第十七章 勾股定理（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形的面积为（　　） A．140 B． C． D．24 【答案】D 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：由题知，三个正方形围成的直角三角形三边长的平方就是三个正方形的面积， 根据勾股定理得小正方形的面积为． 故答案为：D． 【分析】由图可得三个正方形围成的直角三角形三边长的平方就是三个正方形的面积，再根据勾股定理得小正方形M的面积为． 2．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　） A．14 B．16 C．14 D．14 【答案】D 【知识点】勾股定理；正方形的性质 【解析】【解答】解：∵AE=10，BE=24，即24和10为两条直角边长时， 小正方形的边长=24-10=14， ∴EF=． 故答案为：D． 【分析】先求出小正方形的边长，再利用勾股定理求出EF的长即可。 3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．1，， C．4，6，8 D．5，12，15 【答案】B 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A、∵22+32=13，42=16， ∴22+32≠42， ∴ 此选项中的三个数作为三角形的边长不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、∵，， ∴ ∴此选项中的三个数作为三角形的边长能构成直角三角形，故B符合题意； C、 ∵42+62=52，82=64， ∴42+62≠82， ∴此选项中的三个数作为三角形的边长不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、∵122+52=169，152=225， ∴122+52≠152， ∴此选项中的三个数作为三角形的边长不能构成直角三角形，故D不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，逐项分析即可求解. 4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股数 【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，∴不是勾股数，故不符合题意； B、∵42+52≠62，∴不是勾股数，故不符合题意； C、∵72+82≠92，∴不是勾股数，故不符合题意； D、∵62+82≠102，∴是勾股数，故符合题意； 故答案为：D. 【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可. 5．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（　　）°（点A，B，P是网格交点） A．30 B．45 C．60 D．75 【答案】B 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形 【解析】【解答】解：如图，在网格中作△BCE≌△APD，连接PC， ∴∠PAB=∠CBE， 由图知：BC=PC==， ∵， ∴BC2+PC2==5+5=10，PB2==10， ∴， ∴△BCP是等腰直角三角形， ∴∠PBC=45°， ∴∠PAB+∠PBA＝∠PBA+∠CBE=90°-∠PBC=45°. 故答案为：B． 【分析】根据网格图的特征，在网格中作△BCE≌△APD，连接PC，由全等三角形的对应角相等可得∠PAB=∠CBE，根据网格图的特征并结合勾股定理和勾股定理的逆定理易证△BCP是等腰直角三角形，得到∠PBC=45°，然后由角的构成∠PAB+∠PBA＝∠PBA+∠CBE=90°-∠PBC可求解． 6．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【解答】解：根据题意可知，，，， ， 设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ∴绳索的长是， 故答案为：A． 【分析】设，则，再利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可. 7．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用 【解析】【分析】过D点作DE⊥BC于E． ∵∠A=90°，AB=4，BD=5， ∴， ∵BD平分∠ABC，∠A=90°， ∴点D到BC的距离AD=3． 故选A． 8．如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于.下列结论：①；②；③.其中结论正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，AD=5， ∴BC=AD=5， ∵CP⊥BE于P，F是BC的中点， ∴PF=BC=×5=2.5，此结论正确； ②∵四边形ABCD是矩形，E、F分别是边AD、BC的中点， ∴DE=BF，AD∥BC，∠DCF=90°， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BE∥DF， ∵CP⊥BE， ∴CP⊥DF， 由①得：PF=CF=BF=BC=2.5， ∴DF垂直平分PC， ∴PD=CD， 在△DPF和△DCF中， ∴△DPF≌△DCF（SSS） ∴∠DPF=∠DCF=90°， ∴PF⊥DG，此结论正确； ③连接GF，如图， 由①得：PF=BF=CF， 由②得：∠GDF=90°， 在Rt△BFG和Rt△PFG中 ∴Rt△BFG≌Rt△PFG（HL） ∴BG=PG， 由②得：△DPF≌△DCF， ∴DP=DC， ∵CD=3， ∴DP=DC=3， 设PG=BG=x， ∴DG=3+x，AG=3-x， 在Rt△ADG中，由勾股定理得：AD2+AG2=DG2， ∴52+（3-x）2=(3+x)2，解得：x=， 即PG=；此结论正确. ∴①②③都正确. 故答案为：D. 【分析】①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解； ②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形，则BE∥DF，由平行线的性质可得CP⊥DF，结合①的结论可得DF垂直平分PC，于是用边边边可证△DPF≌△DCF，由全等三角形的性质可求解； ③连接GF，用HL定理可证Rt△BFG≌Rt△PFG，由全等三角形的性质可得BG=PG，设PG=BG=x，在Rt△ADG中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解. 9．如图有两棵树，一棵高，一棵矮，两树之间相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米？ A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图， 两树的高度差为：AC=14-2=12， 间距：AB=DE=5， 在Rt△ABC中，由勾股定理得： 小鸟至少飞行的距离BC=. 故答案为：C. 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可求解. 10．如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：如图， H为AB中点，连接OH、OD，DH、 ∵∠MON=90°，AB=4， ∴OH=AB=×4=2． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=2，∠BAD=90°， ∵点H是AB的中点， ∴AH=AB=×4=2， 在Rt△DAH中，DH===2， 在△ODH中，根据三角形三边关系可知DH+OH＞OD， ∴当O、H、D三点共线时，OD最大为DH+OH=2+2. 故答案为：A． 【分析】 取AB中点H，连接OH、DH、OD，求出OH和DH值，利用三角形三边关系分析出当O、H、D三点共线时，OD最大为OH+DH。 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和，然后把中点沿垂直于轴的方向向上拉升到，则橡皮筋被拉长了　 　． 【答案】10 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图可知，AB=8cm，DC=3cm，△ABD为等腰三角形，C为AB中点，∴CA=CB==4cm，AD=DB， 在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD=，同理可得DB=5cm，∴橡皮筋被拉长的长度为AD+DB=10cm。 故答案为：10. 【分析】由图可知△ABD为等腰三角形，CD为底边AB的高，则CA=CB==4cm，且CD=3cm，由勾股定理可分别求出AD和AB的长，即可求出橡皮筋被拉伸长度。 12．如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为　 　． 【答案】1或3 【知识点】勾股定理；轴对称的性质 【解析】【解答】解：当时，如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 当时，如图所示： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：或3． 故答案为：1或3． 【分析】分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，利用三角形的面积公式和勾股定理求出结果即可． 13．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则　 　． 【答案】 【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】解：如图，连接OE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC=90°，BC=AD=16，AO=CO=BO=DO， 又∵AB=12， ∴， ∴AO=BO=CO=DO=10， ∴S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=S矩形ABCD=×12×16=48， ∵S△BOC=S△BOE+S△COE， ∴×OB×GE+×OC×EF=48， ∴×10×GE+×10×EF=48， 即5GE+5EF=48， ∴GE+EF=. 故答案为：. 【分析】 连接OE，由矩形的性质得出∠ABC=90°，BC=AD=16，AO=CO=BO=DO，由勾股定理得出AC=20，推出AO=CO=BO=DO=10，由等底同高三角形面积相等得S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=S矩形ABCD=×12×16=48，然后根据S△BOC=S△BOE+S△COE，建立方程，求解即可. 14．如图，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积为　 　. 【答案】​​​​​​​ 【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：连接AC，如图所示， 在Rt△ABC中，AC= ∵在△ACD中， +12=52， 即AD2+CD2=AC2， ∴△ACD为直角三角形， ∴ 故答案为：. 【分析】先根据勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证出△ACD为直角三角形，最后根据四边形ABCD的面积=S△ADC+S△ABC求出即可. 15．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转60°得到线段，连接，.若，，，则的度数是　 　. 【答案】150° 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质 【解析】【解答】解：根据旋转的性质，可知PB=P'B，∠PBP'=60°， ∴△PBP'是等边三角形， ∴∠BPP'=60°，PP'=PB=3， 在等边△ABC中，AB=CB，∠ABC=60°=∠BPP'， ∴∠ABP=∠PBP'， 在△BAP和△BCP'中， ， ∴△BAP≌△BCP'（SAS）， ∴P'C=PA=5， ∵PC2+P'P2=42+32=25，P'C2=52=25， ∴PC2+P'P2=P'C2， ∴△P'PC是直角三角形，∠P'PC=90°， ∴∠BPC=60°+90°=150°， 故答案为：150°． 【分析】由旋转的性质可得PB=P'B，∠PBP'=60°，可证△PBP'是等边三角形，可得∠BPP'=60°，PP'=PB=3，由“SAS”可证△BAP≌△BCP'，可得P'C=PA=5，由勾股定理的逆定理可得△P'PC是直角三角形，∠P'PC=90°，即可求解。 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（9分）如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知 （1）画出； （2）判断的形状？ （3）求边上的高． 【答案】（1）如图，三角形ABC即为所求三角形。 （2）证明：∵， ∴AB2=25，AC2=20，BC2=5， 则AB2=AC2+BC2， ∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°。 （3）设边上的高为h， ∵， ∴ 【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用 【解析】【分析】（1）利用勾股定理，再结合网格结构，即可画出图形；（2）利用勾股定理逆定理，分别算出三条边的平方，即可判断三角形的形状；（3）利用三角形等面积法，列出等式，即可求出高； 17．（8分）如图，有两根长杆隔河相对，一杆高3m，另一杆高2m，两杆相距5m．两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．求两杆底部距小鱼的距离各是多少米．（假设小鱼在此过程中保持不动） 【答案】解：由题意可得：AE＝DE， 则AB2+BE2＝EC2+DC2， 故22+BE2＝（5﹣BE）2+32， 解得：BE＝3， 则EC＝5﹣3＝2（m）， 答：两杆杆底到E处的水平距离分别是3m和2m 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【分析】由题意可知三角形ABD与三角形DCE全等，由全等三角形的对应边相等可知AE与DE相等，再由勾股定理可知AB2+BE2=CD2+EC2，即可求得BE的长，从而EC的长也可求得。 18．（8分）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地ABCD内进行绿化改造，∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，BC＝17m，CD＝8m． （1）若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m；最低花费为多少元？ （2）如果种植草皮的费用是200元/m2，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 【答案】（1）解：如图，连接BD， ∵∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m， ∴BD＝＝＝15（m）， ∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为120×15＝1800（元）； （2）解：∵CD＝8m，BC＝17m，BD＝15m， ∴CD2+BD2＝82+152＝289＝172＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴整块空地的面积为：， ∴整块空地上种植草皮共需投入114×200＝22800（元）． 【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【分析】（1）连接BD，然后利用勾股定理先求BD，即可求解； （2）先利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，接下来利用三角形的面积公式求出整块空地的面积，最后再计算总费用即可． 19．（8分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路.如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米. （1）求公路CD、AD的长度； （2）若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用． 【答案】（1）解：千米，千米， （千米）， 千米， 千米， （千米）； （2）解：， 解得千米， 修建公路DH的费用为（万元）. 【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用 【解析】【分析】（1）根据勾股定理求解即可. （）根据三角形的等面积方法，即可计算DH的长度，再根据长度和每千米的费用计算总费用即可． 20．（9分）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形. 图1 图2 （1）若，，求图1中两个正方形的面积之和； （2）若，，求图2中AF的长； （3）已知且满足，.若图1中两个正方形的面积和为2，求图2中AF的长. 【答案】（1）解：由题意知，， 图1中两个正方形的面积之和为3； （2）解：由题意知，，， ， 由勾股定理得，，， ，的长为4； （3）解：由题意知，， ，， ①，②， ①+②整理得，， 解得，， 在中，， ，. 【知识点】勾股定理；正方形的性质 【解析】【分析】(1)根据正方形的面积公式代入数据直接计算求值即可求解. (2)根据正方形的性质可确定∠ACF=90°，在Rt△ABC中由勾股定理求得AC2，在Rt△CEF中由勾股定理求得CF2，最后在Rt△ACF中由勾股定理求解即可. (3)由题意知，，将已知的两个等式分别平方，求和后可求，再由△ACF是直角三角形，利用勾股定理解答即可. 21．（9分）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离 例如，如图1，，，则 【直接应用】 （1）已知，，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断与的位置关系形状，并说明理由． 【答案】（1）解：∵，， ； （2）解：①过点作轴于点， ∵与x轴正半轴的夹角是45度， ， ∵ ∴， ∴， ②结论：. 理由如下：∵， ，， ∴，， ∵， ， ∴． 【知识点】二次根式的乘除法；坐标与图形性质；勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式 【解析】【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用两点之间的距离公式列出算式求解即可； （2）①过点作轴于点，先求出，再求出点B的坐标即可； ②先利用两点之间的距离公式求出OA和AB的长，再利用勾股定理的逆定理证出即可． （1）解：∵，， ； （2）解：①过点作轴于点， ∵与x轴正半轴的夹角是45度， ， ∵ ∴， ∴， ②，理由见解析： ∵， ，， ∴，， ∵， ， ∴． 22．（12分）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点 B 的对应点为点D，点 C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 数学思考：（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）在以上图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ① “乐学小组”提出问题：如图2，当时，则线段的长为 ． ② “善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长． 【答案】解：（1），理由如下： 连接，如图1， 由旋转的性质知，，， ， ， ； （2）①； ②如图3， ，，， ， 由旋转的性质知，，，，， 当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质 【解析】【解答】（2）解：①如图2，延长，交于点F， ， ， ，， 由(1)知，， 设， 则， ， ， ， 故答案为：； 【分析】（1）PC=PE，理由如下：连接AP，由旋转的性质得到AC=AE，∠C=∠AEP=90°，根据HL证明Rt△APE≌Rt△APC，然后根据全等三角形的对应边相等得PC=PE； （2）①延长AE，交BC于点F，由三角形的内角和定理可得∠EPF=∠EFP=∠CAE=45°，由等角对等边得PE=EF，AC=CF=6，设PC=PE=x，在Rt△PEF中，用勾股定理表示出PF，然后根据CF=CP+PF建立方程可求出x的值，从而得到PC的长，最后根据BP=BC-PC可求出答案； ②在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=10，由旋转的性质知AD=AB=10，DE=BC=8，∠B=∠D，∠C=∠AED=90°，当∠CAE=∠B时，得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠B，∠D=∠2，进而推出∠1=∠D，∠2=∠B，由等角对等边得AO=DO，BO=PO，然后根据线段的和差可求出PD=10，PC=PE=2，最后根据BP=BC-PC可算出答案. 23． （12分）综合与探究 （1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①________°； ②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在△ACD和△BCE中 ∴（SAS）； （2）①同理可证：， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴∠ABF+∠BAF=∠ABC-∠EBC+∠BAC+∠CAF =∠CAF+∠CBE=60°+60°=120°， ∴； ②，理由如下： 过点C作，于点M，N， 由（1）得，， ∴ ∴， ∴， 在上截取，连接， 则△CFH是等边三角形， ∴CH=CF=FH，∠FCH=∠BCA=60°， ∴， 在△BCH和△ACF中 ∴（SAS）， ∴， ∴； （3）如图，在上找一点，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴，即， 在△ABG和△ACD中 ∴（SAS）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴S△ABF-S△CDF=S△ABD-S△ADF =S△ABD-S△ABG =S△AGD =DG·AE =×6× =. 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，用边角边证明即可求解； （2）①同理可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后由角的和差和三角形的内角和定理计算即可求解； ②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论； （3）在上找一点，使得，连接，用边角边可证，即可得到，再用勾股定理得到长，然后根据三角形的面积的构成计算即可求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形的面积为（　　） A．140 B． C． D．24 2．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　） A．14 B．16 C．14 D．14 3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．1，， C．4，6，8 D．5，12，15 4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A． B． C． D． 5．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（　　）°（点A，B，P是网格交点） A．30 B．45 C．60 D．75 6．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于.下列结论：①；②；③.其中结论正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．如图有两棵树，一棵高，一棵矮，两树之间相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米？ A． B． C． D． 10．如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是(　　) A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和，然后把中点沿垂直于轴的方向向上拉升到，则橡皮筋被拉长了　 　． 12．如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为　 　． 13．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则　 　． 14．如图，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积为　 　. 15．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转60°得到线段，连接，.若，，，则的度数是　 　. 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（9分）如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知 （1）画出； （2）判断的形状？ （3）求边上的高． 17．（8分）如图，有两根长杆隔河相对，一杆高3m，另一杆高2m，两杆相距5m．两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．求两杆底部距小鱼的距离各是多少米．（假设小鱼在此过程中保持不动） 18．（8分）为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地ABCD内进行绿化改造，∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，BC＝17m，CD＝8m． （1）若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m；最低花费为多少元？ （2）如果种植草皮的费用是200元/m2，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 19．（8分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路.如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米. （1）求公路CD、AD的长度； （2）若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用． 20．（9分）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形. 图1 图2 （1）若，，求图1中两个正方形的面积之和； （2）若，，求图2中AF的长； （3）已知且满足，.若图1中两个正方形的面积和为2，求图2中AF的长. 21．（9分）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离 例如，如图1，，，则 【直接应用】 （1）已知，，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断与的位置关系形状，并说明理由． 22．（12分）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点 B 的对应点为点D，点 C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 数学思考：（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）在以上图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ① “乐学小组”提出问题：如图2，当时，则线段的长为 ． ② “善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长． 23． （12分）综合与探究 （1）如图1，已知：和是等边三角形，点在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①________°； ②猜想线段和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，请直接写出的值． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$