2024届高考数学新高考Ⅰ卷第18题讲题比赛课件

试题讲解 EXPLANATION OF QUESTION 01 方法总结 Summary of methods 02 命题背景 Trace and extention 03 相关练习 Application of model 04 目 录 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 B:接下来我们将从以下四个方面带大家回顾这道题 【2024年新高考Ⅰ卷第18题】已知函数. （1）若b＝0，且，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围． 试题赏析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （1）若b＝0，且，求a的最小值； 含参的不等式 恒成立问题 参变分离 求最值 思路一 利用导数判断单调性求最值 思路二 利用基本不等式求最值 思路三 利用复合函数单调性求最值 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 第（1）问以含参的不等式恒成立问题为载体，求参数a的最值的问题. 常规思路为将含参不等式进行参变分离后，从以下三个思路着手： 思路一：利用导数判断单调性求最值 思路二：利用基本不等式求最值 思路三：利用复合函数单调性求最值 定义域为 ≥0 函数 思路一 利用导数判断单调性求最值 令0 判断函数单调性 运用导函数，降低思维量 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 首先来看思路一：根据题意，对数真数位置大于0我们得到函数的定义域为，结合问题中的两个条件，对原函数求导后得到 接着通过分离参数，将参数 移至不等式的左侧，变量移至右侧，要求的最小值等价于求右侧变量的最大值。 于是我们可以构造右侧变量为一个新函数通过对求导判断函数单调性，得到的最大值为-2,最终得到的最小值为-2. 因此，运用导函数判断函数单调性是求解最值问题的基本手段，虽为常规解法，但却降低了学生解题过程中的思维量. 定义域为 ≥0 思路二 利用基本不等式求最值 善用基本不等式，出奇制胜 一正、二定、三相等 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 再看思路二，利用基本不等式先求分母的最大值 1, 进而求得的最小值-2； 利用基本不等式时要注意 “一正、二定、三相等” ，，此题显然满足上述条件，容易得到目标函数的最值. 因此，在解题时，善用基本不等式，往往能够起到奇效. 定义域为 ≥0 构造 复合函数 思路三 利用复合函数单调性求最值 掌握同增异减，实现化难为易 在单调递减，在单调递减，在单调递增 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路三，利用复合函数单调性求最值 类似解法一，参变分离后构造右侧变量为一个新的复合函数=，其中、， 而在单调递减，在单调递减，在单调递增，依据复合函数单调性可以求得，最终求得目标函数的最值. 虽然复合函数的单调性问题在教材中没有详细讲解，但却是一种重要的解题方法，其原则为“同增异减”，重要思想是将复杂函数拆分为简单函数的复合， 通过研究学生熟悉的、简单的函数的单调性，从而“化整为零”，各个击破，最终实现“化难为易”，解决问题. （2）证明：曲线是中心对称图形 叠加函数，由基本函数与相加而成， 其定义域为两个基本函数定义域的交集. 从形的角度而言，叠加函数图象为两个基本函数图象的高度叠加； 从数的角度来看，同一自变量，叠加函数值为两个基本函数值的和. 对称的叠加性 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 问题2设问指向通过分析、推理、证明函数中心对称，思维难点在于学生看到题干中的函数无从入手，因此可以从函数图象出发考虑对称的叠加性.叠加函数，由基本函数与相加而成，其定义域为两个基本函数定义域的交集. 从形的角度而言，叠加函数图象为两个基本函数图象的高度叠加； 从数的角度来看，同一自变量，叠加函数值为两个基本函数值的和. 图1 图2 考虑为函数 的对称中心均为 不妨 的对称中心为 猜想叠加后的函数图象对称中心 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 考虑为函数，在同一坐标系中绘制这三个函数图象的草图，如图1. 由图象可以看到 的对称中心均为，的对称中心为图象上的e任意一点，不妨取. 因此可猜想叠加后的函数图象对称中心. 从形的角度，将三个图象叠加最终得到图2, 初步验证猜想正确. 再从数的角度，进一步言验证此猜想成立，因此给出以下四种思路： （2）证明：曲线是中心对称图形 中心对称图形 思路一 利用对称的定义证明 思路二 利用对称的性质证明 思路三 利用奇函数平移变换证明 思路四 利用导数法证明 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 因此给出以下四种思路： 思路一 利用对称的定义证明 思路二 利用对称的性质证明 思路三 利用奇函数平移变换证明 思路四 利用导数法证明 思路一 利用对称的定义证明 对称图形， 定义域为 （对称性） 对称 对称中心 为 性质 因为在图象上，所以 又 所以Q也在函数的函数上， 由P的任意性，可得函数的图象关于点. 证图象上任意一点关于的对称点 Q也在函数的图象上 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路一利用对称的定义证明， 首先考虑到是定义上的连续函数，若有对称中心，则根据对称性的整体性质（即定义域对称），得到对称中心为. 接着，通过证图象关于的对称点Q也在函数的图象上，从而可证曲线是中心对称图形. 通过具体的代入过程可以验证这一点。 思路二 利用对称的性质证明 对称图形， 定义域为 （对称性） 对称 对称中心 为 性质 （1）对数结构 的合并 由 ，所以函数的图象关于点， 即曲线是中心对称图形. 证 或证 ； 代数表征 几何性质 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路二利用对称的性质证明 代数运算是研究函数性质得手段之一。利用对称的几何性质可得其代数表征，要证明的图像关于点中心对称， 即证或证明； 的三次函数和一次函数部分明显有对称性，因此代入运算的关键在于对对数结构的处理， 以下提供两种求解思路：一是利用对数的运算性质对合并处理，发现对数部分为0，最终验证曲线是中心对称图形； 对称图形， 定义域为 （对称性） 对称 对称中心 为 性质 （2）对数结构 的拆分： 由 ，所以函数的图象 关于点，即曲线是中心对称图形. 证 或证 ； 思路二 利用对称的性质证明 数学运算能力 逻辑推理能力 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 二是利用对数的运算性质对拆分处理， 该解法利用函数对称性的拓展结论进行求解，符合学生的最近发展区. 对于对数结构部分的处理可合并也可拆分， 既考查了学生的逻辑推理能力，又考查了其数学运算能力. 思路三 利用奇函数平移变换证明 证明 对称中心 对称中心 型优化 奇函数与平移不变性 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路三 利用奇函数平移变换证明 先观察的函数图象，用代替代入原式得到 函数解析式，发现其对数项、一次函数项、三次函数项均为奇函数， 故可对该函数进行模型优化，将该函数向左平移1个单位，记为新的函数，接着证明为奇函数得到其对称中心为，最终还原到原函数的对称中心. 该解法依据奇函数的图象关于原点对称，以及平移不变性，证明某函数具有中心对称，关键在于识别y= 为奇函数. 究其本源，需对奇偶函数的定义以及常见就函数有深刻的理解与认识. 思路四 利用导数法证明 引理 已知函数是连续可导的函数， 且函数关于点对于图象上任意关于对称的两点，都有=（即切线斜率相等）. 据此引理，可将求函数对称中心的过程分为以下三个步骤： 求函数的导数，取导数值为，建立方程； 求方程的两根和（常数），算出； 化简（常数），求出 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路四 利用导数法证明 为了方便叙述以及搞清楚导数法求函数对称中心的原理，先给出以下引理…… 思路四 利用导数法证明 由韦达定理得， 两根和. 建立方程 ； 求，算出； 化简，求出 ， 函数的图象关于点， 即曲线是中心对称图形. 由，令， 整理可得： 导数与方程 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路四 利用导数法证明 按照步骤一，可整理得如下式子；按照步骤二，利用韦达定理得到两根和为=，算出=1；按照步骤三，化简，得到，最终解决问题。 该解法以导数和方程为工具，虽不常规，但能通过计算得到函数对称中心的横坐标，快速高效找到函数的对称中心。此外，这种解法对于求解几类常见类型函数的对称中心具有一般性，可在教学中适当渗透。 （3）若当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围． 双参数的不等式恒成立问题 均对函数 单调性产生影响， 从而影响函数取值 当且仅当成立 理性思维 因为在连续，且 当时，由极限的局部保号性知， 当与题设矛盾，所以 当且仅当成立 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 第（3）问因题干中的函数含有两个参数与，均对单调性产生影响，从而影响函数取值。问题求参数的取值范围，因此要求的值，或者找到与的关系. 接下去站在理性的角度进行证明 （3）若当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围． 理解函数不等式成立的充分必要条件，确定参数 思路：问题转化为在上恒成立. 解法1： 基于参变分离求参数范围 解法2： 基于分类讨论求参数范围 解法6： 用泰勒 展开式 求解 解法3： 换元法求函数单调性 解法4： 端 点 效 应 解法5： 换元法 与洛必达法则 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 在确定的值为后，问题等价转化为含参数的不等式恒成立问题，以导数为工具研究函数的单调性或者分离参数结合洛必达法则、泰勒展开式研究恒成立问题，以下提供6种研究思路： 解法一 基于参变分离求参数范围 问题转化为在上恒成立 直接参变分离 导数工具 求最值 结构相对复杂 优化运算 研究𝒇(𝒙) 中心对称 结构 几何 性质 代数结构 希望增函数 由（1）可得 由（2）可得 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 直接参变分离得到该式，不等式右侧若利用导数工具求最值结构相对复杂，因此为了优化运算，从研究函数入手，先求一阶导函数. 由（2）可得中心对称，因此可对导函数进行变形提出结构，利用函数的几何性质优化导函数的代数结构. 注意到，故希望在上单调递增，令可得，由（1）知. 解法一 基于参变分离求参数范围 问题转化为在上恒成立 希望增函数 当 符合题意 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 当时，，，画在上单调递增，，符合题意； ,当时， 当 不满足题意 综上，的取值范围为 数形结合 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 当时，设，由在单调递增，所以，从而，取，当时，，于是在子区间上，恒有，此时单调递减，，不满足题意； 综上最终得出的取值范围，渗透了数形结合的思想. 解法二 基于分类讨论求参数范围 解 由 时，由（1）知 (i)当即时，, 在上单调递增， 此时成立； 问题转化为在上恒成立 分 是否大于0 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法二 基于分类讨论求参数范围 (ii)当即时，令 结合得1 所以在上单调递减， 此时不满足题意； 综上所述，的取值范围为 区别于解法一， 结合定义域算出具体的单调递减区间 数学运算能力 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解不等式时注意此时的取值小于0，此步骤对学生的数学运算能力要求较高；此解法区别于解法一在于它结合了定义域算出具体的单调递减区间. 解法三 换元法求函数单调性 令，问题转化为在上恒成立 ，利用导数讨论的范围 ①若则, 在上单调递增， 此时 根据的结构，分两种情况和讨论 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法三 换元法求函数单调性 ②若令，则 在上单调， 即时， 则在上单调递增， 的取值范围为 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法三 换元法求函数单调性 时，在上单调递增， 令t=当时， 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法三 换元法求函数单调性 则在上单调递减，此时不成立； 综上所述，的取值范围为 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法四 端点效应 若,，且，则必然时 单调递增，从而当时，成立， 特别地，有的必要条件，由此可求参数的范围， 然后验证这一范围的充分性即可，这一模型被称为端点效应模型. 本质是利用导数定量地刻画函数 在局部领域内的单调性，同时也为 分类讨论提供了分类的“界点”. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法四 端点效应 由解法1知：且0， 令得 当， 必要条件 验证充分性 分类的“界点” 与参数b无关，失效 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 此时0与均与参数b无关，因此端点效应失效，故再对二阶导函数进行求导得到三阶导函数; 令得, 求得必要条件，下面验证充分性，以令作为分类的“界点”， 当， 解法四 端点效应 在上单调递增， 所以, 即 在上恒成立， 当时，类似解法1，可说明此时不满足题意, 综上可得的取值范围为 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法五 换元法与洛必达法则 即有， 所以， 令，则， 再令，则， 令，问题转化为在上恒成立 判断一阶导函数与0的关系 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法五 换元法与洛必达法则 则在单调递减，所以， 从而，即在单调递减， 另外一方面，有极限： ， 即，所以的取值范围为 洛必达法则 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法六 用泰勒展开式求解 由解法5知令，得，， 由泰勒展开式， 且， 所以， 此时由，由此可得出. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 方法4到方法6立足高等数学背景，从高观点视角求解问题. 其中，不管是端点效应，还是洛必达法则，亦或是泰勒展开式， 都基于学生已学过的导函数，无非需要多次求导. 因此，介绍相关知识和结论并不是空中楼阁，无根之木， 而是基于学生最近发展区的拓展教学，可作为拓宽学生视野的方法，使得不同的学生在数学上得到不同的发展. 小结： 启示： 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 数学学习目标 四基 四能 六核 基础知识、基本技能、 基本思想、基本活动经验 发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力 数学抽象、逻辑推理、数学建模 直观想象、数学运算、数据分析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 B: 可以改一下作为总结 主要考察分类讨论、数形结合、化归与转化。函数方程等数学思想 马尔可夫链等随机过程的学习，锻炼了同学们逻辑思维和推理能力，通过分析和理解马尔可夫链的概念和原理，可以拓展数学知识，培养数据分析能力，并解决多种实际问题 参变分离 命题背景与推广 函数对称性 端点效应 泰勒展开式 洛必达法则 二、命题背景 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 A:本题的命题背景溯源和推广可分为以下5个方面 (一)、参变分离 参变分离 含参不等式恒成立问题 新函数 最值问题 单调性 最值问题 导数工具、基本不等式、 复合函数单调性等 构造新函数 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年新高考Ⅰ卷第18题第1和第3小题都涉及到含参不等式恒成立问题，其常用解题思路有以下两种： 此类问题与函数最值问题紧密联系，综合考查不等式、函数及方程等知识，要求学生将转化化归、分类讨论、函数与方程等数学思想融会贯通，综合性较强. (一)、参变分离 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 参变分离问题是新高考命题热点，近年来的高考题经常看到它们的“身影”. (一)、参变分离 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 放PPT (二)、函数对称性 2019人教A版必修一习题3.2第13题 命题背景1 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 A：二，函数对称性，实际上，本题第2小问即为函数图象的中心对称问题. 其命题背景来源于2019人教A版高中数学教材必修一习题3.2第13题， 命题背景2 2019人教A版必修一复习参考题4第11题 =e (二)、函数对称性 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 及2019人教A版必修一复习参考题4第11题, 只需要将题目中的底数a特殊化，取a=e,即可得到定18题中的函数结构 命题背景3 2019人教A版选择性必修二习题5.3第13题 (二)、函数对称性 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 当然，新教材选择性必修二习题5.3第13题，也涉及到了函数对称性问题， 接下来，我们先从命题背景1出发，在此基础上，给出函数图象对称性问题的相关结论. 命题背景1的解析 （1）设的对称中心为P（a，b），，其定义域为R，又＝，由为奇函数可得，解得，所以的图象的对称中心为． （2）函数的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数． (二)、函数对称性 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 以下是命题背景1的解析过程，从该解析过程可以归纳出以下结论1和结论2： 源于教材的结论 ①P（a，b）中心对称 为奇函数 ②关于直线x＝a对称 为偶函数 (二)、函数对称性 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 作为高中数学四条内容主线之一，函数是高中数学的核心内容，而函数的对称性作为函数的基本性质之一，是学生理解和掌握函数知识的关键. 厘清函数的奇偶性、周期性和对称性之间的关系是学生学好函数知识，提高数学学业成绩表现的重要基础. 下面，基于教材内容和高中生的最近发展区，给出函数奇偶性、周期性和对称性的一些拓展结论. 函数对称性相关拓展结论 ①关于直线对称 （1）函数图象的轴对称形式 ②关于直线对称 (二)、函数对称性 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （1）函数图象的轴对称形式，念出来还是不念？ ①关于点对称 =0 （2）函数图象的中心对称形式 ② 关于点对称 =2b (二)、函数对称性 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （2）函数图象的中心对称形式 ①若为奇函数，则关于点对称. 特别地， 若为奇函数，则关于点对称； （3）函数奇偶性与对称性的关系 ②若为偶函数，则关于直线对称. 特别 地，若为偶函数，则关于直线对称. (二)、函数对称性 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）函数奇偶性与对称性的关系 ①若关于直线，对称，则为周期函数，且周期； （4）函数周期性与对称性的关系 ②若关于点，对称，则为周期函数，且周期； ③若关于直线，点对称，则为周期函数，且周期. (二)、函数对称性 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （4）函数周期性与对称性的关系 （三）、端点效应 命题背景4 若,，且，则必然时单调递增，从而当时，成立，特别地，有的必要条件，由此可求参数m的范围，然后验证这一范围的充分性即可，这一模型被称为端点效应模型. 事实上，2024年新高考Ⅰ卷第18题第3小题的命题背景也涉及端点效应模型 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 含参不等式恒成立问题的解决常用到函数与方程、转化与化归、数形结合和分类讨论等数学思想，能够很好地发展和培养学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养. 解题时，常利用命题成立的必要性来“探路”，再说明其充分性的成立与否，其中“端点效应”经常被用来求解一类恒成立问题，其具体的模型如下： （小云朵里面内容，解题过程参看第三小问解法5） 例1.（2020年新课标1卷理科第21题）已知函数， （1）当时，讨论的单调性； （2）若时，，求a的取值范围. 失效的端点效应 （三）、端点效应 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 然而，端点效应也有失效的时候，如下题： 错解分析 解析：将不等式整理可得：，不妨设，则，，经计算易知，若使用端点效应求解，则，即可求出 . （三）、端点效应 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 第（1）问常规且简单，与端点效应无关，故略去，主要讨论第（2）问. 若盲目按照端点效应模型的套路，解法如下：可得出a≥-1/2， 然而，答案显然错误，即端点效应失效了，那么该如何正确求出参数a的范围呢？ 正解分析 解析：①当时，不等式显然成立； ②当时，不等式可变形为：， 不妨设，则， 所以在上单调递增. 此外，观察到，可求得在处的切线方程为：，对比切线与直线的截距知：，即. 综上所述， （三）、端点效应 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 其正确解法可以分类讨论，对不等式进行适当变形，对比切线与直线的截距可求得a的范围. 诚然，运用端点效应解题能够降低思维高度，在解决一类不等式恒成立问题时往往能够事半功倍. 然而，用端点效应求得的参数范围只是命题成立的必要条件，却不能判断其为充要条件. 所以，如果盲目地套用端点效应来解题，有时会得到错误结论，在解题时要注意数学的逻辑性和严谨性，不仅要知其然，还要知其所以然. 复杂函数 怎么研究？ 简单函数 化繁为简 近似表达 例如|x|很小时 （四）、泰勒展开式 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 在研究函数问题时，我们常遇到一些复杂函数，为了便于研究复杂函数，经常希望用简单函数来近似表达复杂函数， 例如，当|x|很小时，有如下近似等式： 但是这种表达精确度不够高，为了提高精确度，可以用更高次的多项式来逼近原函数，这就是泰勒展开式. 命题背景5 2019人教A版必修一复习参考题5第26题 （四）、泰勒展开式 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 也就是本题的命题背景5，此题是高中数学必修一复习参考题5第26题，引导学生初步认识可以利用多项式函数来逼近正弦函数和余弦函数， 因为还没有学习微积分，学生此时还不明白公式的由来，但高三学习了基本初等函数及其四则运算和复合函数可以不断求导（高阶导数）， 从而可以引出这个高等数学的知识背景，请看定理1： 定理1 设在处有阶导数，则存在的一个邻域，使得f（x）（x-x0）（x-x0）2（x-x0）n，，称上式为f（x）在x＝处的n阶泰勒公式（其中，0!＝1，n!＝1×2×3×…×n，）． 2024年新高考Ⅰ卷第18题第 3小题也可用泰勒展开式 解题 （四）、泰勒展开式 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 定理1 揭示了：可以把复杂函数写成多项式的和或无穷级数的形式，从而只需对自变量进行有限次加减乘除运算，就能求出其函数值. 因泰勒展开式和原函数的性质一样，因此可以借助泰勒展开式来研究原函数的性质，有时能起到事半功倍之效. 实际上，本题第3小问也可用泰勒展开式来解题， 令 换元 构造不等式 考虑泰勒展开 目标函数 条件 a=-2时 （四）、泰勒展开式 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （）这便是第（3）问的背景来源和解题突破口之一. 已知函数，在点的某去心邻域内可导，且，（或），若，则. （五）、洛必达法则 第3小题可用洛必达 法则解题，参看解法4 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 此外，利用端点效应或者泰勒展开式解决参数范围问题时，常用到洛必达法则，结合高中生的认知水平，洛必达法则表述如下： 本题的第3小题也可用洛必达法则解题，请参看第3问的解法4 三、相关考题溯源 （2022年高考数学乙卷理科第12题）已知函数，的定义域均为R，且＝5，．若y＝的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则＝（　　） A． 21 B． 22 C． 23 D． 24 答案：D 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 近年来，高考数学真题多次考查了函数图象的对称性问题和导数恒成立问题. 例如2022年高考数学乙卷理科第12题，这是一个函数对称性与周期的问题，考查学生的逻辑推理，直观想象等核心素养。 三、相关考题溯源 方法一： 基于参变分离构造函数求a的范围 方法二： 基于端点效应模型求解a的范围 （2023年高考数学乙卷理科第16题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 　 　． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 再比如，2023年高考数学乙卷理科第16题 其常规解法为基于参变分离构造函数求a的范围，实际上，我们还可以利用端点效应模型求解a的范围； 其解题过程此处不再赘述，实际上，高考数学中涉及到参变分离、端点效应、泰勒展开式等内容的例题还有很多， 感兴趣的读者可以自行研究. 相关练习 练习1（2022年高考数学1卷第7题）设a＝0.1e0.1，b，c＝-ln0.9，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 解析 取,,,则,,.将上述函数用泰勒展开式表示如下：；；，显然当时，，因此且. 又=，当时，易知.故选：C. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 B:最后，有两道相关练习的题目供大家课后思考。 练习2 （2023年高考数学甲卷理科第21题节选）已知f（x）＝ax，x∈（0，），若f（x）＜sin2x恒成立，求a的取值范围． 解析 由f（x）＜sin2x 得设，则 因为 所以的必要条件是即 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 下面证明充分性：当时，设x∈（0，），则 . 所以在（0，）上单调递减， 所以=0，因此0的充要条件，故取值范围是. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 $$