第08讲基本立体图形（2大知识点+8大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第08讲 基本立体图形 目录 题型归纳 1 题型01 棱柱 3 题型02 棱锥 6 题型03 棱台 9 题型04 圆柱 12 题型05 圆锥 16 题型06 圆台 20 题型07 球 24 题型08 简单组合体 27 分层练习 31 夯实基础 31 能力提升 43 知识点01多面体的结构特征 1、棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 2、棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 3、棱台：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；（2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 知识点02旋转体的结构特征 1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行于轴； （3）轴截面为矩形。 2、圆锥：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形； （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 3、圆台 第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为等腰梯形。 4、球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 题型01棱柱 【例1】（23-24高一下·陕西西安·期中）将棱长为4的正方体表面涂成红色，将其适当分成棱长为1的小正方体，则各面均没有颜色的小正方体个数占总的小正方体个数的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】利用正方体的特征计算即可. 【详解】 如图所示，大正方体分割为个，各面均没有颜色的小正方体有个， 所以答案为. 故选：B 【变式1】（23-24高一下·吉林·期中）在正四棱柱中，，，，，平面与交于点G，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正棱柱及其有关计算 【分析】设，连接，先证明，得，再求出即可求解. 【详解】如图所示，设，连接． 因为， 且几何体为正四棱柱， 所以． 因为平面与交于点， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 故选：C.    【变式2】（23-24高一下·北京房山·期末）已知长方体的长、宽、高分别为1，2，2，则该长方体的对角线的长为 ． 【答案】3 【知识点】棱柱及其有关计算 【分析】根据长方体的对角线长公式计算． 【详解】长方体的对角线长为 故答案为：3 【变式3】（20-21高一下·贵州铜仁·期末）如图，长方体中，，，，求线段的长． 【答案】． 【知识点】棱柱及其有关计算 【分析】连结BD    ，利用勾股定理求出BD，在直角三角形BDD1中细节里有勾股定理即可求出. 【详解】 因为在长方体中，，，， 连接，在中，有， 又因为在长方体中，平面， 所以，在中， ． 题型02 棱锥 【例2】（23-24高一下·吉林·期中）十棱锥共有（    ） A．10个顶点 B．20个顶点 C．10条棱 D．20条棱 【答案】D 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】根据棱锥的分类及性质，即可求出结果. 【详解】因为十棱锥共有个顶点，条棱， 故选：D. 【变式1】（22-23高一下·河南郑州·期中）如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱锥的展开图、棱锥中截面的有关计算 【分析】将正三棱锥的侧面展开，结合侧面展开图，得到要使的周长的最小，则共线，再由正三棱锥的结构特征和数量关系，即可求解. 【详解】将正三棱锥沿剪开，得到侧面展开图，如图所示， 因为，即， 由的周长为， 要使的周长的最小，则共线，即， 又由正三棱锥侧棱长为，是等边三角形， 所以，即虫子爬行的最短距离是. 故选：B.    【变式2】（23-24高一下·天津·期中）已知一个正三棱锥的侧棱长为3，其底面是边长为的等边三角形，则此正三棱锥的高为 . 【答案】 【知识点】正棱锥及其有关计算 【分析】根据顶点P在底面的投影O为正三角形ABC的中心，求出AO，然后由勾股定理可得. 【详解】如图，在正三棱锥中，， 由正三棱锥的性质可知，顶点P在底面的投影O为正三角形ABC的中心， 则， 所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【答案】2 【知识点】棱锥的展开图 【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离. 【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 题型03 棱台 【例3】（23-24高一下·北京大兴·期中）在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．组合体 【答案】C 【知识点】棱台的结构特征和分类 【分析】根据三棱台的结构特点，选出答案. 【详解】 三棱台中，截去三棱锥后得到的是四棱锥， 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【知识点】棱台的展开图、棱台的结构特征和分类 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·山东聊城·期中）五棱台的顶点数为，棱数为，面数为，则 ． 【答案】2 【知识点】棱台的结构特征和分类 【分析】根据题意，由棱台的结构特征求出、、的值，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，五棱台中，，，， 则． 故答案为：2． 【变式3】（22-23高一下·广东深圳·期中）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 . 【答案】 【知识点】正棱台及其有关计算 【分析】取上、下底面的中心，过点作，再利用条件和正四棱台的性质即可求出结果. 【详解】如图，在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连， 因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，所以，过点作，垂足为，则易知且， 在Rt中，，，所以，故正四棱台的高为.    故答案为：. 题型04圆柱 【例4】（23-24高一下·河南新乡·期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题、圆柱轴截面的有关计算 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解. 【详解】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·福建莆田·期中）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（      ） A．21尺 B．25尺 C．29尺 D．33尺 【答案】C 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果. 【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示， 矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺）， 因此葛藤最少长（尺）. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【答案】 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是AE的长求解即可. 【详解】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·安徽·期中）（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【答案】（1）；（2） 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】（1）根据题意，把圆柱侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分3种情况讨论，求出AM的值，比较可得答案. 【详解】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示， 连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离， 因为， 所以 ， 所以蚂蚁爬行的最短路线长为； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法， ①如图1，以DC为轴展开， 此时， ②如图2.以BC为轴展开， 此时，， ③如图3、以 BB1为轴展开， 此时， 综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 题型05 圆锥 【例5】（23-24高一下·山东·期中）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥的结构特征辨析 【分析】利用圆锥与其展开图的关系计算即可. 【详解】设底面半径为， 易知圆锥展开图对应扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，半径为圆锥的母线， 所以. 故选：B 【变式1】（23-24高一下·广东中山·期中）已知一个圆锥的高为6，底面半径为8，现在用一个过两条母线的平面去截圆锥，得到一个三角形，则这个三角形面积的最大值为（    ） A．100 B．50 C．48 D．24 【答案】B 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】首先求出母线长，即可求出，由二倍角公式求出，过圆锥的两条母线，作一个截面，求出截面面积的最大值. 【详解】如图圆锥中，，， 所以圆锥的母线， 则在轴截面中，，，所以， 所以， 所以， 设，则， 所以的面积， 所以当时，截面面积有最大值，最大值为. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里. 【答案】5 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为，由圆锥的结构特征求出的值，作出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理计算可得答案． 【详解】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为， 该圆锥中，底面半径为1公里，母线长为4公里，则有，变形可得， 如图为该圆锥的展开图， 有，，则， 故， 即符合题意最短的铁路的长度为5． 故答案为：5． 【变式3】（21-22高一下·山东泰安·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1)4 (2)8 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】（1）由面积求得高，再勾股定理得母线长； （2）求出轴截面顶角，即圆锥的顶角，从而可得圆锥任意两条母线的夹角的范围．由面积公式得截面面积，结合正弦函数性质得最大值． 【详解】（1）轴截面的面积， 所以， 所以圆锥的母线长. （2）在轴截面中，，， 所以，. 设，则， 所以的面积， 所以当时，截面面积有最大值，最大值为. 题型06 圆台 【例6】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】圆台的结构特征辨析 【分析】由圆台的已知数据，利用勾股定理可求得母线长. 【详解】 由已知得：， 所以在直角梯形中，， 所以圆台的母线长为5. 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆台的展开图 【分析】首先求出底面圆的半径，与上底面的半径，将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，设，利用弧长公式及求出与，再在中利用余弦定理求出即可. 【详解】因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，又，即，所以，则，， 在中由余弦定理 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程为. 故选：A 【变式2】（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 【答案】 【知识点】圆台的展开图、圆台的结构特征辨析 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【详解】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为（cm）. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径的长分别为4，10，则圆台的高为 . 【答案】4 【知识点】圆台的结构特征辨析 【分析】作出辅助线，得到各边长，由勾股定理求出圆台的高. 【详解】如图所示，为圆台的轴截面，分别为上下底面圆心， 则，， 过点作⊥于点，则，， 在中，由勾股定理得， 故圆台的高为4. 故答案为：4 题型07 球 【例7】（22-23高一下·广东湛江·期中）小明在湛江海博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台. 【答案】C 【知识点】球的结构特征辨析 【分析】根据球的结构特征即可求解. 【详解】由球的结构特征可知，球的轴截面是一个圆， 圆柱的轴截面可以是矩形，圆锥的轴截面可以是等腰三角形，圆台的轴截面可以是等腰梯形，故ABD错误，C正确. 故选：C. 【变式1】（20-21高一下·河北保定·期中）两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（    ） A．7 B．17 C．5或12 D．7或17 【答案】D 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】根据球的半径和两个截面圆的面积求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的位置分别求出两个平行平面间的距离． 【详解】解：球的半径为，设两个截面圆的半径别为，，球心到截面的距离分别为，； 球的半径为，由，得； 由，得； 如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差； 即； 如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和． 即； 所以这两个平面间的距离为或． 故选：D． 【变式2】（22-23高一下·福建龙岩·期中）现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为 . 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】画出图形，说明截面弧长，利用弧长公式求解即可. 【详解】如图，以为球心，为半径的球面被正方体表面所截得的弧， 即分别在平面､平面､平面上， 以为圆心､3为半径的圆与所在平面形成的弧，弧，弧， 三条弧所对圆心角都是， 所以所求弧长的和为. 故答案为： 【变式3】（高一下·福建漳州·期末）已知球的半径为5. （1）求球的表面积； （2）若球有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离. 【答案】（1）；（2）1或7. 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】（1）利用球的表面积公式计算即可； （2）先求球心到两个截面的距离，再计算即可. 【详解】解：（1）因为球的半径为，所以球的表面积为. （2）设两个半径分别为和的平行截面的圆心分别为和， 所以， 所以， 所以， 或， 所以两个截面之间的距离为1或7. 【点睛】本题考查了球的表面积和截面问题，属于基础题. 题型08 简单组合体 【例8】（22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【知识点】组合体的构成 【分析】根据组合体基本构成即可得答案. 【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 【变式1】（22-23高一下·浙江·期中）如图，在平行六面体中，所有棱长为，，，分别取上的点使，以为圆心，为半径分别在平面和平面内作弧，并将两弧各六等分，等分点依次为以及，一只蚂蚁欲从点出发，沿平行六面体表面爬行至，则其爬行的最短距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】组合体表面两点间的最短路径 【分析】将四边形和四边形沿展开，使得两四边形在同一平面，连接，则的长度即为所求最短距离. 【详解】如图，将四边形和四边形沿展开，使得两四边形在同一平面， 连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短距离， 因为，分别为弧的六等分点，且，， 所以，， 所以， 又因为，所以， 故选：B 【变式2】（23-24高一下·江西九江·期末）如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 . 【答案】40 【知识点】求组合体的体积 【分析】利用割补法求解几何体体积； 【详解】依题意，将该“四角反棱台”还原成长方体，知该几何体为长方体截取 四个相同大小的四棱锥，如图.则该几何体体积为 . 故答案为：40. 【变式3】（20-21高一下·河北邯郸·期中）如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】棱锥的展开图、组合体表面两点间的最短路径 【分析】将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为，根据数据求解即可． 【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为； 在中，，则． 所以的最小值为. 故答案为：. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 【答案】D 【分析】利用柱、锥、台的结构特征逐项判断即得. 【详解】对于A，在三棱锥中，， 三棱锥的底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形，此三棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面是非正方形的菱形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面菱形边长， 显然四个侧面都是正方形，而此几何体不是正方体，B错误； 对于C，若将两个全等的正棱台较大底面接合在一起，拼接而成的组合体， 满足有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体，但该几何体不是棱台，C错误； 对于D，在三棱锥中，底面，并且， 此三棱锥的四个面都是直角三角形，D正确. 故选：D 2．（23-24高一下·天津·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）    A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥 C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱 【答案】D 【分析】棱柱：有两个面平行，其余各面都是平行四边行，且相邻的公共边平行所围成的图形； 棱锥：由一个面是多边形，其余各面都是共顶点的三角形所围成的图形； 棱台：用平行与底面的截面截棱锥，截面与底面之间几何体； 圆台：用平行与底面的截面截圆锥，截面与底面之间几何体. 【详解】对于A：①不是棱台，因为侧面不都是平行四边形，故A错误； 对于B：②不是圆台，因为上下底面不平行，故B错误； 对于C：④是棱柱，故C错误； 对于D：③是棱锥，④是棱柱，故D正确. 故选：D 3．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理得到圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长. 【详解】因为圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，由勾股定理的圆锥的母线长为， 圆锥底面圆的周长为，所以圆锥的侧面积为； 故选：C 4．（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 二、多选题 5．（21-22高一下·广东中山·期末）从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（    ） A．每个面都是直角三角形的四面体； B．每个面都是等边三角形的四面体； C．每个面都是全等的直角三角形的四面体； D．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体． 【答案】ABD 【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可 【详解】对于A，每个面都是直角三角形的四面体，如：E﹣ABC，所以A正确； 对于B，每个面都是等边三角形的四面体，如E﹣BGD，所以B正确； 对于C，若四面体的每个面都是全等的直角三角形，则必有直角边等于斜边，而这样的直角三角形不存在，所以C错误； 对于D，有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如：A﹣BDE，所以D正确； 故选：ABD． 6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据棱台的定义可知，棱台上、下底面为两个平行且相似的多边形，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以几何体不是三棱台，故A错误； 对于B，因为，所以几何体不是三棱台，故B错误； 对于C，因为，所以几何体是三棱台，故C正确； 对于D，该几何体可能是三棱柱，故D错误． 故选：ABD． 三、填空题 7．（22-23高一下·广东清远·期末）在数学探究活动课中，小华进行了如下探究:如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为 .    【答案】/ 【分析】先根据三条棱与水平面所成角均相等，得出水面与平面A1BD平行，再根据特点得出截面为正六边形，然后可得答案. 【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD，AB，AA1与平面A1BD所成的角是相等的， 所以水平面平行于平面A1BD， 又水平面恰好经过BB1的中点，则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积. 故答案为：      8．（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为 ． 【答案】 【分析】根据正四棱台的性质与勾股定理可以得到. 【详解】根据题意可得如图所示图形，则,, 过作于点，过作于点, 则，所以，即该正四棱台的高为.    故答案为：. 四、解答题 9．（22-23高一下·广东深圳·期中） 几何体 顶点的个数 棱的个数 面的个数 三棱锥 三棱柱 三棱台 长方体 【答案】答案见解析 【分析】根据多面体的顶点、棱、面的个数填写即可得答案. 【详解】 几何体 顶点的个数 棱的个数 面的个数 三棱锥 4 6 4 三棱柱 6 9 5 三棱台 6 9 5 长方体 8 12 6 10．（高一上·全国·专题练习）如图所示，正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高PO为h，求它的侧棱PA的长和斜高PD的长． 【答案】侧棱PA的长为,斜高PD的长为 【分析】易知O为的中心，从而得OA，OD，分别在和中求解即可. 【详解】如图，连接AD，则点O在AD上． ∵正三棱锥P-ABC的底面边长为a，O为的中心， ∴OA=a，OD=a． 在中，根据勾股定理， 得PA=． 在中，根据勾股定理， 得PD=， 所以此正三棱锥的侧棱PA的长为， 斜高PD的长为． 【点睛】本题主要考查了正三棱锥的几何特征，属于基础题. 11．（20-21高一·全国·单元测试）已知四棱锥的底面是面积为16的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为，计算它的高和侧面三角形底边上的高． 【答案】四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为． 【解析】 由题意：底面是面积为16的正方形 ，侧面是全等的等腰三角形，说明该几何体是正四棱锥．由正四棱锥的性质即可求解． 【详解】如下图所示: 作为四棱锥的高， 作于点， 则为的中点． 连接，则，． 底面正方形的面积为16， ，． 则．又， 在中，由勾股定理，可得 ． 在中，由勾股定理，可得 ， 即四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为． 【点睛】本题考查了正四棱锥的性质的运用以及计算能力．属于基础题．关键是根据已知判定为正棱锥，根据正棱锥的性质求出高和斜高. 12．（23-24高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积关系可得，进而可得母线长； （2）取的中点，由题意可得，利用基本不等式求面积最大值. 【详解】（1）因为轴截面的面积为，解得， 所以圆锥的母线长为. （2）取的中点，连接，则， 可得，则， 当且仅当，等号成立，此时， 所以截面面积的最大值. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断. 【详解】如图1，在正方体中， 易知为正三角形，于是答案都有可能， 如图2， 若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设， 由正方体的性质可知：，，所以平面， 而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误. 故选：D. 2．（23-24高一下·安徽合肥·期末）我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆锥侧面沿着母线展开，计算出展开图扇形的圆心角，结合勾股定理可求得灯光带的最小长度. 【详解】将圆锥侧面沿母线展开，其侧面展开图为如图所示的扇形， 则的长度即为灯光带的最小长度， 因为，是母线的一个三等分点（靠近点）, 所以圆锥的底面周长也就是侧面展开图的弧长,， 所以扇形的圆心角， 所以. 故最小长度为(m). 故选：B. 3．（23-24高一下·江西九江·期末）如图，已知圆锥顶点为，底面直径为，以为直径的球与圆锥相交的曲线记为（异于圆锥的底面），则曲线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，判断需求曲线是圆，结合给定条件求解半径，再求周长即可. 【详解】 如图，曲线是圆，球与母线分别交于点， 则为圆的直径， ， ， 圆的周长， 故选：A. 4．（23-24高一下·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将几何体展开为平面图形，利用两点之间线段最短求的最小值. 【详解】将该半正多面体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），如下图所示，      由半正多面体中，棱长为2，得，， 且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故选：D. 【点睛】方法点睛： 空间图形求表面上折线段之和最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系，解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决. 二、多选题 5．（22-23高一下·山西晋中·期中）下列命题不正确的是（    ）. A．棱台的侧棱长可以不相等，但上、下底面一定相似 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 【答案】BCD 【分析】直接根据棱台、棱柱、棱锥和圆锥的定义判断各选项即可. 【详解】对于A：棱台的上、下底面相似，但侧棱长不一定相等，故A正确； 对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，也可能是组合体，与棱锥的定义相矛盾，故B错误； 对于C：两个的斜棱柱扣到一起，也满足这种情况，但是不是棱柱，故C错误； 对于D：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体才是圆锥，若直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥的组合体，故D错误； 故选：BCD 6．（22-23高一下·河北承德·期末）甲工程师计划将一块边长为的正方形铁片加工成一个无盖正四棱台，其工程平面设计图如图1所示，正方形和正方形的中心重合，分别是边上的三等分点，且，将图中的四块阴影部分裁下来，用余下的四个全等的等腰梯形和正方形加工成一个无盖正四棱台，如图2所示，则（    ）    A．甲工程师可以加工出一个底面周长为的正四棱台 B．甲工程师可以加工出一个底面面积为的正四棱台 C．甲工程师可以加工出一个高为的正四棱台 D．甲工程师可以加工出一个侧棱长为的正四棱台 【答案】BCD 【分析】令正四棱台的底面边长，高为，侧棱长为，等腰梯形的高为，则由题意可知，，.再根据正四棱台的结构分别计算即可判断各选项. 【详解】令正四棱台的底面边长，高为，侧棱长为，等腰梯形的高为， 则由题意可知，，，即. 对于A，当正四棱台的底面周长为时，，不满足，A错； 对于B，当正四棱台的底面面积为时，，满足，B对； 对于C，当正四棱台的高为时，则， 记正四棱台的上下底面的中心分别为，取的中点,连接，过点作于点， 则， 所以，解得，则， 满足，C对；    对于D，当正四棱台的侧棱长为时，则， 过点作于点，则， 所以，即， 解得，则，满足，D对. 故选：BCD 三、填空题 7．（23-24高一下·重庆·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，点在该正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长为，则 ， .    【答案】 【分析】当时，确定点P在正方体表面上的轨迹，再计算得；当时，确定点P在正方体表面上的轨迹，再计算得． 【详解】当时，点P在正方体表面正方形上动动， 其轨迹是以B为圆心，2为半径的三段弧，； 当时，点P在正方体表面正方形上运动， 记该点为，若其在正方形内时，易得，得， 因此点的轨迹为正方形内以为圆心，2为半径的圆弧，弧长为， 同理在正方形内的轨迹长度都为，所以. 故答案为：；    【点睛】关键点点睛：确定动点动动所在的平面及轨迹形状，是解题的关键. 8．（23-24高一下·浙江·期中）在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将正方体的侧面与展开到同一平面，点到的距离就是. 【详解】将正方体的侧面与展开到同一平面 在同一平面内可知的最小值就是点到的距离， 正方体中，为棱的中点，所以，， 是正方形，所以 故答案为： 【点睛】 9．（23-24高一下·四川成都·期末）已知在四面体中，，，，， ，平面满足，记平面截得该四面体的多边形的面积为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】将四面体还原至长方体，可知点，分别为，中点，即可得当经过中点时，截面面积最大，再根据长方体的性质可得解. 【详解】由，，， 可知四面体的各个棱为长方体各面的对角线， 设长方体的长宽高分别，，， 则，解得， 如图所示， 由， ， 可得点，分别为，中点， 所以长方体以为对角线的平面， 又，所以与长方体以为对角线的平面平行， 易知当经过中点时，截面面积最大， 此时与长方体的截面如图所示，其中四边形即为与四面体相交所得截面， 此时、、、分别为各边中点， 则， 故答案为：. 四、解答题 10．（21-22高一·全国·课后作业）已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值． 【答案】． 【分析】记正三角形所在小圆的圆心为，根据球的半径为2，球心到平面的距离为1，求得OE的长度，再由过点的截面与垂直时，截面面积最小求解. 【详解】记正三角形所在小圆的圆心为， 因为球的半径为2，球心到平面的距离为1， 则，，． 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面面积最小， 此时截面小圆半径，面积． 即截面面积的最小值为． 11．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.    (1)计算四棱锥的高； (2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的知识求得几何体的高. （2）根据等腰三角形的知识求得侧面三角形底边上的高. 【详解】（1）正方形的边长为， 由于四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 所以四棱锥是正四棱锥，设，连接， 则平面，由于平面， 所以，由于， 所以, 即四棱锥的高为. （2）由于正四棱锥的侧面是全等的等腰三角形， 侧面三角形底边上的高为.    12．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助轴截面面积可得其高，即可得其母线长； （2）借助面积公式可得夹角为时，截面面积取最大值. 【详解】（1）轴截面的面积为，所以， 所以圆锥的母线长； （2）在轴截面中，，， ，， 的面积， 当时，截面面积有最大值，最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 基本立体图形 目录 题型归纳 1 题型01 棱柱 3 题型02 棱锥 4 题型03 棱台 5 题型04 圆柱 5 题型05 圆锥 7 题型06 圆台 8 题型07 球 9 题型08 简单组合体 10 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 16 知识点01多面体的结构特征 1、棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 2、棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 3、棱台：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；（2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 知识点02旋转体的结构特征 1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行于轴； （3）轴截面为矩形。 2、圆锥：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形； （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 3、圆台 第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为等腰梯形。 4、球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 题型01棱柱 【例1】（23-24高一下·陕西西安·期中）将棱长为4的正方体表面涂成红色，将其适当分成棱长为1的小正方体，则各面均没有颜色的小正方体个数占总的小正方体个数的（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·吉林·期中）在正四棱柱中，，，，，平面与交于点G，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·北京房山·期末）已知长方体的长、宽、高分别为1，2，2，则该长方体的对角线的长为 ． 【变式3】（20-21高一下·贵州铜仁·期末）如图，长方体中，，，，求线段的长． 题型02 棱锥 【例2】（23-24高一下·吉林·期中）十棱锥共有（    ） A．10个顶点 B．20个顶点 C．10条棱 D．20条棱 【变式1】（22-23高一下·河南郑州·期中）如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·天津·期中）已知一个正三棱锥的侧棱长为3，其底面是边长为的等边三角形，则此正三棱锥的高为 . 【变式3】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 题型03 棱台 【例3】（23-24高一下·北京大兴·期中）在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．组合体 【变式1】（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【变式2】（23-24高一下·山东聊城·期中）五棱台的顶点数为，棱数为，面数为，则 ． 【变式3】（22-23高一下·广东深圳·期中）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 . 题型04圆柱 【例4】（23-24高一下·河南新乡·期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·福建莆田·期中）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（      ） A．21尺 B．25尺 C．29尺 D．33尺 【变式2】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【变式3】（23-24高一下·安徽·期中）（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 题型05 圆锥 【例5】（23-24高一下·山东·期中）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式1】（23-24高一下·广东中山·期中）已知一个圆锥的高为6，底面半径为8，现在用一个过两条母线的平面去截圆锥，得到一个三角形，则这个三角形面积的最大值为（    ） A．100 B．50 C．48 D．24 【变式2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里. 【变式3】（21-22高一下·山东泰安·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 题型06 圆台 【例6】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【变式1】（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 【变式3】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径的长分别为4，10，则圆台的高为 . 题型07 球 【例7】（22-23高一下·广东湛江·期中）小明在湛江海博会参观时，看到一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台. 【变式1】（20-21高一下·河北保定·期中）两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（    ） A．7 B．17 C．5或12 D．7或17 【变式2】（22-23高一下·福建龙岩·期中）现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为 . 【变式3】（高一下·福建漳州·期末）已知球的半径为5. （1）求球的表面积； （2）若球有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离. 题型08 简单组合体 【例8】（22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【变式1】（22-23高一下·浙江·期中）如图，在平行六面体中，所有棱长为，，，分别取上的点使，以为圆心，为半径分别在平面和平面内作弧，并将两弧各六等分，等分点依次为以及，一只蚂蚁欲从点出发，沿平行六面体表面爬行至，则其爬行的最短距离为（    ） A． B． C．2 D． 【变式2】（23-24高一下·江西九江·期末）如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转､连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点.若下底面正方形边长为4，“四角反棱台”高为3，则该几何体体积为 . 【变式3】（20-21高一下·河北邯郸·期中）如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为 ． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（    ） A．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C．有两个面是互相平行且相似的平行四边形，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 2．（23-24高一下·天津·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）    A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥 C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱 3．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（21-22高一下·广东中山·期末）从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（    ） A．每个面都是直角三角形的四面体； B．每个面都是等边三角形的四面体； C．每个面都是全等的直角三角形的四面体； D．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体． 6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 7．（22-23高一下·广东清远·期末）在数学探究活动课中，小华进行了如下探究:如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为 .    8．（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为 ． 四、解答题 9．（22-23高一下·广东深圳·期中） 几何体 顶点的个数 棱的个数 面的个数 三棱锥 三棱柱 三棱台 长方体 10．（高一上·全国·专题练习）如图所示，正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高PO为h，求它的侧棱PA的长和斜高PD的长． 11．（20-21高一·全国·单元测试）已知四棱锥的底面是面积为16的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为，计算它的高和侧面三角形底边上的高． 12．（23-24高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江杭州·期中）用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 2．（23-24高一下·安徽合肥·期末）我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西九江·期末）如图，已知圆锥顶点为，底面直径为，以为直径的球与圆锥相交的曲线记为（异于圆锥的底面），则曲线的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一下·山西晋中·期中）下列命题不正确的是（    ）. A．棱台的侧棱长可以不相等，但上、下底面一定相似 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 6．（22-23高一下·河北承德·期末）甲工程师计划将一块边长为的正方形铁片加工成一个无盖正四棱台，其工程平面设计图如图1所示，正方形和正方形的中心重合，分别是边上的三等分点，且，将图中的四块阴影部分裁下来，用余下的四个全等的等腰梯形和正方形加工成一个无盖正四棱台，如图2所示，则（    ）    A．甲工程师可以加工出一个底面周长为的正四棱台 B．甲工程师可以加工出一个底面面积为的正四棱台 C．甲工程师可以加工出一个高为的正四棱台 D．甲工程师可以加工出一个侧棱长为的正四棱台 三、填空题 7．（23-24高一下·重庆·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，点在该正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长为，则 ， .    8．（23-24高一下·浙江·期中）在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为 ． 9．（23-24高一下·四川成都·期末）已知在四面体中，，，，， ，平面满足，记平面截得该四面体的多边形的面积为，则的最大值为 . 四、解答题 10．（21-22高一·全国·课后作业）已知正三角形的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，是线段的中点，过点作球的截面，求截面面积的最小值． 11．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.    (1)计算四棱锥的高； (2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高. 12．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4. (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$