2024届高考数学新高考2卷第19题讲题比赛课件

数列与圆曲融合 思维与计算交织 ——以2024年新高考2卷第19题为例 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 一.试题呈现 二.试题解析 三.试题背景 四.定理应用 五.命题猜想 六.试题评析 七.试题链接 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 一﹑原题呈现 已知双曲线，点在上，为常数，，按照如下方式依次构造点，过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为． （1）若，求； （2）证明：数列是公比为的等比数列； （3）设为的面积，证明：对任意的正整数，=． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （2）证明：数列是公比为的等比数列； 数列证明问题 圆锥曲线背景 解题方法 得出 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路一（直曲联立-韦达硬解） 将过点直线方程,与联立可得 即 化简得 故 故可得 即.证明成立. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路一（直曲联立-韦达硬解）思维导图 证：数列是公比为的等比数列 建立与之间的等式关系 得成立 将过直线方程与双曲线联立 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路二（点差法） . 令为中点， 故可得 两式相加可得 则 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路二（点差法）思维导图 证：数列是公比为的等比数列 建立与之间的等式关系 得成立 将过直线方程与双曲线联立 为,中点 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路三（等比定理） 由点差法得 故 等比定理 若 则 即 结合等比定理可得 . 化简可得 . 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路三（等比定理）思维导图 证：数列是公比为的等比数列 建立与之间的等式关系 得成立 将过直线方程与双曲线联立 为,中点 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路四（参数法） 设双曲线参数方程为, 为了便于区分,令,表示,所对应的参数. ,, 利用与 关于轴对称. 建立了参数的等式关系. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 ;同理=, 即 思路四（参数法） 只需得出=即可. 整体思想. 因为 且 将作为整体看待,化简得 即 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路四（参数法）思维导图 证：数列是公比为的等比数列 建立与之间的等式关系 将所需要点的坐标用双曲线参数方程形式进行表示，利用对称寻找参数之间的联系 得成立 将过直线方程与双曲线联立 为,中点 , , 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法 解法说明 解法一 写韦达定理时注意根的符号。后续计算只需向所要证明形式靠拢即可。 解法二 敏锐观察到已知等式与所证等式之间的相似性。 利用图象再次建立所需等式，最后完成证明。 解法三 解法四 问题所涉及的信息主要在于点，因此使用参数方程可以简化计算，但同时要利用题目已知建立参数与问题变量之间的联系。 轻思维 重计算 重思维 轻计算 参数发挥了桥梁作用 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 高相等 两平行线间距离处处相等 未知量太多！ 有相同的底边 （3）证明：=． 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路一（证明斜率相等） 由（2）结合题意可得 因为得 于是解得 整体换元思想. 令 ,, , 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路一（证明斜率相等） 故,即证明成立. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路一（证明斜率相等）思维导图 证： 证明 得成立 表示出两点斜率形式 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路二（坐标三角形面积公式） ； 为两两不共线的点， 则 面积公式+平面向量夹角公式 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路二（坐标三角形面积公式） 可得. 同理, 只含有横坐标 结合（2）得 解出 即成立. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路二（坐标三角形面积公式）思维导图 表示出两点斜率形式 证： 证明 用坐标三角形面积法 得成立 令 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 O O （3）思路三（面积转化） 割补思想 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路三（面积转化） 引理：如图，令为线段中点，为线段中点， 当∥时，一定有，，三点共线. 且有 证：由点差法得. . 因为∥, 所以, 故,,三点共线. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 思路三（面积转化） 设直线 与直线交于点分别为的中线。因为∥,所以 在中, = = = 割补思想 所以 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 因为∥，所以. 因为所以. 可以得到. （3）思路三（面积转化） 同理得。 所以 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路三（面积转化） 综上所述，， 即证明成立。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路三（面积转化）思维导图 表示出两点斜率形式 证： 证明 用坐标三角形面积法 得成立 令 面积转化法 借助引理 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路四（数列+面积转化+坐标三角形面积） 坐标三角形面积法 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路四（数列+面积转化+坐标三角形面积） 结合第二问先表示出所需点坐标，令 ,, ,. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路四（数列+面积转化+坐标三角形面积） = 成立 同理 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路四（数列+面积转化+坐标三角形面积）思维导图 表示出两点斜率形式 证： 证明 用坐标三角形面积法 得成立 令 面积转化法 借助引理 方一 方二 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路五（参数法） 设双曲线参数方程为, ,, ,, 从而 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路五（参数法） 关键： 由第二问即 充分利用题目信息 故 令,故 观察要证明形式,解得 即 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路五（参数法）思维导图 表示出两点斜率形式 证： 证明 用坐标三角形面积法 得成立 令 用参数方程表示点     令 ; ; 面积转化法 借助引理 方一 方二 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路六（参数+面积转化+坐标三角形面积） ,, ,, ; ; 所以 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 （3）思路六（参数+面积转化+坐标三角形面积）思维导图 表示出两点斜率形式 证： 证明 用坐标三角形面积法 得成立 令 用参数方程表示点     令 ; ; 面积转化法 借助引理 方一 方二 方三 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解法 解法说明 解法一 对于证明题，可先对证明形式进行处理，或对证明命题进行等价转化。同时题目信息利用要充分，在计算过程中要时刻思考简化计算的途径。 解法二 直接对题目信息进行分析证明，计算面积的方法选取上要符合题目所给条件。一方面利用第二问的证明对第三问提供帮助。一方面将所需证明形式进一步简化，将问题中的多变量减少，以便后续计算。 解法三 “割补法”是解决平面几何重要的方法之一，其本质可理解为是转化思想。该解法以引理为思路源泉，应用“割补法”进行面积转化，最终再借助于引理得以证明。值得注意的是：大题中引理的使用必须要证明。 解法五 本题中“参数法”的使用简化了过程计算，也简化了所需证明形式。但难点在于建立参数与题目变量之间的关系。题目信息的利用一定要充分。 解法四 利用解法一和解法二突破解法三转化出的面积。这样可以避免对引理的证明。之所以不直接证明原面积相等，是因为转化后三角形的顶点中包括坐标原点，起到了简化计算的目的。 解法六 与解法四说明一致。 轻思维 重计算 重技巧 轻思维 重计算 重思维 轻计算 数形结合 重思维 重计算 重思维 重计算 重思维 重计算 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三﹑题目背景 帕斯卡定理：二次曲线（包括退化的二次曲线）内接六边形（包括退化的六边形），其三对边的交点共线，该线成为帕斯卡线. 如图：是双曲线上任意不重合6个点， 记为直线与直线交点；为直线与直 线交点；为直线与直线交点.一定有, ,三点共线。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 三﹑题目背景 帕斯卡定理：二次曲线（包括退化的二次曲线）内接六边形（包括退化的六边形），其三对边的交点共线，该线成为帕斯卡线. 注意1：六个点的选取顺序不同，帕斯卡线不同. 注意2：对于内接五边形（重合），直线即为过做曲线的切线. 注意3：当交点,处于无限远，此时也处于无限远. 可看作当 ,时，有. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 四﹑定理应用 解：将题目中的点 依次记. 由题得：∥,∥. 由帕斯卡定理可得∥， 即直线斜率相等. 故=成立. 高考不可直接应用 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 五﹑命题过程猜想 第一步：在圆上取六个不重合的点，证三组对边的交点共线. （缺少对圆锥曲线的综合考查） 第二步：将圆变成双曲线，帕斯卡定理仍旧成立. （计算难度大,没有区分度） 第三步：让双曲线内接六边形的两组对边平行，证另外一组对边平行. （学生可选择斜率或向量作为解题工具，但计算量 并没有降低，同时试题没有体现创新型） 第四步：双曲线变为等轴双曲线，同时平行问题转化为证明面积相等的问题. （简化了计算，同时加强对学生数学思维的考查. 题目创新型没有体现.） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 五﹑命题过程猜想 第五步：利用对称将点分布在左右两支，但第三问所涉及的点均在右支. 同时第二问引入数列考查，为第三问解答作铺垫. 命题完成！ （数形结合能力） （体现综合性考查的同时，突出批判性思维能力的应用） 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 六﹑试题评析 基础知识： 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线交点坐标计算 等比数列定义 三角函数面积公式 两平行直线的判定 关键能力： 阅读理解与信息加工能力 批判性思维能力 数学符号语言表达能力 学科素养： 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 六﹑试题评析 为了引导学生逐步解决问题，第一问告诉斜率，求交点坐标.目的是让学生利用韦达定理建立交点坐标关系.第二问引入数列的考查，试题计算难度直线上升，但思维量不大，学生目标明确，通过动笔计算是可以解决的.第三问则加强了对数学思维的考查，同时对第二问的证明结果加以应用，当然学生从不同角度出发都能得出结果，但哪一种方法最省时间也最严谨，就需要学生结合自身所学自行判断. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 六﹑试题评析 前两问体现了试题的基础性和综合性.作为选拔性题目，仍旧加强对基本概念，基本思想，基本方法的考查，突出了高考对中学数学的引导作用，重点引导中学数学遵循教育规律，突出数学教学的基本目标.重视教材，重视概念，夯实学生基础依旧是新高考对中学数学课堂改革的目标. 第三问考查学生运用创造性思维多角度分析问题，解决问题，提升了压轴题的难度，同时考察内容仍旧是学生熟悉的内容，并不超纲. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 六﹑试题评析 总体来说，试题充分体现了基础性，综合性，应用型和创新型，不受限于对某些知识点的考查，而是对知识点之间的微妙衔接进行深入挖掘，提高思维量的同时控制试题难度，真正起到了选拔创新型人才的作用. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 七﹑相关试题链接 （2021.湖北武汉华中师大一附中高二（上）期中） 如图，点坐标为.椭圆与轴的交点分别为,.为曲线上异于 的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行.点关于原点的对称点为.若直线与直线相交 于点，直线与直线相交于点. 证明：在曲线上存在点，使得的面积为定值， 并求出该定值. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 解析一：由图得 . 设直线方程为 令 . 由得 其中, 由韦达定理得: 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 设,由题得. 由 . 由 . 所以 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 故直线的斜率为 所以直线的方程为 由得 所以点在定直线上，则使得的面积为定值的点为 过点且与平行的直线与椭圆的交点. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 由得或 此时. 故存在点或，使得的面积为定值 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 七﹑相关题目链接及解答 解析二：（帕斯卡定理） 解:令,（点的顺序不可改变）为椭圆内接六边形, 重合于.过作椭圆的切线 与交于. 因为为直线与直线交点, 为直线与直线O交点, 由帕斯卡定理可得O四点共线. 因为过作椭圆的切线 与交于, 所以重合于.于是, 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 七﹑相关题目链接及解答 要使得面积为定值, 点满足∥. 过作轴垂线与椭圆交于点. 此时面积为定值. 点坐标为, . 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 $$