2024届高考数学新高考I卷第19题讲题比赛课件

逻辑星辉映思维，推理探究启新知 ——以2024年新高考I卷第19题为例 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 本手、俗手、妙手，数学无从下手！ 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1 题目呈现 2024年新高考I卷19题：设为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是-可分数列. （1）写出所有的，使数列是-可分数列； （2）当时，证明：数列是-可分数列； （3）从中一次任取两个数和，记数列 是-可分数列的概率为.证明： . 以数列为背景的新定义题，综合性强， 突出考查思维能力，服务于创新人才选拔. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 已知条件： 三小问的设置从简到难，从特殊到一般，层层递进、环环相扣. （1）当时，的可取值； （2）当时，可分的证明； （3）当时，可取数的计算. 求解问题： 等差数列的概念与性质， -可分数列的定义； 2 题意分析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3 试题解法 （1）写出所有的，使数列是-可分 数列； 由此可见，所有符合条件的为：. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （2）当时，证明：数列是-可分数列； （3）从中一次任取两个数和，记数列是-可分数列的概率为.证明： . 数列 数列 性质：若是公差不为0的等差数列，呈等差数列表明 ， 也就是呈等差数列. 等差数列是-可分数列 数列是-可分数列 转化与化归 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （2）当时，证明：数列是-可分数列； 1 4 7 10 13 2 5 8 11 14 3 6 9 12 先证明数列是-可分数列 数列删去共12项数，平均分成3组，列出三行表格得： 可分 项数是4的倍数 从特殊到一般 分析：先研究 ，再推广到一般情形； 数列 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解：将数列删去后，分成如下组（每组4个数） 前组为：；； ； 后组为：；;… ;. 以上每组的4个数都能构成等差数列，故数列是-可分数列，即数列是-可分数列； 逻辑推理 探究能力 （2）当时，证明：数列是-可分数列； 数列 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 设为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 是-可分数列. （2）当时，证明：数列是-可分数列； （3）从中一次任取两个数和，记数列是-可分数列的概率为.证明： . 数列 数列 综合性 从具体到抽象 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）从中一次任取两个数和，记数列是-可分数列的概率为.证明： . 从中任取两个数的种数为； ②设为数列的-可分数列个数，由古典概型得，只需求； ③要证不等式 ， 只需证 数列 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4m-3 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4m-1 4m 4m+1 4m+2 …… 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 4m-1 4m 4m+1 4m+2 …… 方法一：依序枚举 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4m-3 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 2 3 4 5 6 7 8 9 …… 4m-6 4m-5 4m-4 4m-3 4m-2 4m-1 4m 4m+1 …… 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 4m-1 4m 4m+1 4m+2 …… 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4m-3 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 1 2 3 4 7 8 9 10 11 12 13 14 …… 4m-1 4m 4m+1 4m+2 1 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 14 …… 4m-1 4m 4m+1 4m+2 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 …… 4m-2 4m-1 4m 4m+1 1 2 3 4 5 6 7 8 …… 4m-3 4m-2 4m-1 4m …… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4m-3 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 …… 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 种 种 种 种 种 故共 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4m-3 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 1 3 5 7 4 6 8 10 11 12 13 14 …… 4m-1 4m 4m+1 4m+2 1 4 7 10 3 6 9 12 5 8 11 14 4m-1 4m 4m+1 4m+2 15 16 17 18 …… 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4m-3 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 1 m+1 2m+1 3m+1 m+2 2m+2 3m+2 4m+2 3 m+3 2m+3 3m+3     m 2m 3m 4m   …… 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4m-3 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 5 7 9 11 8 10 12 14 15 16 17 18 …… 4m-1 4m 4m+1 4m+2 5 8 11 14 7 10 13 16 9 12 15 18 4m-1 4m 4m+1 4m+2 19 20 21 22 …… 1 2 3 4 1 2 3 4 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4m-7 4m-6 4m-5 4m-4 4m-3 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 1 2 3 4 5 m+1 2m+1 3m+1 m+2 2m+2 3m+2 4m+2 7 m+3 2m+3 3m+3     m 2m 3m 4m   …… 4m-7 4m-5 4m-3 4m-1 4m-11 4m-10 4m-9 4m-8 …… 4m-4 4m-2 4m 4m+2 1 2 3 4 5 6 7 8 …… 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 种 种 种 种 种 故共 所以. 综上， + 思路清晰 简单直观 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4m-3 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 猜想：第一、二列各删去一个数，是否 可分? 当时， ; 当时， 当时， 等. 方法二：合理猜证 ——基于枚举法的改进 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4m-3 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 行 种 1 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 的情况数列不可分 如， 至少有种 为了简化计算，均去除， . 有种 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ①当时 通过第(1)(2)小题和枚举法可知，满足除以4余1和除以4余2，以此作为分类讨论标准，观察满足题目条件的的数量. 每一段的项数都是4的整数倍，此时每连续4个数都构成等差数列. 所以方法. 证明1：分类讨论 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 不妨考虑删去与，剩下 共个数，分成组，列表如下：       每行均构成4项的等差数列(要求 ，因此 且 所以方法. 综上，. ②当时 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 转化为求方程解的个数.由隔板法得种. 将数列分段： 证明2：隔板法(方程思想) ①当时 ② 当时 当时，数列不是可分数列，当数列可分. 转化为求方程解的个数.由隔板法得种. 共种 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 其中 的非负整数解的个数， ①当时 将方程写成 ， 用隔板法可得种数为 . 将数列隔开的三段项数都是4的整数倍，则每连续4个数构成等差数列. 将数列分成三段，项数分别为个，由项数和为得方程 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ② 当时 其中 解的个数. 将方程写成 ， 综上，. 此时首尾两段每连续4个数构成等差数列，中间段分组形式与上一方法类似. 用隔板法可得种数为 由果索因 猜证结合 当时,数列不是可分数列.当数列可分. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 方法三：逐步递推1 当时，，则. 当时， ，则. 当时， 1 2 3 4 5 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 设为数列的-可分数列个数. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 方法三：逐步递推1 1 2 3 4 5 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 若为一组，问题等价于求数列2的-可分数列个数，即为. 若不为一组，还有其它情形， 则满足下列条件的数不少于. ①当时， 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 方法三：逐步递推1 1 2 3 4 5 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 若为一组，问题等价于求数列的-可分数列个数，即. 若不为一组，还有其它情形，则满足下列条件的 数不少于. ②当时， 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 方法三：逐步递推1 1 2 3 4 5 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 ，此情况为①②中重复计数的数，为. 取出的既不属于①，也不属于②， 由上述讨论知 . ③当时 ④当时， 若取和 都满足条件，共2种. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 即 ， ，. 累加得. 由， ，. 累加得， 所以. 显然满足上式，所以 , 所以. 递推求解 逻辑推理 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 对于数列2的-可分数列个数，除的-可分数列个数外，还新增以下： 有种 增加种 方法三：逐步递推2 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1)若 ，有，即 按上表形式分组，共种. 数列分组 增加种 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 有种 增加种 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2)若，有按上表形式分组，共种. 数列分组 增加种 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 由， ，. 累加得 .且 满足上式. 故. 逻辑推理 归纳递推 ， 由上述讨论知 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ①当时，成立. ②假设当时，成立. 方法四：数学归纳法 当时，此时数列为. 用数学归纳法证明. 1)若，由②知此情况至少有种. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2)若,有即 按上表形式分组，共种. 增加种 数列分组 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3)若,有按上表形式分组，共种. 增加种 数列分组 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 增加种 增加种 由①②知，成立. 故. 所以 . 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 人教A版选择性必修第二册 基于书本 高于书本 解法来源： 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 探究：能否删去第三、四列中的数，仍使数列可分? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4m-3 4m-2 4m-1 4m 4m+1 4m+2 对于正整数等差数列，设其公差为. ①若，则 模4同余； ②若，则模4的余数遍历； ③若，则模4的余数有两个0两 个2或有两个1两个3； ④，则模4的 余数遍历. 背景：数论的完全剩余系 ? 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 而中模4余0和个，模4余1和模4余2的数各有个. 所以必有 或 . 结论：任取两个数使数列可分的必要条件是 为模4余1和模4余2的两个数. 若数列是-可分数列，则删去和后，剩下的个数中模4余0与模4余2的数的个数之差为4的整数倍，模4余1与模4余3的数的个数之差为4的整数倍. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 第（3）小题 依序枚举 以简驭繁探究取值使数列可分 合理猜证 猜想的 取值规律 证明特定 使数列可分 分类讨论法 隔板法 逐步递推 逻辑分析得𝑏𝑚≥2𝑏𝑚−1-𝑏𝑚−2+2 累加得𝑏𝑚≥𝑚2+𝑚+1 逻辑分析得𝑏𝑚≥𝑏𝑚−1 数学归纳 用数学归纳法证明𝑏𝑚≥𝑚2+𝑚+1 3 试题解法 数论 背景 结合古典概型 证明不等式 ——总结 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ①知识点：等差数列的概念与性质、古典概型、组合计算、不等式等； ③思想方法：特殊与一般、转化与化归、分类讨论等； ②核心素养：逻辑推理、数学运算等； ④基本能力：推理论证能力、数学探究能力、数学阅读理解能力、 数学语言表达能力等. 3 试题解法 ——总结 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 拓展研究：精确值 问题： 是否能使得数列可分？ 当时，都不能使数列可分； 当时， 能使数列可分； 当时， 能使数列可分； 当时， 由计算机Dancing Links X（舞蹈链）算法可快速得出 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 拓展研究：精确值 记，其中中不能使数列可分的种数. 则 因此 也可以得到，更进一步发现. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 4 试题溯源 人教A版选择性必修第二册第18页练习5 回归教材，重视教材 题源：已知一个无穷等差数列的首项为，公差为. （1）将数列中的前项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗? 如果是，它的首项和公差分别是多少? （2）依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗? 如果是，它的首项和公差分别是多少? （3）依次取出数列中所有序号为7的倍数的项， 组成一个新的数列，它是等差数列吗? 你能根据 得到的结论作出一个猜想吗? 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 5 试题改编 1.公差不为0的等差数列，若从中删去两项后剩余的20项被成平均分成5组，每组的4个数都能构成等差数列，若其中的一组是，则删去的两项可以是（ C ） A. B. C. D. 改编思路：通过改变命题结构，将大题改成选择题，降低计算难度.本题以原题的逆命题方式考查在已知一组数列的分组情况时，后续数列应该如何分组，考查逻辑推理和化简数学问题的能力. ——改变命题结构 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 5 试题改编 2.设为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的5个数都能构成等差数列，则称数列 是-可分数列.从中一次任取两个数和，记数列是-可分数列的概率为.证明： . 改编思路：将原题的分组形式作改编，由于有了解题经验， 不需要前面两小问的铺垫也能明确算出值的途径，考查类比探究与举一反三的能力. ——改变分组形式 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 5 试题改编 3.设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等比数列，则称数列是-可分数列. （1）写出所有的，使数列是-可分数列； （2）当时，证明：数列是-可分数列； （3）从中一次任取两个数和，记数列是-可分数列的概率为.证明： . 改编思路：基于等比数列的概念与性质，将原题横向类比推广，考查转化化归和综合应用的能力. ——改变数列类型 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 5 试题改编 4.记展开式的二项式系数之和为若从数列中删去三项后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等比数列，则称数列是-可分数列. （1）写出所有的，使数列是-可分数列； （2）当时，证明：数列是-可分数列； （3）从中一次任取三个数，记数列是-可分数列的概率为.证明： . 改编思路：对原题进行多元推广，并将数列和二项式定理相 结合，在知识的交汇处上改编.解题时需借助二项式系数的性 质转化条件，考查了多知识综合运用的能力和思维的发散性. ——改变变量维度,融合二项式 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 6 类题赏析 2024年北京卷：已知集合且为偶数.给定数列,和序列,其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；…… ；以此类推，得到，简记为. (1)给定数列和序列，写出 ； (2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由. (3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列 ，使得的各项都相等”的充要条件为“”. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 6 类题赏析 2023年北京卷：已知数列的项数均为，且的前项和分别为，并规定.对于，定义，其中，表示数集中最大的数. (1)若，求的值； (2)若，且 ,求； (3)证明：存在，满足 ，使得. 2022年北京卷：已知为有穷整数数列.给定正整数，若对任意的，在中存在，使得，则称为连续可表数列. (1)判断是否为5-连续可表数列? 是否为6-连续可表数列? 说明理由； (2)若为8-连续可表数列，求证：的最小值为4； (3)若为20-连续可表数列，且，求证：. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 6 类题赏析 2008年江苏卷：(1)设是各项均不为零的项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列． (i)当时，求的数值； (ii)求的所有可能值． (2)求证：对于给定的正整数，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 2015年第十二届中国东南地区数学奥林匹克：是否能将2015个正整数按一定的顺序排列在圆周上，使得任何相邻两数的和为 4的倍数，或为7的倍数？证明你的结论. 2017年爱沙尼亚数学奥林匹克：将分成组，使得每组所有数之和得到的个数为等差数列的连续项，求满足题意的正整数. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 7 试题感悟 解决新定义问题的路径与方法 数学抽象 逻辑推理 数学建模 数学运算 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 提取 新定义概念 理解 新定义规则 寻找 知识间联系 构建 新定义模型 探求 解决之策略 归纳 原理与方法 获得 技能与经验 7 试题感悟 解决 方法 教学 建议 学习建议 依托课标生成，立足教材拓展 淡化解题技巧，注重通性通法 内化概念原理，建构知识体系 融情境于教学，强调知识应用 重视思维过程，聚焦核心素养 深化多维思考，提升创新能力 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 新定义中寻思路，规律共性在其间； 归纳猜想深挖掘，推理论证多应用； 教学重在析概念，围绕主线提素养； 高考复习不求巧，思维探究显真才！ 7 试题感悟 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 $$