不等式或解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2) 类型十、一元一次不等式与二元一次方程组结合应用 【解惑】《成都市新能源和智能网联汽车产业发展规划（2023﹣2030年）》于2023年6月25日印发实行，“规划”中提到要积极开展新能源物流车、网约车推广，逐步完成公务车、公交车、出租车等领域的全面电动化转型．青白江区内的国际铁路港综合保税区某汽车品牌店积极实施该规划，销售A，B两种型号的新能源汽车，第一周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；第二周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价； (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ 【融会贯通】 1．某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗． (1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价； (2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？ (3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？ 2．小丽利用暑假进行勤工俭学，摆摊销售A、B两种商品，其进价和售价如下表： 进价/元 售价/元 A 2 3.5 B 2.5 4.5 (1)小丽第一次用350元购进A、B两种商品，销售完后，共获利275元，第一次购进A、B两种商品各多少件？ (2)若小丽第二次共购进A、B两种商品250件，在进价和售价均不变的情况下，要使售完所有商品的利润不低于400元，则至少需要购进B种商品多少件？ 3．学校选拔出了一批体育代表队，代表学校参加校联赛，现准备为全体出行师生租用接送车辆．已知4辆大客车和2辆小客车一次可载270人，2辆大客车和4辆小客车一次可载240人，大客车和小客车的租金分别为800元/辆，600元/辆． (1)求两种车的载客量各为多少； (2)已知学校本次出行的全体师生共205人，在保证每位师生都有座位的前提下，计划租用5辆车，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算选出最省钱的租车方案． 【一览众山小】 1．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 2．若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．不等式的解集是 D．是不等式的解 4．不等式的解集是 ． 5．“的倍比小”用不等式表示为 ． 6．现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍间数为 ． 7．解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上． 8．[核心素养]对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 9．若关于和的二元一次方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)是否存在一个整数使不等式的解集为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 10．星期天，爸爸、妈妈带小明去商场选购一款空调．他们选择了其中两款，小明查阅出两款空调的基本能效信息如下表： 型号 能效能级 售价/元 平均每年耗电量/ 居民电价 品牌一 1级 3048 640 0.56元/ 品牌二 3级 2600 800 (1)两款空调使用多少年，综合费用（综合费用售价电费）相同； (2)若空调使用年限为10年，请你帮助小明一家分析购买、使用哪种品牌空调综合费用较低，说明你的理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 一元一次不等式与不等式组思维导图 【类型覆盖】 类型一、不等式与一元一次不等式(组)的定义 【解惑】已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．主要依据不等式的定义来判断． 【详解】解：①是等式； ②是多项式； ③是多项式； ④符合不等式的定义； ⑤符合不等式的定义； 所以，不等式是④⑤，共2个， 故选：A． 【融会贯通】 1．下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，是方程； ②，不含未知数，不是一元一次不等式； ③，是代数式，不是不等式； ④，是一元一次不等式； ⑤，是一元一次不等式． 故选：A． 2．若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 3．若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义可知，，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：． 类型二、列不等式(组) 【解惑】下列根据语句列出的不等式错误的是（    ） A．“的3倍与1的和是正数”，表示为 B．“的与的的差是非负数”，表示为 C．“与的和不大于的”，表示为 D．“两数的和的3倍不小于这两数的积”，表示为 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，根据题意，找出关键词语“正数”“非负数”“不大于”“不小于”列出不等式即可． 【详解】解：A、“的3倍与1的和是正数”，表示为，正确，不符合题意； B、“的与的的差是非负数”，表示为，正确，不符合题意； C、“与的和不大于的”，表示为，正确，不符合题意； D、“a、b两数的和的3倍不小于这两数的积”，表示为错误，应表示为：故此选项符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于．据此情境，可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列不等式组，解题的关键是理解题意，根据酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于，列出不等式组即可． 【详解】解：∵脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于， ∴， 故选：A． 2．根据数量关系“x的2倍与3的和小于4”，列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，读懂题意，根据题中描述的数量关系正确列出不等式是解题的关键． 根据题中描述的数量关系列出不等式即可． 【详解】解：∵x的2倍为， ∴x的2倍与3的和小于4可表示为：， 故答案为：． 3．小明要从A地到B地，两地相距，已知他步行的平均速度为，跑步的平均速度为．若他要在不超过的时间内到达，则他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为，则列出的不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的知识，根据题意正确列出一元一次不等式，即可得到答案． 【详解】要在不超过的时间内到达，即时小明步行、跑步的总里程， ∴小明步行的平均速度为，跑步的平均速度为， ∴， 故答案为：． 类型三、不等式的性质 【解惑】若，且为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵， ∴或或，原选项不符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵， ∴或或，原选项不符合题意； 、∵，， ∴，原选项符合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选B． 2．由，得，其依据是 ． 【答案】不等式的基本性质2 【分析】本题考查的是不等式的性质，根据不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，从而可得答案. 【详解】解：∵， 两边都除以得：， ∴其依据是：不等式的基本性质2， 故答案为：不等式的基本性质2 3．已知，则 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质．利用不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 类型四、不等式的解集在数轴上表示出来 【解惑】不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考示不等式的解集在数轴上的表示，注意数轴上空心和实心表示． 求出不等式的解集进行表示即可． 【详解】解：不等式的解集为． 解集在数轴上表示如图所示， 故选：A． 【融会贯通】 1．不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，先根据在数轴上表示不等式组解集的方法把此不等式组的解集表示出来，再找出符合条件的选项即可． 【详解】解：在数轴上表示不等式组的解集为选项B所示． 故选：B． 2．如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集．根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可． 【详解】解：由数轴可得：关于x的不等式的解集是： 故答案为：． 3．关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟练的利用数轴确定解集的公共部分是解答此题的关键．由数轴知且，再确定其公共部分即可． 【详解】解：由数轴知：且， 其公共部分为， 故答案为：． 类型五、一元一次不等式(组)求参 【解惑】若方程的解是负数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式、一元一次方程的解，解答本题的关键是明确解一元一次方程和解一元一次不等式的方法．先求出方程的解，然后根据方程的解是负数，即可求得的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：， 解得， 方程的解是负数， 故选：A． 【融会贯通】 1．若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先分别解两个不等式，再根据两个不等式的解解相同得关于m的方程，解方程即可得解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵两个不等式的解集相同， ∴， 解得． 故选：C． 2．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解关于k的不等式是本题的一个难点．注意解一元一次不等式的方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 首先要解这个关于x的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于k的不等式，最后求出k的取值范围． 【详解】解：， 移项，得， 关于的方程的解是非负数， ， 解得：， 故答案为：． 3．已知，则关于x的不等式组的整数解共有 个． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求出不等式组的解集为，根据确定整数解即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵， ∴该不等式组的整数解是3和4，共有2个． 故答案为：． 类型六、一元一次不等式(组)有、无解 【解惑】若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， ∴， 故选：D ． 【融会贯通】 1．若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出两个不等式的解集，再根据大大小小找不到（无解）进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵原不等式组无解， ∴， 故选：D． 2．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解的情况，求参数的范围，先求出每一个不等式的解，根据不等式组有解，得到关于的不等式，进一步求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有解， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组无解的求参数，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．分别解不等式组的两个不等式，结合该不等式组无解，可得关于的不等式，，然后求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 解不等式②，可得 ， ∵该不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 类型七、一元一次不等式的行程问题 【解惑】某段隧道全长有一辆汽车以每小时到的速度通过该隧道．下列各项中，可能是该车通过隧道所用时间的是.( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据隧道的全长和汽车行驶的速度范围， 列出不等式求解， 可将汽车通过隧道所用的时间范围求出．本题主要是读懂题意， 列出不等式求解即可． 【详解】解： 依题意得：， 公里时公里分钟， 80公里时公里分钟公里分钟， 即， 解得， 故该车通过隧道所用的时间可能是8分钟 ． 故选：B． 【融会贯通】 1．一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，正确找出不等关系是解题的关键． 由题意知顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，根据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不等式． 【详解】水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米， 顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米， ∴． 故选C． 2．一艘轮船从某江上游的A地匀速驶到下游的B地用了5小时，从B地匀速返回A地用了不到6小时．已知这段时间内，江水的流速为，轮船在静水里的往返速度不变．那么在上述情况下，轮船的速度v应满足的条件为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，得出不等关系列出不等式，根据从B地匀速返回A地用了不到6小时列出不等式求解即可． 【详解】解：由顺流速度=静水速度水流速度， 得轮船从某江上游的A地匀速驶到下游的B地的速度为， 则轮船从某江上游的A地匀速驶到下游的B地的距离为． 由逆流速度静水速度水流速度， 得轮船从B地匀速返回A地的速度为， 则轮船从B地匀速返回A地的时间为：， 根据题意，得， 由，解不等式组： ， 解得：， 故v应满足的条件为． 故答案为：． 3．从甲地到乙地有一段平路与一段上坡路，若骑自行车，平路每小时 15千米，上坡每小时10千米，下坡每小时18千米，因此从甲地到乙地需29分钟，从乙地到甲地需25分钟. (1)求甲、乙两地的全程是多少千米； (2)小明以上述速度从乙地去甲地，骑行了8分钟后接到电话，需比计划提前5分钟到达甲地(接电话的时间不计).求小明接电话后骑车的速度至少是每小时多少千米. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程与一元一次不等式的实际应用： （1）设平路所用的时间为x小时，根据“上坡与下坡的路程相等”列一元一次方程求得x的值，即可求解； （2）由（1）可得下坡的时间，再设小明接到电话后骑车的速度是，根据题意列一元一次不等式，求得y的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设平路所用的时间为x小时， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲、乙两地的全程是； （2）解：∵平路长：，坡路长：， ∴下坡的时间为， 设小明接到电话后骑车的速度是， 由题意得，， 解得， 答：小明接电话后骑车的速度至少是． 类型八、一元一次不等式的利润问题 【解惑】一批火龙果的进价是每千克10元，在销售中估计有的正常损耗，商家要想获得至少的利润，那么这批火龙果的售价至少为每千克（    ） A．15元 B．14元 C．13元 D．12元 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设这批火龙果的售价为每千克元，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：设这批火龙果的售价为每千克元， 由题意可得：， 解得：， ∴这批火龙果的售价至少为每千克15元， 故选：A． 【融会贯通】 1．某年7月份全国多地出现极端高温天气，网友戏称，三分之一个中国进人了“烧烤”模式，市民出行纷纷撑伞防晒．某商家抓住这一商机，以20元的进价购进一批太阳伞，以30元的标价出售，为了让利给顾客，商家准备打折销售，但要保持利润率不低于，则至多打（   ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【答案】B 【分析】设至多需要打x折，根据题意，得，解不等式解答即可． 本题考查了不等式的应用—至多问题，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：设要打x折， 根据题意，得：， 解得， 故选：B． 2．某商场销售大熊猫毛绒玩具，已知进价为120元，标价为180元，为了促销，商家决定打折销售，但利润率不能低于，则最多打 折（利润率） 【答案】八 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设这种大熊猫毛绒玩具打折销售，利用利润售价进价，结合利润率不能低于，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设这种大熊猫毛绒玩具打折销售， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为8． 所以这种大熊猫毛绒玩具最多可以打八折． 故答案为：八 3．某商店店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款电风扇，如表中是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 3台 5台 1800元 第二天 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） (1)求A、B两款电风扇的销售单价； (2)若该商店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款电风扇共30台，求A款电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，在销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元 (2)超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元 (3)超市不能实现利润1400元的目标，理由见解析 【分析】（1）设种型号的电风扇的销售单价是元，种型号的电风扇的销售单价是元，利用销售收入销售单价销售数量，结合近两周、两种型号的电风扇的销售数据，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购台种型号的电风扇，则采购台种型号的电风扇，根据采购总价不多于5400元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）超市销售完这30台电风扇不能实现利润为1400元的目标，利用总利润每台种型号的电风扇的销售利润采购数量每台种型号的电风扇的销售利润采购数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合，即可得出结论． 本题靠出来二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设种型号的电风扇的销售单价是元，种型号的电风扇的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：种型号的电风扇的销售单价是250元，种型号的电风扇的销售单价是210元； （2）解：设采购台种型号的电风扇，则采购台种型号的电风扇， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为10． 答：种型号的电风扇最多能采购10台，采购金额不多于5400元； （3）解：超市销售完这30台电风扇不能实现利润为1400元的目标，理由如下： 根据题意得：， 解得：， 又， 不符合题意，舍去， 超市销售完这30台电风扇不能实现利润为1400元的目标． 类型九、解一元一次不等式(组) 【解惑】解不等式组：，并把解集表示在数轴上．    【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下：    【融会贯通】 1．解不等式组： 【答案】 【分析】此题考查了解不等式组．求出每个不等式的解集，取公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为． 2．解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴这个不等式组的解集为． 将不等式组的解集在数轴上表示如图． ； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴这个不等式组的解集是． 将不等式组的解集在数轴上表示如图． ． 3．解下列不等式或解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2)先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了解不等式，解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 在数轴上表示如答图①． ． （2）解：∵ ∴由①，得． 由②，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示如答图②． 类型十、一元一次不等式与二元一次方程组结合应用 【解惑】《成都市新能源和智能网联汽车产业发展规划（2023﹣2030年）》于2023年6月25日印发实行，“规划”中提到要积极开展新能源物流车、网约车推广，逐步完成公务车、公交车、出租车等领域的全面电动化转型．青白江区内的国际铁路港综合保税区某汽车品牌店积极实施该规划，销售A，B两种型号的新能源汽车，第一周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；第二周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价； (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ 【答案】(1)每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； (2)共有2种购车方案．方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组在，正确列出算式是解题关键． （1）设每辆A型车和每辆 B 型车的售价分别是x万元、y万元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购买A型车a辆，则购买B型车辆，由题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每辆A型车和每辆 B 型车的售价分别是x万元、y万元，根据题意得： ， 解得， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购买A型车a辆，则购买B型车辆． 由题意，得． 解得， ∴， ∵a是正整数， ∴或 3． ∴共有2种购车方案． 方案一：购买2辆A型车和4辆B型车； 方案二：购买3辆A型车和3辆B型车． 【融会贯通】 1．某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗． (1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价； (2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？ (3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？ 【答案】(1)女贞树苗的单价为6元，小叶黄杨树苗的单价为2元 (2)250棵 (3)一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买女贞树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和不等式是解题的关键． （1）设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，然后根据题意二元一次方程组求解即可； （2）设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．然后根据题意列不等式求解即可； （3）由题意列不等式可得，再结合（2）的结论可得，即的取值可以是250、251、252，据此确定方案即可． 【详解】（1）解：设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元， 根据题意，得，解得： 答：“女贞”树苗的单价为6元，“小叶黄杨”树苗的单价为2元． （2）解：设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵． 由题意可得：，解得． 答：至少购买“女贞”树苗250棵． （3）解：由题意：可列不等式，解得：． 由（2）可知， ． 为整数， 的取值可以是250，251，252， 有三种购买方案， 方案一：购买“女贞”树苗250棵，“小叶黄杨”树苗750棵，费用为（元）； 方案二：购买“女贞”树苗251棵，“小叶黄杨”树苗749棵，费用为（元）； 方案三：购买“女贞”树苗252棵，“小叶黄杨”树苗748棵，费用为（元）． ， 方案一最省钱． 答：一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买“女贞”树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵． 2．小丽利用暑假进行勤工俭学，摆摊销售A、B两种商品，其进价和售价如下表： 进价/元 售价/元 A 2 3.5 B 2.5 4.5 (1)小丽第一次用350元购进A、B两种商品，销售完后，共获利275元，第一次购进A、B两种商品各多少件？ (2)若小丽第二次共购进A、B两种商品250件，在进价和售价均不变的情况下，要使售完所有商品的利润不低于400元，则至少需要购进B种商品多少件？ 【答案】(1)第一次购进种商品50件、种商品100件 (2)至少需要购进种商品50件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设第一次购进种商品件、种商品件，根据第一次购进两种商品的成本、销售完的利润建立方程组，解方程组即可得； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，根据利润不低于400元建立不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：设第一次购进种商品件、种商品件， 由题意得：， 解得， 答：第一次购进种商品50件、种商品100件． （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得：， 解得， 答：至少需要购进种商品50件． 3．学校选拔出了一批体育代表队，代表学校参加校联赛，现准备为全体出行师生租用接送车辆．已知4辆大客车和2辆小客车一次可载270人，2辆大客车和4辆小客车一次可载240人，大客车和小客车的租金分别为800元/辆，600元/辆． (1)求两种车的载客量各为多少； (2)已知学校本次出行的全体师生共205人，在保证每位师生都有座位的前提下，计划租用5辆车，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算选出最省钱的租车方案． 【答案】(1)大客车每辆可载50人，小客车每辆可载35人 (2)见解析 (3)租用大客车2辆，小客车3辆最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总租金=每辆车的租金×租车辆数，分别求出各租车方案所需总租金． （1）设大客车每辆可载人，小客车每辆可载人，根据“4辆大客车和2辆小客车一次可载270人，2辆大客车和4辆小客车一次可载240人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租大客车辆，则租小客车辆．根据学校本次出行的全体师生共205人，列出不等式，求出m的取值范围,即可得出结论； （3）利用总租金=每辆车的租金×租车辆数，可分别求出4种租车方案所需总租金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设大客车每辆可载人，小客车每辆可载人， 根据题意，得， 解得， 答：大客车每辆可载50人，小客车每辆可载35人． （2）解：设租大客车辆，则租小客车辆． 根据题意，得，解得． 又，均为整数， 可取2，3，4，5， 学校共有4种租车方案： 方案①：租用大客车2辆，小客车3辆； 方案②：租用大客车3辆，小客车2辆； 方案③：租用大客车4辆，小客车1辆； 方案④：租用大客车5辆． （3）解：选择方案①时的租车费用为（元）； 选择方案②时的租车费用为（元）； 选择方案③时的租车费用为（元）； 选择方案④时的租车费用为（元）． ， 选择方案①，即租用大客车2辆，小客车3辆最省钱． 【一览众山小】 1．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据移项、合并同类项、系数化为1，求出x的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：C． 2．若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确； B．∵，∴，故不正确； C．∵，∴，∴，故不正确； D．∵，∴ ，正确； 故选D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．不等式的解集是 D．是不等式的解 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分别求出各个选项不等式的解集，判断即可得解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解此题的关键． 【详解】解：A、解不等式得，故不是不等式的解，原说法错误，不符合题意； B、解不等式得，故不是不等式的解，原说法错误，不符合题意； C、解不等式得，故不等式的解集是，原说法错误，不符合题意； D、解不等式得，故是不等式的解，原说法正确，符合题意； 故选：D． 4．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，理解解一元一次不等式的方法是解题关键．根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 5．“的倍比小”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列不等式，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 6．现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍间数为 ． 【答案】5或6 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式组．设宿舍间数为x,则住宿生有人，若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，据此可列不等式组，求得，因x为正整数，即可得到答案． 【详解】解：设宿舍为x间，则住宿生有人， 根据题意得， 解得， ∵x为正整数， ∴x可取5或6， 故答案为：5或6． 7．解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得．    解不等式，得．    原不等式组的解是．     把两个不等式的解表示在数轴上，如图． 8．[核心素养]对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方不等式和一元一次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据题意得到，然后解方程即可； （2）根据题意得到，然后解不等式即可． 【详解】（1）根据题意，得， 解得． （2）根据题意，得， 解得． 9．若关于和的二元一次方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)是否存在一个整数使不等式的解集为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，1，2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）首先对方程组进行化简即可求得含a的表示x和y得代数式；根据方程的解满足的解满足得到不等式组，解不等式组就可以得出a的范围； （2）根据不等式的解集为，求出a的取值范围，即可解答. 【详解】（1）解： ，得 ． ，得 ． 解得：． （2）解：存在．理由如下： 变形为． 原不等式的解集为， ． 由（1）得 ． 为整数， 的值为1，2． 10．星期天，爸爸、妈妈带小明去商场选购一款空调．他们选择了其中两款，小明查阅出两款空调的基本能效信息如下表： 型号 能效能级 售价/元 平均每年耗电量/ 居民电价 品牌一 1级 3048 640 0.56元/ 品牌二 3级 2600 800 (1)两款空调使用多少年，综合费用（综合费用售价电费）相同； (2)若空调使用年限为10年，请你帮助小明一家分析购买、使用哪种品牌空调综合费用较低，说明你的理由． 【答案】(1)两款空调使用5年时，两款空调的综合费用相同 (2)当时，品牌二的空调综合费用较低；当时，品牌一和品牌二的空调综合费用相等；当时，品牌一的空调综合费用较低． 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）设两款空调使用t年，令两款空调的综合费用相等，列关于t的方程并求解即可； （2）通过比较两个代数式的大小，求出对应t的取值范围即可． 【详解】（1）解：设两款空调使用t年，综合费用相同； 1级能效空调的综合费用是（元）， 3级能效空调的综合费用是（元）． 根据题意得，， 解得，， 答：两款空调使用5年时，两款空调的综合费用相同． （2）解：当时，解得； 当时，解得， ∵， ∴． 答：当时，品牌二的空调综合费用较低；当时，品牌一和品牌二的空调综合费用相等；当时，品牌一的空调综合费用较低． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$