10.3 实际问题与二元一次方程组课件2024--2025学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 人教版 七年级 下册 学习目标 合作探究 之方法总结 1、审题 2、设未知量 3、分段推敲找等量关系 4、列方程求解 5、选择正确方案 设计意图： 让学生原来模糊的意识、零散的经验得以梳理，从而初步掌握探究同类问题的一般思路 要求：独立审题，独立完成第1题，第2、3题，组内讨论，组内代表展示成果，群学点评。 设计意图： 1、通过检测使学生刚刚获取的经验得到巩固和深化，强化建模解题的思路； 2、通过分层展示，类比点评，提高分析和解决问题的能力。 设计意图： 1、通过小结，再次让学生感受“数学来源于生活，服务于生活”； 2、明确建模解题的三个环节“将实际问题转化为数学模型、解决数学模型、利用模型结论解释实际问题。 课堂小结 方 程 t=270 电话计费问题 分段分类 知 识 生活中不是缺少美,而是缺少发现美的眼睛，课堂上不是缺少智慧,而是缺少赞美的语言！ 最牛组长 最棒组员 情 感 探究3：电话计费问题 方式二划算 方式一划算 0 350 150 270 88元 方式一划算 方式二划算 58＋0.25(t－150)=8 解之得：t=270 电话计费问题 方程 分段分类 设计意图：让学生在探究过程中始终明确一条线、一个模型，即“分段、分类讨论”和方程。 养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20 kg，每只小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？ 列方程组解决简单实际问题 问题1 题中有哪些未知量，你如何设未知数？ 问题2 题中有哪些等量关系？ (1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg; (2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用 饲料为940kg. 解得： x= , y= . + = 675, + = 940 解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg， 根据等量关系，列方程组： 答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李 大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克，每头小牛一天需用7 到8千克与计算有一定的出入. 30x 15y 42x 20y 20 5 探索新知 + = 42, + = 20. 剧情发展：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？ 解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人，则： 8x 5y 4x 2y 答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人. 探索新知 解得： x =4， y = 2 例1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？ 题中的未知量有胜的场数和平的场数 胜场 平场 合计 场数 得分 x 3x y y 11 27 典例精析 分析 胜的场数+平的场数=11； 胜场得分+平场得分=27. 等量关系 解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得 答：该市第二中学足球队胜8场，平3场. 通过上述两题，总结 用二元一次方程组解 决实际问题的步骤 典例精析 解得： 一审 二设 三列 四解 五验 六答 四解 利用__________法或___________解出未知数的值； 三列 根据___个等量关系列出方程组； 二设 用_______表示题目中的未知数； 一审 弄清题意和题目中的_________； 数量关系 字母 2 代入消元 加减消元法 典例精析 用二元一次方程组解决实际问题的步骤 五验 检验所求的解是否符合实际意义； 六答 写出答语. 典例精析 和差倍分问题 某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息. 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元. 信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价 的2倍少1元 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元. 请根据以上信息，求甲、乙两种商品的零售单价. 解：设甲商品的零售单价为x元，乙商品的零售单价为y元. 商品 零售单价 进货单价 等量关系 甲 x x-1 甲的进货单价+乙的进货单价=3,3×甲的零售单价+2×乙的零售单价=12 乙 y (y+1)/2 依题意得， 解得， 答：甲商品的零售单价为2元，乙商品的零售单价为3元. 典例精析 行程问题 A,B两码头相距140km，一艘轮船在两码头之间航行，顺水航行用了7h，逆水航行用了10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度 解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h 依题意得， 解得， 路程 速度 时间 顺流 140 x+y 7 逆流 140 x-y 10 答：静水速度为17km/h，水流速度为3km/h. 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系. 甲、乙两地相距4km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇. 试问两人的速度各是多少？ 典例精析 行程问题 （1） 同时出发，同向而行 甲出发点 乙出发点 4km 甲追上乙 乙2h行程 甲2h行程 （2） 同时出发，相向而行 甲出发点 乙出发点 4km 相遇地 甲0.5h 行程 乙0.5h行程 甲2h行程=4km+乙2h行程 甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km 解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系，得 解方程组，得 答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h. 2x-2y=4 0.5x+0.5y=4 x=3 y=5 典例精析 行程问题 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？ 分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路. 平路：60 m/min 下坡路：80 m/min 上坡路：40 m/min 平路时间 坡路时间 总时间 上学 放学 解：设小华家到学校平路长x m，下坡长y m. 根据题意，可列方程组： 解方程组，得 所以，小明家到学校的距离为700米. 10 15 x=300 y=400 典例精析 一个工厂共42名工人,每个工人平均每小时生产圆形铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何安排工人的生产,才能使每天生产的铁片正好配套? 配套问题 解：设生产圆形铁片的工人x人，生产长方形铁片的工人y人. 根据题意列出方程组得 （以下部分由同学们完成） 典例精析 配套问题 变式训练 练一练1：某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费. 甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.” 乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.” 请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？ 0～3km的车费+超过3km的车费=总车费 典例精析 等量关系 起步价 超过3km后的费用 合计费用 甲 乙 x x （11-3）y （23-3）y 17 35 解 设出租车的起步价是x元,超过3km后每千米收费y元. 解 设出租车的起步价是x元,超过3km后每千米收费y元. 解这个方程组，得 答：这种出租车的起步价是5元， 超过3km后每千米收费1.5元. 典例精析 练一练2：今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两． 牛、羊各直金几何？ 牛五、羊二 牛二、羊五 典例精析 5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？ 解:设每头牛值“金”x两,每只羊值“金”y两, 典例精析 5x+2y=10, 2x+5y=8. 由题意,得 解得 答:羊值“金” 两,牛值“金” 两. 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？ 列方程组解决几何问题 探索新知 转换成数学语言 A D C B 已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m， 长方形ABCD分割为两个小长方形，分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2. 目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4 探索新知 这里研究的实际上是什么问题? 01 竖着画，把长分成两段，则宽不变 长方形的面积分割 探索新知 横着画，把宽分成两段，则长不变 02 把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？ 01 竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D C F B E 1.大长方形的长=200m 2.甲、乙两种作物总产量比=3:4 探索新知 等量关系式有几个？ 01 竖着画，把长分成两段，则宽不变 1.大长方形的长=200m 2.甲、乙两种作物总产量比=3:4 设AE＝xm，BE＝ym. S长方形AEFD=100x S长方形EFCB=100y 甲：100x×1 乙：100y×2 100x:200y=3:4 1 : 2 A D C F B E x y 200m 100 如何设未知数呢？ 则列方程为 x+y=200 总产量= 单位面积产量×面积 探索新知 先求出两种作物的面积 再写出两种作物的总产量 则列方程为 01 竖着画，把长分成两段，则宽不变 根据题意列方程组为 100x:200y=3:4 x+y=200， 解得 x=120， y=80 解： 过点E作EF⊥AB，交CD于点F. 设AE＝xm，BE＝ym. 答：将这块土地分为边长100m,120m和100m,80m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. A D C F B E x y 200m 100 探索新知 甲种作物 乙种作物 02 横着画，把宽分成两段，则长不变 解：过点E作EF⊥AD，交BC于点F. x+y=100 200x:400y=3:4 解得 x=60， y=40 根据题意列方程组为 A D C B E x y F 乙种作物 甲种作物 200y 200x 200m 100m 答：将这块土地分为边长200m,60m和200m,40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 探索新知 设DE＝xm，AE＝ym. 练一练： 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长 方形地砖的长和宽分别是多少?（单位cm） 解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y. 解此方程组得： x =45, y=15. 答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm. 探索新知 由题意,得 x+y=60， x=3y 60 列方程组解决行程问题 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？ 探索新知 走平路的时间+走下坡路的时间=________， 走上坡路的时间+走平路的时间= _______． 小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路. 平路：60 m/min 10min 15min 探索新知 分析 下坡路：80 m/min 上坡路：40 m/min 方法一（直接设元法） 平路时间 坡路时间 总时间 上学 放学 解：设小华家到学校平路长x m， 下坡路长y m. 根据题意，可列方程组： 答：小明家到学校的距离为700m. 探索新知 解方程组，得 方法二（间接设元法） 平路距离 坡路距离 上学 放学 解：设小华下坡路所花时间为x min, 上坡路所花时间为y min. 根据题意，可列方程组： 答：小明家到学校的距离为700m. 故平路距离：60×（10-5）=300（m） 坡路距离：80×5=400（m） 探索新知 解方程组，得 例2 甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？ 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系. 典例精析 4km 4km （1）同时出发，同向而行 甲出发点 乙出发点 乙2h行程 甲2h行程 （2）同时出发，相向而行 甲出发点 乙出发点 相遇地 甲0.5h行程 乙0.5h行程 典例精析 甲追上乙 甲2h行程=4km+乙2h行程 甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km 解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h. 答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h. 典例精析 根据题意，得 解方程组，得 练一练：我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速. 解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y千米/时. 答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为2.5千米/时. 典例精析 解得 1.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.问有多少节车皮？多少吨货物？ 解：设有x节车皮，y吨货物，根据题意列出方程组得 y=15.5x+4， y=16.5x-8 课堂练习 解得 答：有12节车皮，190吨货物. 2.某班有40名同学看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元.请问甲种和乙种票各多少张？ 答：甲种票25张，乙种票15张. 课堂练习 解：设购买甲种x张，乙种票y张. 根据题意得： 解得 3.课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各多少只？ 答：鸡有23只，兔有12只. 课堂练习 解：设鸡有x只，兔有y只. 解得 头数 脚数 鸡 兔 合计 x y 35 2x 4y 94 4.有甲、乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和等于47，甲 数的5倍比乙数的6倍小1，这两个数分别是多少？ 课堂练习 解：设甲数是x,乙数是y. 解得 答：甲数为10，乙数为 . 5.甲、乙两店共有练习本200本，某月甲店售出19本，乙店售出97本后，甲、乙两店所剩的练习本数目相等，则甲店和乙店原有练习本各多少？ 答：甲店原有练习本61本，乙店原有练习本139本. 课堂练习 解：设甲店原有练习本x本，乙店原有练习本y本. 解得 6.某船顺流航行36km用3h，逆流航行24km用3h，则水流速度和船 在静水中的速度各是多少？ 答：船在静水中的速度为10km/h，水流速度为2km/h. 课堂练习 解：设和船在静水中的速度是xkm/h,水流速度是ykm/h. 解得 隔壁听到人分银， 不知人数不知银。 每人五两多六两， 每人六两少五两。 多少人数多少银？ 5x+6=y, 6x-5=y 由题意得： 7.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证： x=11, y=61 解得： 答：有11个人，61两银. 课堂练习 解：设有x个人，y两银. 解：设甲的速度为x千米/时，乙 的速度为y千米/时,则 答：甲的速度为4千米/时，乙的速度为12千米/时. 课堂练习 8. 甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走6千米乙再动身，则乙走 小时后恰好与甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用 小时可追上甲，求两人的速度． A B 6km 解得 A B 某化工厂要配制浓度为15％的农药100kg，现在有浓度为20％，12％的两种农药. 用这两种农药可以配制出所要求的农药吗？如果可以的话，它们各需多少千克？ 浓度问题 典例精析 解：设需浓度为20%、12%的农药分别为xkg、ykg. 根据题意列出方程组得， （以下部分由同学们完成） 浓度问题的关系式： 技巧点拨 1.溶质质量=溶液质量×浓度 2.混合前溶液的质量和 =混合后溶液的质量和 3.混合后溶质的质量和 =混合后溶质的质量和 浓度问题 变式训练 小明用8个完全相同的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是1的正方形小洞.求小长方形的长和宽. 几何问题 典例精析 分析：题中蕴含的关系为： 图甲中小长方形的长与宽的数量关系 图乙中大长方形的长有两种表示方法. 解：设小长方形的长为x，宽为y. 依题意得， 解得， 答：小长方形的长为5，宽为3. 答：正方形的面积比矩形面积大9cm2 用长48cm的铁丝弯成一个长方形，若将长方形的长边缩短3cm，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比长方形的面积大多少？ 变式训练 几何问题 分析：题中等量关系为： 解：设长方形的长边为x cm，宽为y cm. 依题意得， 解得， 周长为48cm； ②长边-3cm=短边+3cm. 一件商品如果按标价打九折出售可以盈利20%，如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的标价是多少？ 答：商品的售价为200元. 销售问题 典例精析 分析：商品的利润涉及进价、标价和售价，设此商品的标价为x元，进价为y元. 打九折时的售价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，列得方程0.9x-y=20%y;打八折时的售价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10. 解：设此商品的售价为x元，进价为y元. 依题意得， 解得， (1)销售问题中的等量关系： (2)提价问题中的等量关系： 要点提示 答：甲商品的进价为600元，乙商品的进价为400元. 解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元. 有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？ 销售问题 变式训练 分析：题中等量关系为： 甲商品的利润+乙商品的利润=46元； 甲商品的利润+乙商品的利润=44元； 利润=利润率×进价. 依题意得， 解得， 解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审题：弄清题意和题目中的_________； (2)设元：用___________表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用____________或___________解出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 数量关系 字母 2 代入消元法 加减消元法 总结归纳 标价 售价 进价 利润 利润率 打折 让利 按进价提高a% (1)销售问题中的等量关系： (2)提价问题中的等量关系： $$