3.1.1函数及其表示方法（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念与性质，从初中一次函数等基础出发，通过气温变化、超市购物等现实情境，引导学生抽象出高中函数“非空数集对应”的核心定义，搭建起从直观到严谨的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境（如心电图指标对应），通过互动探究（中国创新指数表格分析）培养逻辑推理能力，结合分层训练（定义域求解、同一函数判定）强化数学语言规范。既帮助学生深化对函数三要素的理解，也为教师提供系统的情境导入与方法总结素材，提升教学效率。

第三章 函数 3.1.1函数及其表示方法（1） 3.1函数的概念与性质 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 3 准确理解人教B版教材中函数的严格定义，掌握非空数集、对应关系、定义域、值域三大核心要素，明确“唯一确定”是函数对应关系的核心特征，能区分函数与非函数对应关系。 熟练掌握函数的三种常用表示方法：解析法、列表法、图象法，精准掌握每种方法的优缺点和适用场景，能够根据题目条件、实际场景灵活选择合适的表示方法。 理解同一函数的判定，体现逻辑推理能力（重难点） 同学们，初中我们已经接触过一次函数、二次函数、反比例函数，知道函数是两个变量之间的变化关系。 进入高中后，我们要对函数进行更严谨、更系统的定义升级。 情境一：气温随时间的变化，每一天的每一个确定时间，都有唯一对应的气温； 情境二，超市购物，商品单价固定时，付款金额随购买数量变化，每一个购买数量对应唯一总价； 情境三，出租车计费，里程数确定，对应唯一的计费金额。 这些场景的共同规律 都是两个非空数集之间，一个量确定后，另一个量有唯一确定的值与之对应。这就是我们高中函数的核心本质。 目标一：函数的定义 变量的定义 知识讲解 互动探究 新课引入 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量； 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数. 例如: y=2x是正比例函数; y=-3x-1是一次函数; y=+2x-3是二次函数. 5 是不是函数 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示． 年度 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 中国创新指数 116.5 125.5 131.8 139.6 148.2 152.6 158.2 171.5 以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？ i是y的函数 6 是不是函数 知识讲解 互动探究 新课引入 (2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示．医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）． 如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？ v是t的函数 7 函数定义 知识讲解 互动探究 新课引入  一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y=f(x), x∈A. 其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域. 函数值的概念：如果自变量取值a，则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a)或y 值域概念：所有函数值组成的集合{y|y=f(x), x∈A}称为函数的值域. 注意：函数的这种定义强调的是”对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母如g, h等表示. 8 〔多选题〕集合 A,B 与对应关系f如图所示,下列说法正确的是（） A. f:A→B 是从集合A到集合B的函数 B. f:A→B 不是从集合A到集合B的函数 C. f:A→B 的定义域为集合A,值域为集合B D. f(3)=3f(5) 对点体验 解析 ▶ 对于集合中的每一个数,集合中都有唯一的数与之对应,满足函数的定义,则是从集合到集合的函数,故A正确,函数的定义域为,值域为是的真子集,,则,故D正确,故选AD.答案 ▶ AD 定义解读 函数的定义域必须是非空数集,因此定义域为空集的函数不存在. 如 y=(x<0) 就不是函数. 函数定义中强调”三性”:任意性、存在性、唯一性. 即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应. 这”三性”只要有一个不满足,便不能构成函数. f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,表示的是变量. 已知 f(x)=f(-1)，f(0)和f(2)； 对点体验 由已知可得 f(x)=+x-1.（1）求f(2),f(),f(a+1); (2)若f(x)=5,求x. 对点体验 将给出的自变量的值 或代数式代入解析式 → 化简整理即可 已知函数值为5 → 建立关于x的方程,求解即可 解析 ▶ (1) (2) 解得或 目标二：函数的定义域 函数定义域 知识讲解 互动探究 新课引入 函数的定义域是函数 y=f(x) 的自变量 x 的取值范围. 在表示函数时,如果不会产生歧义,函数的定义域有时可以省略,这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合. 在实际问题中,函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约. 14 函数f(x)=的定义域 为________. 体验已知解析式求定义域 解析 ▶ 要使函数有意义，则 解得 且 ，即函数的 定义域为 . 答案 ▶ 求下列函数的定义域. (1)y=；(2)y=； (3)y=；(4)y=. 体验已知解析式求定义域 解析 (1) 由解得 所以函数的定义域为. (此处只能用“”连接，不能用“或”和“,”连接) 求下列函数的定义域. (1)y=；(2)y=； (3)y=；(4)y=. 体验已知解析式求定义域 由解得 所以函数的定义域为. 求下列函数的定义域. (1)y=；(2)y=； (3)y=；(4)y=. 体验已知解析式求定义域 （3）因为当,即时,函数有意义,所以 函数的定义域为.（不要对函数解析式进行变形处理，以免定义域发生变化） 求下列函数的定义域. (1)y=；(2)y=； (3)y=；(4)y=. 体验已知解析式求定义域 （4）要使函数有意义,则,解得, 如图所示,用长为l的铁丝做一个下面为矩形、上面为半圆的框架,若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数. 体验实际问题求定义域 解析 ▶ 由题意知,,的长为,于是, 此框架围成的面积 即 由 解得 （任何一段线段长均大于零） 所求函数的定义域为 故所求的函数为 （求与实际问题有关的函数解析式时，一定要注明函数的定义域） 抽象函数和复合函数定义域 知识讲解 互动探究 新课引入 1 抽象函数的概念 没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数. 2 复合函数的定义 如果函数 y=f(t) 的定义域为 A, 函数 t=g(x) 的定义域为 D, 值域为 C, 则当 C⊆A 时, 称函数 y=f(g(x)) 为 f 与 g 在 D 上的复合函数. 其中 t 叫做中间变量,t=g(x) 叫做内层函数,y=f(t) 叫做外层函数. 21 抽象函数与复合函数定义域的求法 复合函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围,而不是g(x)的范围. (1)已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域. 若f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))中g(x)∈[a,b],从中解得x的解集即f(g(x))的定义域。 (2)已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域. 若f(g(x))的定义域为[m,n],则由x∈[m,n]可确定g(x)的范围,设u=g(x),则f(g(x))=f(u),又f(u)与f(x)是同一函数,所以g(x)的范围即f(x)的定义域。 抽象函数与复合函数定义域的求法 (3)已知f(φ(x))的定义域,求f(h(x))的定义域. 先由x的取值范围,求出φ(x)的取值范围,即f(x)中的x的取值范围,即h(x)的取值范围,再根据h(x)的取值范围求出x的取值范围,即f(h(x))的定义域。 (4)求运算型抽象函数(由有限个抽象函数经四则运算得到的函数)的定义域,先求出各个函数的定义域,再求交集 已知函数f(x)的定义域为(1,2),则函数f(2x-1)的定义域为（） A. (-1,1) B. (-1,-) C. (1,) D. (-,1) 对点体验 解析▶(1) 因为函数f(x)的定义域为(1,2),所以1<2x-1<2,解得1<x<. 故函数f(2x-1)的定义域为(1,). 已知函数f(-1)的定义域为[-,],则函数f(x)的定义域为______. 由的定义域为,得,所以,所以. 故的定义域为. 若函数f(x+3)的定义域为[-2,4),则函数f(2x-3)的定义域为（） A. [2,8) B. [2,5) C. [0,6) D. [-2,10) 对点体验 由题意知,则,即的定义域为,所以,解得. 所以的定义域是. 若f(x)的定义域为[-3,5],则 φ(x)=f(x+1)+f(x-2)的定义域为 （ ） A. [-2,3] B. [-1,3] C. [-1,4] D. [-3,5] 已知的定义域为,则 的 定 义 域 需 满 足 故的定义域为. 目标三：同一函数 同一函数 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地,如果两个函数表达式表示的函数定义域相同,对应关系也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 27 关于同一个函数的几点说明 1、因为函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的,例如,函数 y=f(x)=,x∈A 与函数 u=f(t)=,t∈A 表示的是同一个函数. 2、对于 f(x)= 和 f(x-1)=,由于对应关系f所施加的对象不同(前者为x,后者为x-1),因此两者不是同一个函数. 3、定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数.即使两个函数的定义域和值域都分别相同,它们也不一定是同一个函数. 如函数 f(x)=2x 和函数 g(x)=3x,它们的定义域和值域都是R,但是它们的对应关系不同,所以它们不是同一个函数. （多选题）下列各组函数为同一个函数的是() A. f(x)=g(x)=x B. f(x)=g(x)=x C. f(x)=-2x-1,g(t)=-2t-1 D. f(x)=g(x)= 对点体验 解析 对于A, 由于,, 两函数的对应关系不同, 所以它们不是同一个函数.对于B,,的定义域和对应关系完全相同, 所以它们是同一个函数.对于C, 两个函数的定义域和对应关系都相同, 因此它们是同一个函数. 对于D, 对于, 由, 得或, 则的定义域为或. 对于, 由解得 , 则的定义域为, (切 勿先将变形为 , 否则会改变原函数的定 义域)两个函数的定义域不相同, 所以 它们不是同一个函数. 答案 ▶ BC 目标四：函数的值域 求函数值域（一） 例1 求下列函数的值域: (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4}; (2)y=-4x+6,x∈[1,5]; (3)y(4)y=2x-(5)y((7)y 典例分析 牛刀小试 观察法、换元法、配方法、基本不等式法，判别式法等，以后还学其他重要方法。 解析 (1)当时,;当时,;当时,;当时,. 所以函数的值域为.（注意此函数的定义域不是,而是4个数构成的集合） 求函数值域（一） 例1 求下列函数的值域: (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4}; (2)y=-4x+6,x∈[1,5]; (3)y(4)y=2x-(5)y((7)y 典例分析 牛刀小试 (2)(配方法) 画出函数 的图象如图3.1.1-1-4所示,结合图象可得函数的值域为. 求函数值域（一） 例1 求下列函数的值域: (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4}; (2)y=-4x+6,x∈[1,5]; (3)y(4)y=2x-(5)y((7)y 典例分析 牛刀小试 (分离常数法) 由于可取任意非零实数, 因此 可取任意不为 的实数, 即函数 的值域为 求函数值域（一） 例1 求下列函数的值域: (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4}; (2)y=-4x+6,x∈[1,5]; (3)y(4)y=2x-(5)y((7)y 典例分析 牛刀小试 (4)(换元法) 令 , 则 , 且 , (注意 的取值范围) 所以 , 由 , 再结合函数的图象(如图 3.1.1-1-5 所示), 可得函数的值域为. 图 求函数值域（一） 例1 求下列函数的值域: (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4}; (2)y=-4x+6,x∈[1,5]; (3)y(4)y=2x-(5)y((7)y 典例分析 牛刀小试 (直接配凑) 因为 , 所以 （根据分母的结构进行配凑） 即 时, 等号成立.故函数的值域为 . 求函数值域（一） 例1 求下列函数的值域: (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4}; (2)y=-4x+6,x∈[1,5]; (3)y(4)y=2x-(5)y((7)y 典例分析 牛刀小试 (6)(基本不等式法) 因为 ,所以 ,令 (变形成能利用基本不等式,即满足都是正数) ,则 ,当 且仅当 ,即 时,等号成立,所以 故函数的值域为. 求函数值域（一） 例1 求下列函数的值域: (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4}; (2)y=-4x+6,x∈[1,5]; (3)y(4)y=2x-(5)y((7)y 典例分析 牛刀小试 (7)(判别式法) 易知函数的定义域为 . 由 , 可得关于 的方程 当 时,方程无解; 当 时,由 ,得 故函数的值域为 目标五：针对训练 举一反三  1.已知函数，，则 A. B. C. D. 解析: 因为函数 则 所以, .故选: A. 举一反三 2.函数的定义域为() A. B. C. D. 解析：易知函数的定义域为，即.故选：C.  3.已知函数的定义域为，则其值域为() A. B. C. D. 解析：当 时，，当 时，，故值域为 . 故选：A 举一反三 4.下列函数值域是的是( ) A. B. C. D.  解析：对于 A， 值域是，故 A 不正确； 对于 B，值域是，故 B 不正确； 对于 C，值域是，故 C 正确； 对于 D，，值域是，故 D 不正确； 故选：C. 举一反三 5.已知函数满足.若，则( C ) A.2 B.1 C.3 D.0 解析：令，因为，且， 所以，可得，故选：C. 目标六：小结 学海拾贝 1. 核心概念总结 高中函数本质：设A、B是非空实数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。 核心三要素：定义域（x的取值集合A）、对应关系f、值域（所有y的取值集合），其中定义域和对应关系决定值域，也是判断两个函数是否为同一函数的关键。 学海拾贝 2、本节课核心易错点（必记） （1）函数对应关系核心：任意x，唯一y，一对多不是函数，多对一是函数； （2）定义域优先：研究函数必须先看定义域，所有运算、图象、性质都在定义域范围内讨论； （3）区间与集合可以互换，答题时按题目要求规范书写，杜绝格式错误。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $