2024届高考数学新高考1卷第11题讲题比赛课件

目录 试题分析 1 试题解析 2 试题研究 3 4 题目链接 5 教考导向 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1.1 试题呈现 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1.1 试题呈现 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1.2 试题初评 本题是一道新定义曲线问题，内容属于解析几何，解题方法是用代数手段研究几何问题. 题干两句话，各有用意.第一句渗透了数学美，体现了数学抽象素养.第二句描述了曲线的几何定义，情境很新又似曾相识，对曲线C的描述带有问题色彩，容易激发学生的探究欲望，缓解考场紧张感，平稳进入做题状态，正常发挥水平. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1.3 试题整体分析 选项A以对曲线C的认识出发：点O在曲线C上的含义是什么；选项B进一步加深这种认识：如何判断点在C上. 点B代表右顶点，研究其他顶点顺其自然,结合对称性以及图象的开放特征，研究第一象限的最高点成为可能.根据问题结论，为引导学生积极思考，在思考过程中寻找解题方法，需要搭建平台；我们将C视为阶梯，D视为需要探究的问题，构建解题路径. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1.3 试题重点分析 选项C研究的是曲线C的整体性质：. 从几何的角度需要明确不等式的意义，利用几何性质解释不等式.解读右侧代数式的几何意义是关键，辩证的认识定义是突破口——； 从代数的角度需要明确曲线C的方程，利用代数方法证明不等式. 总之，数形结合是解决问题的根本. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1.3 试题重点分析 在解决问题的过程中得到结论——点E(2,1)在曲线C上，这为研究选项D打开思路：点E(2,1)是不是曲线C在第一象限的最高点？ 由于曲线C的几何性质不明，纯几何的角度不方便执行，可以借助导数的几何意义完成，也可以有策略的带点完成. 总之，选项D继续增强数形结合是解决问题的根本这种观念. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1.4 试题再评 四个选项由表及里的展开，四个选项四个层次，起于直观想象，归于逻辑推理.选项A是基础，BCD为触角，彼此独立又融为一体，引导学生逐步深入情境，综合考查学生的数学素养，助力创新人才选拔的目标. 本题虽不是圆锥曲线问题，但研究方法、手段一脉相承，是很好的创新问题.本题既能满足夯实学生的知识基础的要求，同时也可以激发学生崇尚科学、探索未知的兴趣，培养探索性、创新性思维品质. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 1.5 思维导图 曲线C的几何定义 几何法 代数法 几何与代数综合法 OA×OF=4求得a=-2 BA×BF=4求得B的横坐标 PF×PR=4，PQ≤PF得不等关系 EF×EH=4，直观感受E在减区间 曲线C的方程 O在曲线C上求得a=-2 B是曲线C与x轴交点求得B 整理曲线C的方程，利用代数条件得不等关系 曲线C方程求导，E处导数为负 OA×OF=4求得a=-2 BA×BF=4求得B的横坐标 整理曲线C的方程，利用代数条件得不等关系 借助二分法找点，间接说明E不是最高点 ABC为正确答案 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2 试题解析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2 试题解析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2 试题解析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2 试题解析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2 试题解析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2 试题解析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2 试题解析 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3.1 教材问源 从题干陈述，问题情境是对教材内容的有益补充：平面内到定点和定直线的距离之积为常数的点的轨迹是什么？ 本题的设置理念取自教材，思路非常自然.考题出自教材，融合教材，内化教材，高于教材，突出对能力的考查，反映的是学生的学科核心素养. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3.1 试题溯源 结论：本考题对历年的高考题目既有继承又有发展. 【2011年北京卷·理科14题】曲线C是平面内与两个定点F1（-1,0）和F2（1,0）的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C过坐标原点； ② 曲线C关于坐标原点对称； ③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积大于a2. 其中，所有正确结论的序号是 . 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3.1 试题溯源 结论：本考题对历年的高考题目既有继承又有发展. 【2019年北京卷·理科8题】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( ) （A）① （B）② （C）①② （D）①②③ 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3.1 试题溯源 结论：本考题对历年的高考题目既有继承又有发展. 【2022年新高考II卷·12题】若x,y满足x2+y2-xy=1，则( ) A．x+y≤1 B．x+y≥-2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3.2 研究推广 结论：历年高考题对新定义曲线的研究主要从简单几何性质入手，联系圆锥曲线的性质，我们深层次挖掘本曲线的性质. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3.2 研究推广 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3.2 研究推广 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3.2 研究推广 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 3.2 研究推广 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 4 题目链接 ABD 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 4 题目链接 ABD 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 4 题目链接 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 4 题目链接 3、【高考题改编】已知曲线C过坐标原点，C上的点的横坐标不小于0，且到F(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离之积为4，设点A的坐标为（3,0），P为曲线C上任意一点，则的最大值为 . 【说明】从运算角度A(6,0)也是不错的选择. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 4 题目链接 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 4 题目链接 ABD 4、【2025届惠州市一调·11题】在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)的轨迹为曲线C，且动点P(x,y)到两个定点F1（-1,0)，F2（1,0)的距离之积等于3，则下列结论正确的是( ) A.曲线C关于y轴对称 B.曲线C的方程为 C.△F1PF2面积的最大值为 D.的取值范围是 【解析】根据几何意义知，A正确； 整理|PF1||PF2|=3，得，B正确； 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 4 题目链接 △F1PF2面积的为|PF1||PF2|sin∠F1PF2 若△F1PF2面积的最大值为，则，即为直角. 但是当|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2时，根据基本不等式，4≥2|PF1||PF2|=6，这不可能，因此不可能为直角，故C错误； 根据，结合解得-2≤x≤2. 因此，从而， 即=，故D正确. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 教育部教育考试院《强调灵活考查思维，聚焦创新人才选拔》：为落实高考评价体系总体要求，高考数学不断拓展综合性考查力度，在中高难度的题目中,突出了基础知识之间、模块内容之间的融合,体现了高考数学在素养立意下对知识的交叉、能力的复合的全方位考查. 站在落实“五育”方针的角度进行创意，基于图形的对称性设计了一个简单的平面解析几何问题，考查曲线与方程部分求曲线的方程以及根据方程研究曲线性质的知识内容，综合考查运算求解能力以及数形结合和化归与转化的思想. 5 教考导向 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 5 教考导向 课程标准指出，解析几何是数学发展过程中的标志性成果，用代数的方法研究曲线的几何性质，体现了形与数的结合. 通过本单元的学习，掌握平面解析几何解决问题的基本过程，可以运用平面解析几何的方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想. 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 如何创新的运用教材内容，实现：提高学生的认识事物能力、分析和解决问题的能力、实践能力、创新能力？ 如何认识教材中的边角料？如何开发边角料的育人价值？ 在教学过程中,引导学生构建自身的数学整体知识网络,而不至将各个知识模块割裂. 5 教考导向 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 悟道诗 孙福祥 你有张良精妙计， 我存过墙巧云梯。 新题新意锁旧秘， 旧招旧式解新奇。 2024年全国高考数学讲题比赛暨试卷评析研讨会 文卫星数学生态课堂 公众号 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 的一部分.已知 过坐标原点 ，且 上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为4，则（ ） A. B.点 在 上 C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点 在 上时， （试题变更）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 的一部分.已知 过坐标原点 ，且 上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为4，则（ ） A. B.点 在 上 C.当点 在 上时， D. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 【解法一几何法】设直线 与 轴交于点 .根据定义， 即 ，结合 因此 ，故A正确； 设曲线 与 轴的另一个交点为 ， 因此 即 解得 ， 因此点 的坐标为 ，从而点 在 上， 故B正确； 设点 是曲线C上任意一点，连接PF， 过点P作x轴的垂线，垂足为Q，过点P作x=-2的垂线， 垂足为R，则 ，即 . 又 ，等号成立时Q，F重合， 因此 ，从而 ，故C正确； 过点 作 轴的垂线交曲线于点 ， 过点 作 的垂线，垂足为 ，则 因此 ， 从而点 的坐标为 ，注意到点 处的切线是下降的， 因此 在第一象限的点的纵坐标的最大值比1大， 故D错误. 【解法二代数法】设点 是曲线C上任意一点，连接PF，过点P作直线 的垂线，垂足为H，则 即 .因为曲线C经过原点，因此 ，结合 因此 ，故A正确； 由A知曲线方程为： ， 将点 的坐标代入曲线方程发现方程成立， 因此点 在曲线 上，故B正确； 由 得 ， 因此 ，因此 ，从而 ， 故C正确； 对 求导得 ，点 在曲线 上， 因此点 处的切线斜率为 ，即 处的切线是下降的， 从而 在第一象限的点的纵坐标的最大值比1大，故D错误. 当x,y>0时，曲线C可以看成关于x的函数. 对方程 求导得 整理得 所以 【解法三代数+几何法】设直线 与 轴交于点 .根据定义， 即 ，结合 因此 ，故A正确； 设曲线 与 轴的另一个交点为 ， 因此 即 解得 ， 因此点 的坐标为 ，从而点 在 上， 故B正确； 设点 是曲线 上任意一点，连接 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ， 则 即 ， 由于 ，因此 ，从而 ， 故C正确； 点 在曲线 上，把点 的坐标带入方程得 ， 因此点 在曲线C的外部. 把点 的坐标带入方程 得 ，因此点 在曲线C的内部. 从而 在第一象限的点的纵坐标的最大值比1大，故D错误. 曲线C的内外之分： 当 时，点 在曲线C的内部. 当 时，点 在曲线C的外部. 问题：设曲线 的方程为 ，称 为曲线 的焦点， 过点 做曲线 的两条互相垂直的弦，分别交曲线 于A,B,C,D， 设直线AB的倾斜角为 . 求弦长AB与 的关系，并求四边形ADBC面积的最小值. 从而 ，所以 . 【解析】当 时， ；当 时， ； 当 时，设直线AB的方程为 ，其中 . 联立 与 ，整理得 因此 ，即 ，因此 从而 . 当 或 时，符合上式，因此 . 令 ，则 ， 结合 知 时 ， 时 ， 时 ， 所以当 时 取最大值 ，所以 . 推论：设AB是曲线 的一条焦点弦， 则 ， 其中 为直线AB的倾斜角. 因此矩形 的面积同时取最大值. 深化1： . 由 ，因此 ，因此 ， 所以 并且在 上以 为对称轴，当 时面积递增. 深化2：设点 到四边形ABCD四边AC,CB,BD,DA的距离分别为 ， 则 . 因为 ，所以 ， 从而 . 由于 ，因此 . 因为 在区间 单调递增， 单调递减， 因此当 时 取最大值 ，因此 . 1、【高考题改编】已知曲线C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4.下列说法正确的是（ ） A.a=-2 B.曲线C关于x轴对称 C.曲线C上仅有2个整数点 D.当点 在第一象限运动时 【解析】易知AB正确； 曲线C的方程为 ， . 当x=-1时 ，当x=1时 ，当x=2时 ，因此曲线C上只有 ， ， 这三个整数点，故C错误； 由于 对 均成立，因此当点 在第一象限运动时 ，故D正确. 1、【高考题改编】已知曲线C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4.下列说法正确的是（ ） A.a=-2 B.曲线C关于x轴对称 C.曲线C上仅有2个整数点 D.当点 在第一象限运动时 2、【高考题改编】已知曲线C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4.当点P在曲线C上运动时，点P到点F的距离与到直线x=4的距离之比e的最小值为 . 【解析】a=-2，点P的运动轨迹为 ， 且 .如图，过点P作x=4的垂线交x=4于R， 交x=-2于Q，则 . ，因此 ， 等号成立时 ，即 ，所以e的最小值为 . 【解析】曲线C的方程为 ， . 设P在x=-2上的投影为Q，则 ， 因此 . 设P为 ，因此 ， 结合 ， ，因此 . 设 ， ， 则 ，因此 在 单调递增， 单调递减， 所以 ，从而 . $$